§2.11導數的綜合應用真題探究考綱解讀知識盤點典例精析例題備選命題預測基礎拾遺技巧歸納考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選1導數在研究函數中的應用了解函數單調性和導數的關系;能利用導數研究函數的單調性,會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次);了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次);會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次).在綜合應用中特別注意用導數在證明不等式、求參數范圍、處理恒成立等問題的工具性作用.

考點考綱解讀

導數的綜合應用是高考考查的重點內容,主要考查函數的性質,

同時考查導數的相關知識,知識載體主要是三次函數、指數函數、

對數函數.綜合題的主要題型:(1)利用導數研究函數的單調性、極值

與最值問題;(2)考查以函數為載體的實際應用題,主要是先建立所求

量的目標函數,再利用導數進行求解.(3)函數、導數與不等式等相綜

合.結合《考綱》預測2013年試題既有基礎題,也有綜合題,試題難度

中等偏上或偏難.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選

1.函數在某個區間上恒為增函數(或減函數)的問題,關鍵是利用導數

將問題轉化為函數的導數在此區間上恒為正(或負)的問題,也就是

導函數最值大于(或小于)0的問題.具體處理時,一定要注意端點值的

討論.2.利用導數證明不等式問題時,一般根據要證明的不等式構造函數,

轉化為函數的最值問題.具體的證明步驟為:①將所給的不等式移項

、整理、變形為求證不等式f(x)>0(<0)的形式;②利用導數研究函數

在給定區間上的單調性,得到函數的最值;③將不等式問題轉化為函考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選數的最值恒大于0或者小于0的問題.3.利用導數研究方程的根的個數,其具體步驟為:①將方程移項、整

理,轉化為方程F(x)=0;②利用導數研究函數y=F(x)圖象的變化情況;

③利用數形結合思想研究F(x)與x軸交點的個數,從而得到方程根的

個數.

考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選1.已知函數f(x)的導函數f‘(x)的圖象如圖所示,那么函數f(x)的圖象最有可能的是

(

)

【解析】由f'(x)的圖象知0和-2是f(x)的極值點,且x>0時,f(x)單調遞

減,故選A.【答案】A考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選2.設函數f(x)=x3-

x2-2x+5,若對于任意x∈[-1,2]都有f(x)<m成立,則實數m的取值范圍為

(

)(A)(7,+∞).

(B)(8,+∞).(C)[7,+∞).

(D)(9,+∞).【解析】f(x)<m恒成立,即為f(x)最大值<m恒成立,f'(x)=3x2-x-2,在[-1,-

]和[1,2]上,f(x)為增函數,在[-

,1]上,f(x)為減函數,所以f(x)的最大值為f(2)=7,所以m的取值范圍為(7,+∞).【答案】A考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選3.(2011年湖南卷)設直線x=t與函數f(x)=x2,g(x)=lnx的圖象分別交于

點M,N,則當|MN|達到最小時t的值為

(

)(A)1.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】由題可知|MN|=x2-lnx(x>0),不妨令h(x)=x2-lnx,則h'(x)=2x-

,令h'(x)=0解得x=

,因x∈(0,

)時,h'(x)<0,當x∈(

,+∞)時,h'(x)>0,所以當x=

時,|MN|達到最小.即t=

.【答案】D考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選4.(2011年遼寧卷)已知函數f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是

.【解析】f(x)=0有零點,等價于a=2x-ex有解,設g(x)=2x-ex,則g'(x)=2-ex.

當x≤ln2時,g(x)單調遞增,當x≥ln2時,g(x)單調遞減,∴g(x)max=g(ln

2)=2ln2-2,所以,a的取值范圍是(-∞,2ln2-2].【答案】(-∞,2ln2-2]

考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選?例1已知函數f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b為實數.題型1利用導數研究某個區間上恒為單調函數的問題(1)若f(x)在x=1處取得的極值為2,求a,b的值;(2)若f(x)在區間[-1,2]上為減函數,且b=9a,求a的取值范圍.【分析】要使函數f(x)在區間[-1,2]內是減函數,只需f(x)的導數在區

間[-1,2]內恒小于或等于0.【解析】(1)由題設可知:f'(1)=0且f(1)=2,即

解得a=

,b=-5.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選(2)∵f'(x)=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a,又f(x)在[-1,2]上為減函數,∴f'(x)≤0對x∈[-1,2]恒成立,即3x2-6ax-9a≤0對x∈[-1,2]恒成立.∴f'(-1)≤0且f(2)≤0,即

則有

∴a≥1,∴a的取值范圍是a≥1.【點評】在處理函數在某個區間上恒為增函數或減函數的問題時,

注意檢驗端點值是否合適.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選變式訓練1已知函數f(x)=

在區間(-2,+∞)上是增函數,求a的取值范圍.【解析】f'(x)=

=

.由f'(x)≥0,得a≥

,但是,當a=

時,f(x)=

,顯然在(-2,+∞)上不是增函數,故a>

.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選(1)求函數f(x)的解析式;(2)設g(x)=lnx,求證:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.【分析】要證明g(x)≥f(x),通過等價轉化后構造新的函數,在x∈[1,+

∞)上恒大于或等于0.【解析】(1)將x=-1代入切線方程得y=-2,∴f(-1)=

=-2,化簡得b-a=-4,f'(x)=

,

例2已知函數f(x)=

在點(-1,f(-1))的切線方程為x+y+3=0.題型2利用導數證明不等式問題考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選f'(-1)=

=

=

=-1,解得:a=2,b=-2.∴f(x)=

.(2)由已知得要證明lnx≥

在[1,+∞)上恒成立,即只要證(x2+1)lnx≥2x-2成立,即要證x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.設h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,h'(x)=2xlnx+x+

-2.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選【點評】利用導數研究不等式問題的處理辦法是構造新的函數,將

原來的問題轉化為新函數的最值問題來解決.∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增,h(x)≥h(1)=0,∴g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.∵x≥1,∴2xlnx≥0,x+

≥2,即h'(x)≥0,考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選變式訓練2已知函數f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數,當x=1時,f

(x)取得極值-2.(1)求f(x)的單調區間;(2)證明:對任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.【解析】(1)∵f(x)為R上的奇函數,∴f(-x)=-f(x)?d=0.∴f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c.∵當x=1時,f(x)的極值為-2,∴

?

得

考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選∴f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1)、(1,+∞),遞減區間為(-1,1).∴f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f'(x)>0?x<-1或x>1,f'(x)<0?-1<x<1.(2)由(1)知,f(x)在[-1,1]上是減函數,所以f(x)在[-1,1]上的最大值為M=f

(-1)=2,最小值為m=f(1)=-2.∴對于任意x1、x2∈(-1,1),恒有|f(x1)-f(x2)|<M-m=2-(-2)=4.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選(1)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直,求函數y=f

(x)的單調區間;(2)記g(x)=f(x)+x-b(b∈R),當a=1時,方程g(x)=0在區間[e-1,e]上有兩個

不同的實根,求實數b的取值范圍.【分析】(1)先根據條件求出函數解析式,然后對函數求導,解不等式

f'(x)>0和f'(x)<0即可求出單調區間,(2)根的分布主要是結合圖象,得

到滿足題意的數學關系式.

例3已知函數f(x)=

+alnx-2(a>0).題型3利用導數研究方程根的個數問題考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選因為f'(x)=-

+

,且知直線y=x+2的斜率為1.所以f'(1)=-

+

=-1,所以a=1.所以f(x)=

+lnx-2,f'(x)=

.由f'(x)>0,解得x>2;由f'(x)<0,解得0<x<2.所以f(x)的單調增區間是(2,+∞),單調減區間是(0,2).【解析】(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞).(2)依題得g(x)=

+lnx+x-2-b,則g'(x)=

.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選由g'(x)>0解得x>1;由g'(x)<0解得0<x<1.所以函數g(x)在區間(0,1)為減函數,在區間(1,+∞)為增函數.又因為方程g(x)=0在區間[e-1,e]上有兩個不同的實根,所以

解得1<b≤

+e-1.所以b的取值范圍是(1,

+e-1].【點評】利用導數研究根的分布問題,關鍵是利用導數研究得出函

數圖象的特點,再將方程轉化為函數與x軸的交點,從而可得根的分

布情況或參數的取值情況.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選變式訓練3已知函數f(x)=x2-alnx(a∈R).(1)若a=2,求證:f(x)在(1,+∞)上是增函數;(2)求f(x)在[1,e]上的最小值.【解析】(1)當a=2時,f(x)=x2-2lnx,當x∈(1,+∞)時,f'(x)=

>0,所以f(x)在(1,+∞)上是增函數.(2)f'(x)=

(x>0),當x∈[1,e]時,2x2-a∈[2-a,2e2-a].考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選若a≤2,則當x∈[1,e]時,f'(x)≥0,所以f(x)在[1,e]上是增函數,又f(1)=1,故函數f(x)在[1,e]上的最小值為1.若a≥2e2,則當x∈[1,e]時,f'(x)≤0,所以f(x)在[1,e]上是減函數,又f(e)=e2-a,所以f(x)在[1,e]上的最小值為e2-a.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選若2<a<2e2,則當1≤x<

時,f'(x)<0,此時f(x)是減函數;當

<x≤e時,f'(x)>0,此時f(x)是增函數.又f(

)=

-

ln

,所以f(x)在[1,e]上的最小值為

-

ln

.綜上可知,當a≤2時,f(x)在[1,e]上的最小值為1;當2<a<2e2時,f(x)在[1,e]上的最小值為

-

ln

;當a≥2e2時,f(x)在[1,e]上的最小值為e2-a.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選

導數的綜合應用主要包括以下幾個方面:(1)利用導數求參數的取值范圍問題;(2)利用導數研究不等式的證明問題;(3)利用導數研究函數的零點問題;(4)利用定積分解決實際問題等.在復習過程中,應注意總結規律.一般來說,利用導數解決的問題,其

所涉及的函數往往具有明顯的特征,例如:三次函數等高次函數、非考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選常規函數(由基本初等函數構成)等,這些函數尤其適合利用導數解

決.在復習過程中,要注意等價轉化、分類討論、數形結合等數學思

想方法的訓練.在解決導數的綜合應用題中,這些思想始終貫穿于其

中,是解決問題的關鍵,在研究函數的有關性質時,一定要注意優先考

慮定義域.

考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選1.(2011年江西卷)設f(x)=-

x3+

x2+2ax.(1)若f(x)在(

,+∞)上存在單調遞增區間,求a的取值范圍;(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]上的最小值為-

,求f(x)在該區間上的最大值.【解析】(1)由f'(x)=-x2+x+2a=-(x-

)2+

+2a,當x∈[

,+∞)時,f'(x)的最大值為f'(

)=

+2a;令

+2a>0,得a>-

.所以當a>-

時,f(x)在(

,+∞)上存在單調遞增區間.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選(2)令f'(x)=0,得兩根x1=

,x2=

.所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調遞減,在(x1,x2)上單調遞增.當0<a<2時,有x1<1<x2<4,所以f(x)在[1,4]上的最大值為f(x2).又f(4)-f(1)=-

+6a<0,即f(4)<f(1),所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)=8a-

=-

,得a=1,x2=2,從而f(x)在[1,4]上的最大值為f(2)=

.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選(1)當t=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)當t≠0時,求f(x)的單調區間;(3)證明:對任意的t∈(0,+∞),f(x)在區間(0,1)內均存在零點.【解析】(1)當t=1時,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f'(x)=12x2+6x-6,f'(0)=-6.所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=-6x.2.(2011年天津卷)已知函數f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.(2)f'(x)=12x2+6tx-6t2,令f'(x)=0,解得x=-t或x=

.因為t≠0,以下分兩種情況討論:①若t<0,則

<-t,當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選所以f(x)的單調遞增區間是(-∞,

),(-t,+∞);f(x)的單調遞減區間是(

,-t).x(-∞,

)(

,-t)(-t,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗②若t>0,則-t<

,當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-t)(-t,

)(

,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選所以f(x)的單調遞增區間是(-∞,-t),(

,+∞);f(x)的單調遞減區間是(-t,

).(3)由(2)可知,當t>0時,f(x)在(0,

)內的單調遞減,在(

,+∞)內單調遞增,以下分兩種情況討論:①當

≥1,即t≥2時,f(x)在(0,1)內單調遞減,f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-6×4+4×2+3<0.所以對任意t∈[2,+∞),f(x)在區間(0,1)內均存在零點.②當0<

<1,即0<t<2時,f(x)在(0,

)內單調遞減,在(

,1)內單調遞增,考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選若t∈(1,2),f(

)=-

t3+(t-1)<-

t3+1<0.f(0)=t-1>0,所以f(x)在(0,

)內存在零點.所以對任意t∈(0,2),f(x)在區間(0,1)內均存在零點.綜上,對任意t∈(0,+∞),f(x)在區間(0,1)內均存在零點.

若t∈(0,1],f(

)=-

t3+t-1≤-

t3<0.f(1)=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3>0.所以f(x)在(

,1)內存在零點.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選?例1已知函數f(x)=(x2+ax+2)ex,x、a∈R.(1)當a=0時,求函數f(x)的圖像在點A(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在R上單調,求a的取值范圍;(3)當a=-

時,求函數f(x)的極小值.【解析】(1)f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],當a=0時,f(x)=(x2+2)ex,f'(x)=ex(x2+2x+2),f(1)=3e,f'(1)=5e,∴函數f(x)的圖像在點A(1,f(1))處的切線方程為y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選(2)f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],考慮到ex>0恒成立且x2系數為正,∴f(x)在R上單調等價于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,∴(a+2)2-4(a+2)≤0,∴-2≤a≤2,即a的取值范圍是[-2,2].(3)當a=-

時,f(x)=(x2-

x+2)ex,f'(x)=ex(x2-

x-

).考綱解讀命題預測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎拾遺例題備選令f'(x)=0,得x=-

或x=1,令f'(x)>0,得x<-

或x>1,令f'(x)<0,得-

<x<1.x,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-

)-

(-

,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以函數f(x)的極小值為f(1)=

e.