中物理滬科版數學九年級上冊第21章二次函數與反比例函數21.2.2二次函數y=ax2+k

的圖象和性質

即x>0時，y隨x的增大而減小；

即x>0時，

拋物線開口越小；

頂點相同，歸納總結二次函數y=ax2的圖像和性質

二次函數圖象開口方向開口大小對稱軸頂點坐標增減性最值異同點y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)yxoyxo開口向上開口向下的大小決定.拋物線y=ax2的開口大小是由越大，越小，拋物線開口越大.y軸(直線x=0)(0,0)最低點(0,0)最高點在對稱軸的左側，即x<0時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；在對稱軸的左側，即x<0時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0y=ax2(a>0)與y=ax2(a<0)的圖象但開口方向相反，形狀相同，對稱軸都是y軸，且這兩個函數的圖象關于x軸對稱.縱坐標上加下減；課前熱身

1、若點A（2,1）向下平移3個單位得到點B，則點B的坐標為

；

2、把直線y＝-2x＋3向下平移6個單位長度，得到的直線的解析式為

；直線y=kx+b，平移時k不變【歸納】直線y=kx+b，上下移動時，左右移動時，點上下平移時，【歸納】點左右平移時，橫坐標不變，橫坐標左減右加，（2,-2）（-6,-2）縱坐標不變.y=-2x-3y=-2x-9b上加下減；x左加右減.

若點C（-1,-2）向左平移5個單位得到點D，則點D的坐標為

.

把直線y＝-2x＋3向左平移6個單位長度，得到的直線的解析式為

.探究新知

問題①

在同一平面直角坐標系中，怎樣畫出函數y=2x2、y=2x2+1和y=2x2-1的圖象？

解：列表：xy=2x2y=2x2+1y=2x2-1····················32-1-12-2122928122928···32311293231129xyo12345-5-4-3-2-1-1-2123456789y=2x2y=2x2+1y=2x2-1-121727-121727描點、連線，即得各函數的圖象.xyo12345-5-4-3-2-1-1-2123456789y=2x2y=2x2+1y=2x2-1

觀察y=2x2、y=2x2+1和y=2x2-1三個函數的圖像，回答下列問題.(1)這三個函數圖像的開口方向如何？頂點坐標、對稱軸分別是什么？(2)對于同一個x，這三個函數對應的y之間有什么關系？這三個函數的圖像在位置上有什么關系？(3)當x分別取何值時，這三個函數取得最小值？最小值分別是多少？這三個函數圖像都是開口向上；

頂點坐標分別是對稱軸都是y軸(直線x=0).對于同一個x的值，y=2x2+1的圖像當x=0時，y=2x2+1y=2x2-1下方1個單位.在y=2x2上方1個單位，y=2x2-1的圖像在y=2x2最小值分為0，1，-1.(0,0),(0,1),(0,-1)；大1，比y=2x2比y=2x2小1；

y=2x2+1和y=2x2-1的頂點都在y軸上，

②它們都是軸對稱圖像，且對稱軸都是y軸；①它們的圖像都是拋物線，且形狀、開口大小和開口方向相同；

③圖像都有最低點，函數都有最小值；xyo12345-5-4-3-2-1-1-2123456789y=2x2y=2x2+1y=2x2-1

(4)比較函數y=2x2、y=2x2+1和y=2x2-1的圖像的性質.相同點：不同點：聯系：

④在對稱軸左側，y都是隨著x的增大而減小；①它們的頂點不同，y=2x2的頂點在原點，坐標為(0,0)，②y=2x2、y=2x2+1和y=2x2-1的最小值分別為y=2x2+1的圖像在對稱軸右側，y都隨x的增大而增大.坐標分別為(0,1)和(0,-1);0，1，-1.可以看成是y=2x2的圖像沿y軸方向向上平移1個單位得到的，y=2x2-1的圖像可以看成是y=2x2的圖像沿y軸方向向下平移1個單位得到的.xyo12345-5-4-3-2-1-1-2123456789y=2x2y=2x2+1y=2x2-1【歸納】

由圖像可知，拋物線y=ax2+k與y=ax2的

、

和

相同，拋物線y=ax2+k，方法規律：只是

.當k>0時，向

平移；拋物線y=ax2+k可由拋物線y=ax2

沿

軸方向平移

個單位得到，向

平移.當k

時，形狀開口大小開口方向位置不同y上<0下上下平移時，k上加下減.對應練習1、在同一平面直角坐標系中，畫出函數、、的圖像.(1)填表：x0123-1-2-3······-12-12-2-2-92-92······0-1-32-32-3-3-112-112·········12-1-72(2)描點、連線：123456-6-5-4-3-2-1123456-1-2-3-4-5-6···-1-72121123456-6-5-4-3-2-1123456-1-2-3-4-5-62、觀察第1題所畫的圖像，并填空：(1)拋物線

的開口方向是

，頂點坐標是

，對稱軸是

，拋物線可由拋物線向

平移

個單位得到；

(2)對于函數

，當x>0時，函數值y隨x值的增大而

；當x<0時，函數值隨x值的增大而

；(3)對于函數，當x=

時，函數取得最

值，y最

=

；對于函數，當x=

時，函數取得最

值，y最

=

；對于函數，當x=

時，函數取得最

值，y最

=

；向下(0,-1)y軸(直線x=0)下1減小增大0大大值00大大值00大大值0歸納總結二次函數y=ax2+k的圖像與性質y=ax2+k

圖像

開口方向

開口大小

頂點坐標

對稱軸

增減性

最值

a>0a<0k>0k<0k>0k<0yxoyxoyxoyxo開口向上開口向下越大，拋物線開口越小；越小，拋物線開口越大.(0,k)最低點(0,k)最高點y軸(直線x=0)

即x>0時，y隨x的增大而減小；

即x>0時，在對稱軸的左側，即x<0時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；在對稱軸的左側，即x<0時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，當x=0時，y最小值=k當x=0時，y最大值=k(0,k)(0,k)(0,k)(0,k)歸納總結

今天我們學會了頂點在y軸上的拋物線

，它的開口方向由

所決定，它的開口大小由

所決定，它的對稱軸是

，頂點坐標是

.y=ax2+k(a≠0)a的符號y軸

(直線x=0)(0,k)鞏固練習1、(畢節中考)拋物線y=x2+1的大致圖像是()C2、下列說法正確的是()A、二次函數y=x2-5的圖像與y=x2+5的圖像的形狀不同B、二次函數y=x2-5的圖像可以由y=x2的圖像向下平移5個單位得到C、拋物線y=-3x2可以由拋物線y=4x2+3通過平移得到D、拋物線y=4x2與拋物線y=4x2+3的形狀、頂點坐標和對稱軸完全相同B鞏固練習

3、將二次函數y＝5x2-3向上平移7個單位后所得到的拋物線為_____________，再向下平移2個單位，所得拋物線為

.

4、能否適當地上下平移拋物線，使得到的新的圖像經過點(4,1)?若能，請求出平移的方向和距離；若不能，請說明理由.y＝5x2+4y＝5x2+2解：設平移后對應的函數表達式為∵

平移后的圖像經過點(4,1)∴解得k=-3∴平移后對應的函數表達式為∴拋物線向下平移了3個單位.鞏固練習5、拋物線y=ax2＋c與y=-5x2的形狀、開口方向都相同，且其頂點坐標是(0,3)，則其表達式為

，它是由拋物線y=-５x2向

平移

個單位得到的．6、拋物線y=ax2＋c與y=3x2的形狀相同，且其頂點坐標是(0,1)，則其表達式為

.7、與拋物線y=-x2+2的頂點相同、形狀相同且開口方向相反的拋物線的表達式為

.鞏固練習y＝-5x2+3下3y＝3x2+1或y＝-3x2+1y＝x2+28、將拋物線y=x2-1向下平移8個單位后與x軸的兩個交點之間的距離為（）.

9、拋物線與x軸的兩個交點坐標是

，與y軸的交點坐標是

.10、已知二次函數y=(a-2)x2+a2-2的最高點為(0,2),則a的值為

.11、拋物線y=ax2+(a-2)的頂點在x軸的下方，則a的取值范圍是

.B和(0,3)-2a＜2，且a≠0鞏固練習A、4B、6C、8D、1013、已知拋物線y=-ax2+c與拋物線y=-2x2-3關于x軸對稱，則a=

，c=

.12、把函數y=-2x2+3的圖象沿x軸對折，得到的圖象的解析式為（）.A、y=-2x2-3B、y=2x2-3C、y=2x2+3D、y=-2(x-1)2-23B鞏固練習拋物線y=ax2+k關于x軸對稱的拋物線的函數表達式為

.y=-ax2-k方法規律：14、在同一直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖像大致為()鞏固練習a<0,c>0a<0,c>0a>0,c>0a<0,c>0a<0,c<0a>0,c>0a<0,c>0a>0,c<0B15、如圖，兩條拋物線，與分別經過點(-2,0)，(2,0)且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為()A.4B.6C.8

D.10C16、已知拋物線，當1≤x≤5時，y的最大值是().

A、2B、C、D、

17、已知點A(x1,2012),B(x2,2012)是拋物線y=x2-5上相異兩點.則當x=x1+x2時，二次函數y=x2-5的值為

.C-518、已知點(x1,y1),(x2,y2)是函數y=(m-3)x2-3的圖像上的兩點，且當0<x1<x2時，有y1>y2，則m的取值范圍是().A.m＞3B.m≥3

C.m≤3

D.m＜3

D19、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，過點A且與x軸平行的直線交拋物線于點B，C，則BC的長為

.6(0,3)(3,3)(-3,3)20、已知拋物線的對稱軸為y軸且經過點(1,1)，該函數的最大值為3.(1)求此拋物線的表達式;(2)若該拋物線與x軸交于A，B兩點(A點在B點的左邊)，與y軸交于C點，S△ABC.解：(1)∵

拋物線的對稱軸為y軸，且該函數的最大值為3∴

設此拋物線的表達式為

y=ax2+3∵

拋物線經過點(1,1)∴

1=a+3解得a=-2∴

拋物線的表達式為

y=-2x2+3(2)∵

當y=0時，-2x2+3=0解得x1=，x2=AB·OC∵當x=0時，y=3∴OC=3∴

S△ABC==∴AB=××3=21、若二次函數y=ax2+b最大值為4，且該函數的圖象經過點A(1,3)．(1)a，b以及頂點D坐標.(2)求這個拋物線關于x軸對稱后所得的新函數解析式；(3)是否在拋物線上存在點B，使得S△DOB=2S△AOD？存在的話，請求出B的坐標；不存在的話，請說明理由．解:(1)∵

二次函數y=ax2+b最大值為4∴b=4∵

該函數的圖象經過點A(1,3)∴

3=a+4解得a=-1∴

該二次函數的表達式為y=-x2+4∴頂點D的坐標為(0,4)(2)

y=x2-4(3)存在理由如下：∵

S△DOB=2S△AOD∴

設點B的坐標為(x,y)OD·=OD·即OD·=OD×1解得x=±2∴①當x=2時，y=-22+4=0②當x=2時，y=-22+4=0∴存在滿足條件的B點，它的坐標為

(2，0)或(-2，0)（2019?鳳山縣一模）如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y＝x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結AM、BM，BC垂直x軸于點C．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；

（2019?鳳山縣一模）如圖，頂點M在y軸