2024學年遼寧撫順市六校協作體數學高二上期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.2．七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.3．已知橢圓，則下列結論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為4．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.5．有甲、乙兩個抽獎箱，甲箱中有3張無獎票3張有獎票，乙箱中有4張無獎票2張有獎票，某人先從甲箱中抽出一張放進乙箱，再從乙箱中任意抽出一張，則最后抽到有獎票的概率是（）A. B.C. D.6．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．某工廠去年的電力消耗為千瓦，由于設各更新，該工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦9．在中國共產黨建黨100周年之際,廣安市某中學組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學生人數為()A.960 B.720C.640 D.32010．已知點在橢圓上，與關于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.11．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.412．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線的一個法向量________.14．已知數列滿足，且，則______，數列的通項_____15．若是直線外一點，為線段的中點，，，則______16．如圖，棱長為2的正方體中，E，F分別為棱、的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.18．（12分）已知.(1)討論的單調性；(2)當有最大值，且最大值大于時，求取值范圍.19．（12分）記為等差數列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.20．（12分）已知橢圓：，是坐標原點，，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設直線：與橢圓交于，兩點，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標原點）①求證：直線經過定點，并求出定點坐標：②求面積的最大值21．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生的人數及圖中的值；（2）估計樣本數據的中位數（保留兩位小數）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數.22．（10分）已知數列{}的前n項和為，且2=3-3（n∈）（1）求數列{}的通項公式（2）若=（n+1），求數列{}的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】求出直線l的斜率，再借助垂直關系的條件即可求解作答.【題目詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B2、A【解題分析】設七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計算作答.【題目詳解】設七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為.故選：A3、D【解題分析】根據已知條件求得，由此確定正確答案.【題目詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項錯誤.離心率為，D選項正確.故選：D4、C【解題分析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設，設，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【題目詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設，由在長方體中，，，設，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因為，所以.故選：C.5、B【解題分析】先分為在甲箱中抽出一張有獎票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無獎票放入乙箱，進而結合條件概率求概率的方法求得答案.【題目詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎票放進乙箱，表示在甲箱中抽出一張無獎票放進乙箱，A表示最后抽到有獎票.所以，，于是.故選：B.6、C【解題分析】根據逆否命題的定義寫出逆否命題即得【題目詳解】解：以否定的結論作條件、否定的條件作結論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C7、D【解題分析】設直線傾斜角為，則，即可求出.【題目詳解】設直線的傾斜角為，則，又因為，所以.故選：D.8、D【解題分析】根據等比數列的定義進行求解即可.【題目詳解】因為去年的電力消耗為千瓦，工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠第5年消耗的電力為，故選：D9、D【解題分析】由分層抽樣各層成比例計算即可【題目詳解】設高二年級學生人數為,則,解得故選:D10、B【解題分析】由，得到，結合，得到，進而求得，得出，結合離心率的定義，即可求解.【題目詳解】設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.11、A【解題分析】由題知直線過定點，且在圓內，進而求解最值即可.【題目詳解】解：將直線化為，所以聯立方程得所以直線過定點將化為標準方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點在圓內，所以點與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A12、A【解題分析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【題目詳解】∵直線的斜率,，設直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解題分析】根據給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【題目詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：14、①.②.【解題分析】判斷出是等差數列，由此求得，利用累加法求得.【題目詳解】依題意，則，所以數列是以為首項，公差為的等差數列，所以，，當時，，，也符合上式，所以.故答案為：；15、【解題分析】根據題意得到，進而得到，求得的值，即可求解.【題目詳解】因為為線段的中點，所以，所以，又因為，所以，所以故答案為：.16、【解題分析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設，球心，得到外接球半徑關于的函數關系，求出的最小值，即可得到答案；【題目詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設，球心，，又.聯立以上兩式，得，所以時，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標系.設，可得，，，.，.因為，所以.【小問2詳解】，設為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設，可得，所以.點B到DFE平面距離.18、(1)時,在是單調遞增；時,在單調遞增，在單調遞減.（2）.【解題分析】（Ⅰ）由,可分,兩種情況來討論；（II）由（I）知當時在無最大值,當時最大值為因此.令,則在是增函數,當時,,當時,因此a的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）的定義域為,,若,則,在是單調遞增；若,則當時,當時,所以在單調遞增,在單調遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知當時在無最大值,當時在取得最大值,最大值為因此.令,則在是增函數,,于是,當時,,當時,因此a取值范圍是.考點：本題主要考查導數在研究函數性質方面的應用及分類討論思想.19、（1）（2），【解題分析】（1）由，計算出公差，再寫出通項公式即可.（2）直接用公式寫出，配方后求出最小值.【小問1詳解】設公差為，由得，從而，即又，【小問2詳解】由（1）的結論，，，當時，取得最小值.20、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解題分析】（1）根據橢圓的定義以及角平分線的性質可得，，結合點在橢圓上，以及即可求出的值，進而可得橢圓的方程.（2）①設，，聯立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關于的方程，解得即可得所過的定點，②由弦長公式求出，點到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【題目詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設，，聯立，整理可得：，所以，可得，，，設直線，，的斜率為，，，因為直線，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過定點；②由①可得：，原點到直線的距離，所以，因為，當且僅當時，即，即時取等號，所以，即面積的最大值為1【題目點撥】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結論能體現出明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：21、（1）樣本中高一年級學生的人數為，；（2）；（3）【解題分析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得中位數的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數.【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數為，前兩個矩形的面積之和為，前三