第六章導數

6.1導數

6.1.1函數的平均變化率

1.函數的平均變化率

一般地，若函數y=/(x)的定義域為。，且尤I，X2GD,九1WX2，M=yUl)，＞,2=

於2)，則

(1)自變量的改變量Ax=x?一和

(2)因變量的改變量△丫=丫2—yi(或A/=/(X2)—/xi));

(3)/(%)在［%/,］上的平均變化率為》=(或半

/(%)一/(%))

拓展：函數平均變化率的幾何意義

如圖所示，函數段)在區間田，間上的平均變化率，就是直線AB的斜率，其

中A(X1，犬Xi)),8(X2,於2)),事實上如=式：)二/“)=%.

X2X\

2.平均速度與平均變化率

如果物體運動的位移xm與時間ts的關系為x=/z⑺，則物體在修，編修＜亥

時)或比，幻)2＜九時)這段時間內的平均速度為出?一(m/s).

即物體在某段時間內的平均速度等于⑺在該段時間內的平均變化率.

整型］求函數的平均變化率

【例1】求y=/(x)=2f+1在區間［劭，沏+Ax］上的平均變化率，并求當沏

=1,Ax=］時平均變化率的值.

22

［解］VAy=X^)+Ax)-^o)=2(^)+Ax)+l-(2^o+1)=4X0-AA-+2(AX),

...函數兀t)=2?+l在區間［xo,劭+Ax］上的平均變化率為

Ay4X"AX+2(AX)2

菽=4xo+2Ax,

當x()=l,Ax=g時,

平均變化率為4Xl+2x1=5.

廠......規律C方法......................

求平均變化率可根據定義代入公式直接求解，解題的關鍵是弄清自變量的增

量Ax與函數值的增量△?,求平均變化率的主要步驟是：

〈就)計算函數值的改變量△內(/+△，)/知)

〈普計算自變量的改變量△ee

得平均變化率之=2^±^

y型2求物體運動的平均變化率

【例2】跳水運動員相對于水面的高度餌單位：m)與起跳后的時間K單位:

s)存在函數關系%?)=—4.9*+6.5t+10.

(1)求運動員在［o,器］這段時間內的平均速度；

(2)運動員在［(),翳］這段時間內是靜止的嗎？

(3)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題？

_"圜一力(。)

［解］⑴。=一-----

49-0

-4.9X圜+6.5x1|+10—10

=花=0(m/s),

49-0

即運動員在0,需這段時間內的平均速度是0m/s.

(2)運動員在這段時間里顯然不是靜止的.

(3)由上面的計算結果可以看出，平均速度并不能反映出運動員的運動狀態，

特別是當運動的方向改變時.

廠......規律C方法.......--

1.平均速度反映運動物體的位移隨時間變化而變化的情況.平均速度是運動

物體在一個時間段里位移的改變量與這段時間的比值.

2.運動物體在fo到八這段時間內運動的平均速度就是物體運動的位移函數s(f)

在區間［擊，川上的平均變化率，因此求平均速度的實質就是求函數的平均變化率.

甘型3平均變化率的應用

【例3】(1)A,B兩機關單位開展節能活動，活動開始后兩機關的用電量

%⑺，電⑺與時間f(天)的關系如圖所示，則一定有()

A.兩機關單位節能效果一樣好

B.A機關單位比B機關單位節能效果好

C.A機關單位的用電量在［0,根上的平均變化率比8機關單位的用電量在［0,

制上的平均變化率大

D.A機關單位與B機關單位自節能以來用電量總是一樣大

(2)巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽，登泰山在當地有

“緊十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一

段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從3處到C

處會感覺比較吃力.想想看，為什么？你能用數學語言來量化段、段曲線

的陡峭程度嗎？

(1)B［(1)由題可知，A機關單位所對應的圖像比較陡峭，8機關單位所對應

的圖像比較平緩，且用電量在［0,根上的平均變化率都小于0,故一定有A機關單

位比8機關單位節能效果好.故選B.］

(2)［解］山路從A到8高度的平均變化率為MB=W=先山路從3到

ZAADUv。

C斷度的平均變化率為Cc=八：=,八_??&8。＞您8,??山路從B至IC比從A

/vDU乙

到8陡峭.

廠.......規Wc75法????....................

函數的平均變化率空上也表示點3),凡由)與點(占，式內))連線的斜率，是曲

即~XQ

線陡峭程度的“數量化”，其值可粗略地表示函數的變化趨勢.

(1)當比較函數平均變化率的大小時，可以先將函數在每個自變量附近的平均

變化率求出，然后進行大小的比較.

(2)當識圖時，一定要結合題意弄清圖形所反映的量之間的關系，圖像在點xo

附近的圖像越“陡峭”，函數值變化就越快.

匚必備素養［

1.函數的平均變化率可正可負可為零，反映函數y=/(x)在田，X2］上變化的快

慢，變化快慢是由平均變化率的絕對值決定的，且絕對值越大，函數值變化得越

快.

2.函數平均變化率的幾何意義和物理意義.

(1)幾何意義：平均變化率表示函數y=/U)圖像上割線P1P2的斜率，若PQi，

#P/#milbPP危2)~/(汨)/(一+Ax)~/(xD

加))，P2a2,/2))，則kPR-X_X}-M；

(2)物理意義：把位移s看成時間t的函數，平均變化率表示s=s⑺在時間段［小

S?2)—S?l)

句上的平均速度，即9=

t2~t\

6.1.2導數及其幾何意義

1.瞬時變化率與導數

(1)瞬時變化率：

一般地，設函數y=*x)在沏附近有定義，自變量在x=xo處的改變量為AY,

當X無限接近于0時，若平均變化率邪獸土噌二無限接近于一個常數k,

那么稱童為函數式幻在處的瞬時變化率.簡記為：當Ax-0時，

./(XO+AX)-/(M)式沏+―)一4劭)

------7------_k或lim------7--------=k.

AxALOAX

(2)導數

①/(x)在x()處的導數記作f(xo);

/（.￥（）+AA-）-/（A-（））

（龍。）=螞-&

拓展：導數定義的理解

(1)函數應在劭處的附近有定義，否則導數不存在.

(2)在極限式中，Ax趨近于0且Ax是自變量x在劭處的改變量，所以Ax可正、

可負，但不能為0.當Ar>0(或AxcO)時，Ar->0表示x()+Av從右邊(或從左邊)趨近

于xo.

(3)函數在一點處的導數就是在該點附近的函數值的改變量與自變量的改變量

之比的極限，它是個常數，不是變量.

2.導數的幾何意義

(1)割線的斜率

已知y=/(x)圖像上兩點A(xo,/Uo)),B(xo+Ax,式沏+Ar)),過A,8兩點割線

的斜率是能色。+噌一”對,即曲線割線的斜率就是函數的平均變化率.

(2)導數的幾何意義

曲線y=/U)在點(xo,兀咐)處的導數，(m)的幾何意義為曲線y=/U)在點(xo,

加加)處的切線的斜率.

(3)曲線的切線方程

曲線y=*x)在點(沏，人沏))處的切線方程是y—/卬)="(XQ)(X—XQ).

*型］求函數在某點處的導數

【例1】(1)求函數4%)=一/+8在尤=-1附近的平均變化率，并求出在該

點處的導數；

(2)求函數y=3d在x=l處的導數.

［思路點撥］求函數次處在任意點處的導數都應先求平均變化率，再求/(xo).

［解］(1),?,△)=_/(-1+Ax)—X—1)=—(—1+Ax)24-(—1+△》)+2=3Ax—

3)2,

.Ay_3Ax-(A%)匚=3--,

?"Ax-bx

?"(T尸螞/=媽(3-Ax)=3.

⑵Y△)，=川+?)—/U)=3(1+醺)2—3=6Ax+30x)2,

，A；.=6+3A_X,?*,f'(l)=Jin^)人丫=(6+3Ax)=6.

廠.......規律c方法..........................

1.通過本例(1)進一步感受平均變化率與瞬時變化率的關系，對于△)，與Ax

的比值，感受和認識在以逐漸變小的過程中趨近于一個固定的常數上這一現象.

2.用定義求函數在x=xo處的導數的步驟

(1)求函數的增量△y=?xo+Ax)—/(劭)；

(2)求平均變化率非；

(3)求極限,得導數為/(x())=㈣,

簡記為：一差、二比、三趨近.

、類型27導數幾何意義的應用

【例2】(1)已知y=/(x)的圖像如圖所示，則/'(心)與，(沖)的大小關系是

()

B

~OXBXAX

A./'（&）＞/'（切）B.f（xA）＜f'fe）

C.f'UA）=/（&）D.不能確定

（2）若曲線次x）=/+ox+8在點（0,與處的切線方程是x—y+l=0,則（）

A.。=1,b=lB.b=1

C.ci—1,b=-1D.ci=-1b=-1

（1）B（2）A（1）由導數的幾何意義知，/（馬），/（加）分別是切線在點A、B

處切線的斜率，由圖像可知/（見）＜/（沖）.

（2）由題意，知氏=/（0）

（0+AX）2+Q（0+AX）+〃一〃

=螞瓦=1，

；?4=1.

又（0,份在切線上，

.,.b=1,故選A.］

廠......規律c方法.......--

1.解答此類問題的關鍵是理解導數的幾何意義.

2.與導數的幾何意義相關的題目往往涉及解析幾何的相關知識，如直線的方

程、直線間的位置關系等，因此要綜合應用所學知識解題.

甘型3求曲線的切線方程

［探究問題］

1.如何求曲線式x）在點（沏，.*沏））處的切線方程？

［提示］y—y（）=k（x—xo）.即根據導數的幾何意義，求出函數y=/（x）在點（x（）,

貝沏））處的導數，即曲線在該點處的切線的斜率，再由直線方程的點斜式求出切線

方程.

2.曲線?x）在點（向，加0））處的切線與曲線過點Go,加）的切線有什么不同？

［提示］曲線/（X）在點（沏，兀咐）處的切線，點（沏，九%））一定是切點，只要求出

k=f（%（））,利用點斜式寫出切線方程即可；而曲線火犬）過某點Q）,加）的切線，給

出的點（M）,%）不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點.

3.曲線在某點處的切線是否與曲線只有一個交點？

［提示］不一定.曲線y=*x）在點P（x（）,yo）處的切線/與曲線>=穴》）的交點個

數不一定只有一個，如圖所示.

【例3】（教材P70例4改編）已知曲線C：/）=??.

（1）求曲線。在橫坐標為x=l的點處的切線方程；

⑵求曲線C過點（1,1）的切線方程.

［思路點撥］（1）1求/（1）|一屎切點|一|點斜式方程求切線

---------------「-------由f（xo）~-----7

（2）|設切點（%0，%）|一怵7（%o）］—>%o-1—>

求（*0，兀）

寫切線方程

［解］（1）將x=l代入曲線。的方程得>=1,切點P（l,l）.

Ay（1+-）3—12

f（1）=!取二=!^^=lim［3+3Ar+（Axn=3.

???W（1）=3.

...曲線在點P（l,l）處的切線方程為y-l=3（x-l）,即3x-y-2=0.

（2）設切點為Q（xo,y0）,由（1）可知/'（的）=3焉，由題意可知々PQ=/'（劭），

即'_1=3焉,又/（尤0）=焉，所以_［=3焉,即2%o—尤o—1=0,解得x（）=l

刖-1Xo~1

*1

或xo=-2-

①當x（）=l時，切點坐標為（1』），相應的切線方程為3x—y—2=0.

②當x（）=—3時，切點坐標為（一3，—相應的切線方程為>+［=芥+；）,

即3x—4y+l=o.

［母題探究］

1.(變結論)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？

y=3x~2,

［解］由，

x=l,x=-2,

解得4或'

b=i,g-8,

從而求得公共點為尸(1,1)或M(—2,-8),

即切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另一公共點(一2,-8).

2.(變條件)求曲線段)=f+l過點尸(1,0)的切線方程.

22

52/(a+Ax)—/(a)(a+Ax)4-1—(a+1)

［斛］設切點為。(a,4+1),Ax=Ax=2a+Ax,

(a2+l)-0

當Ax趨于。時，(2a+Ar)趨于2a,所以所求切線的斜率為2a因此,

a~1

2a,解得。=1/，所求的切線方程為y=(2+2&)x-(2+2&)或y=(2-2&)x

一(2-2啦).

廠......規律＜方法.............................

利用導數的幾何意義求切線方程的方法

(1)若已知點(須，死)在已知曲線上，求在點(即，死)處的切線方程，先求出函數

y=/(x)在點即處的導數，然后根據直線的點斜式方程，得切線方程y一兆=/(x0)(x

一沏).

(2)若點(須，地)不在曲線上，求過點(M)，刈)的切線方程，首先應設出切點坐標，

然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程.

C備素養KI

1.函數危)在》=沏處的瞬時變化率即為了'(⑹，且f(^o)=nm

./(xo+Ax)-7(xo)

2.求曲線在點(xo,光)處的切線方程可直接套用公式：y—yo=/(xo)(x-xo)求

解；求曲線過點(沏，死)的切線方程時應注意分該點是切點和不是切點兩類分別求

解.

3.根據導數的幾何意義可知，/'(的)能反映曲線;(均在無=沏處的升降及變化

快慢情況，若/'(劭)>0,則曲線在該點處上升，若/(沏)<0,則曲線在該點處下

降.

6.1.3基本初等函數的導數

1.導數的概念

一般地，如果函數y=/(x)在其定義域內的每一點x都亙昱，則稱7U)可導.此

時，對定義域內的每一個值x，都對應一個確定的導數，(x).于是，在穴外的定

義域內，,a3是一個函數，稱其為函數y=/U)的導函數.記作⑴(或y'，y'J，

即/(x)=y=y產揶)J.

2.導數公式表

①C，=0.

②(x)=axa-1.

③3)'=，lna.

④。叫力=i

(5)(sinx)'=cosx.

⑥(cosx)1=—sinx

甘型］利用導數公式求函數的導數

【例1】求下列函數的導數：

⑴y=”；⑵尸!；⑶尸羽；(4)y=3*(5)y=k)gsx

［思路點撥］首先觀察函數解析式是否符合求導形式，若不符合可先將函數解

析式化為基本初等函數的求導形式.

［解］⑴曠=(”)，=12/.

/

⑵,=?)=(/y=-4x-5=-p.

(3)y，=(沼Y=(A|)Z=|L|.

(4)y'=(3)=3'In3.

⑸4=(i0g/)'=康.

1......??規律c方法...........一

I.若所求函數符合導數公式，則直接利用公式求解.

2.對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導”的基本原則,

避免不必要的運算失誤.

3.要特別注意“J與In光"，2與logd"，“sinx與cosx”的導數區別.

建型2利用公式求函數在某點處的導數

［例2］質點的運動方程是尸sint.

⑴求質點在片全時的速度；

(2)求質點運動的加速度.

［思路點撥］(1)先求s'⑺，再求s'停)

(2)加速度是速度。⑺對，的導數，故先求。⑺，再求導.

［解］(1)0(。=./(0=COSt,.".L^=COS^=2.

jr1

即質點在/=1時的速度為

(2)Vy(Z)=cost,

加速度a⑺=0'(Z)=(cost)'=—sint.

「........規律c方法.............................

1.速度是路程對時間的導數，加速度是速度對時間的導數.

2.求函數在某定點(點在函數曲線上)的導數的方法步驟是：(1)先求函數的導

函數；(2)把對應點的橫坐標代入導函數求相應的導數值.

斗型3利用導數公式求切線方程

［探究問題］

1.如何求y=/(x)在點(沏，yo)處的切線方程？

［提示］先計算/(x),再求/'(xo),最后利用y—/(沏)=/'(xo)(x—的)求解便

可.

2.若已知函數y=/(x)的切線方程y=Air+〃，如何求切點坐標(沏，死)?

/(沏)=左，

［提示］利用"。=於。)，求解.

〔》0=履()+①

【例3】已知曲線y=/(x)=,，y=g(x)=:，過兩曲線交點作兩條曲線的切

?X

線，求兩切線與X軸所圍成的三角形的面積.

［思路點撥］先求交點f再分別求切線方程f計算三角形的面積.

W,rx=i

［解］由＜1得＜'即兩曲線的交點坐標為(1,1).

又‘㈤=4'g'陽=一5

:.f'(i)=1,g'(i)=-i.

兩切線方程分別為y—l=；(x—1),即),=%+/;

y—1=—(%—1),即y=-x+2.

其與x軸的交點坐標分別為(-1,0),(2,0),

故兩切線與x軸所圍成的三角形面積為

13

2XlX|2-(-l)|=2.

廠.....?規律C方法.....一

求曲線方程或切線方程時，應注意的事項

(1)切點是曲線與切線的公共點，切點坐標既滿足曲線方程也滿足切線方程；

(2)曲線在切點處的導數就是切線的斜率；

(3)必須明確已知點是不是切點，如果不是，應先設出切點.

匚整備素養4］

1.利用常見函數的導數公式可以比較簡捷地求出函數的導數，其關鍵是牢記

和運用好導數公式，解題時，能認真觀察函數的結構特征，積極地進行聯想化歸.

2.有些函數可先化簡再應用公式求導.

如求y=l-2sir＞2微的導數，因為y=1-2sin^=cosx,所以y'=(cosx)'=—

sinx.

3.對于正弦、余弦函數的導數，一定要注意函數名稱的變化及函數符號的變

化.

6.1.4求導法則及其應用

1.導數的運算法則

(1)和差的導數

[/(X)土g(x)]'=f'(X)土加(X).

(2)積的導數

①[Ax)g(x)]'=/'(x)g(x)+Ox)g'(x)；

②KXx)]'=Cf'(x).

(3)商的導數

矗「八幻~卜|,-f--(-x-)-j-g(2x)5-—-x-Y-g'---(-x)，g(i

拓展：①[/i(X)場(X)土…%(x)r=fi(x)Vz2(x)+--±f?(x).

②⑷(x)+bg(x)Y=af(x)+bg'(x)(a,b為常數).

2.復合函數的概念及求導法則

(1)復合函數的概念

一般地，已知函數y=/(〃)與〃=g(x),給定x的任意一個值，就能確定u的值.如

果此時還能確定)，的值，則y可以看成x的函數，此時稱1Ag(切有意義，且稱y=

力。)=Ag(x))為函數與四1的復合函數，其中生稱為中間變量?

(2)一般地，如果函數與"=g(x)的復合函數為y=//(x)=*g(x)),則可以

證明，復合函數的導數〃'㈤與/'⑷，g'㈤之間的關系為/(x)=[Ag(x))]'=

f'(〃)/(x)=fG?(X))R'(x).

，

這一結論也可以表示為＞'r=vUu'x.

叢型]導數四則運算法則的應用

[150I]求下列函數的導數.

(l)y=x2+x2；

(2)y=3V-2x+e；

…Inx

⑶尸PTT

(4)y=x—sin呼os,

［解］(Dy，=2x~2x~3.

(2)y'=(ln3+l)-(3e)'-2Aln2.

,x2+1—2x2lnx

⑶>=%(x2+i)2-

(4)*/y=x2-sin^cos^=x2—^sinx,

'.y'=2x—^cosx.

「......規?<75法......................

1.解答此類問題時要熟練掌握導數的四則運算法則.

2.對一個函數求導時，要緊扣導數運算法則，聯系基本初等函數的導數公式,

當不易直接應用導數公式時，應先對函數進行化簡(恒等變形)，然后求導.這樣可

以減少運算量，優化解題過程.

必型2____________復合函數的導數

【例2】求下列函數的導數.

⑴產e*

⑵產(2XT)3；

(3)y=51og2(l—x);

(4)y=sin3x+sin3x.

［思路點撥］先分析函數是怎樣復合而成的，找出中間變量，分層求導.

［解］⑴函數y=eZ/i可看作函數y=e"和M=2X+1的復合函數，

x=>'x=(e")'(2x+l)'=2ew=2e2x+l.

(2)函數)1=0可看作函數曠=Q3和u=2x—\的復合函數，

二<*=>'"?〃'x=(，3)'(2x-l)'=-6M-4

=-6(2X-1)-4=-^^4.

(3)函數y=51og2(l—x)可看作函數y=51og2〃和"=1—x的復合函數,

,/i—55

???V.產<X=(51og2〃)'(一?=而?=(1加2,

(4)函數y=sin3x可看作函數y=4?和〃=sinx的復合函數，函數y=sin3x可看

作函數y=sinv和v=3x的復合函數.

.?.y'、=(〃3y.(sinx)，+(sin/<3龍)'

=3H2-COSX+3COSv

=3sin\cosx+3cos3x.

廠.......規^^<75法.......................

1.解答此類問題常犯的兩個錯誤

(1)不能正確區分所給函數是否為復合函數；

(2)若是復合函數，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數復合而成.

2.復合函數求導的步驟

選定中間變量，正確分解復合關系，即

說明畝數關系尸扒磯但目㈤

分步求導(弄清每一步求導是哪個變量

對哪個變量求導)，要特別注意中間變量

對自變量求導，即先求匕,再求心

計算八?心，并把中間變量轉化為自變

量的函數

「堂型"導數運算法則的綜合應用

［探究問題］

若點P是曲線y=e、上的任意一點，如何求點尸到直線/:y=x的最小距離？

［提示］如圖，當曲線y=e"在點P(x(),光)處的切線與直線y=x平行時，點P

到直線/的距離最小.

設P(xo,兆)，則y'|x=x()=exo,

由ex()=l可知M)=0,此時y()=e°=l.

即P(0,l),利用點到直線的距離公式得最小距離4=個.

【例3】⑴設曲線>=產在點(0,1)處的切線與直線x+2y+b=0垂直，則a

(2)曲線y=ln(2x—1)上的點到直線2x~y+3=Q的最短距離為.

［思路點撥］(1)|求y'l,=o|f|由>'IE>=2拓

⑵設切點P(xo,州)I由3'僅=祀=2求/(的，)幻)

-I利用點到直線的距離求解

(1)2(2h/5[(1)因為y=e奴，所以<=茂匕

由題意可知y'|.「0=々=2可知a=2.

(2)設曲線y=ln(2九一1)在點(沏，泗)處的切線與直線2x—y+3=0平行，

,22

又因為y',所以y'|x=x()=7~二7=2,解得Xo=l.

ZJC—1ZJCQ-1

.,.jo=ln(2-l)=O,即切點坐標為(1,0),

.?.點(1,0)到直線2x—y+3=0的距離J=^-r=^=V5,

弋4+1

即曲線y=ln(2x—1)到直線2x—y+3=0的最短距離是由.]

廠.......規法.......................

正確的求出復合函數的導數是解題的前提，審題時，注意所給點是否是切點，

挖掘題目隱含條件，求出參數，解決已知經過一定點的切線問題，尋求切點是解

決問題的關鍵.

F必1備素養G

1.如果求導公式比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積

式展開為和式求導，商式變乘積式求導，三角恒等變換后求導等.

2.求簡單復合函數,外利+與的導數，實質是運用整體思想，先把復合函數轉

化為常見函數“=依+^的形式，然后再分別對與〃=奴+匕進行求

導，并把求導結果相乘，靈活應用整體思想把函數化為y=A〃)，"=以+人的形式

是求解的關鍵.

6.2利用導數研究函數的性質

6.2.1導數與函數的單調性

導數與函數的單調性的關系

(1)如果在區間(。，加內，/'(x)>0,則曲線y=/U)在區間3，份對應的那一段

上每一點處切線的斜率都大上Q,曲線呈上升狀態,因此.外幻在他，份上是增函數,

如圖⑴所示；

（2）如果在區間3,份內，/（x）＜0,則曲線y=/u）在區間（。，份對應的那一段

上每一點處切線的斜率都小于0,曲線呈工隆狀態，因此./W在（a,〃）上是減函數,

如圖⑵所示.

建型]函數與導函數圖像間的關系

【例1】（1）函數y=4x）的圖像如圖所示，給出以下說法:

①函數y=?x）的定義域是

[-1,5]；

②函數y=?x）的值域是

（-8,0]U[2,4];

③函數y=/3）在定義域內是增函數；

④函數y=*x）在定義域內的導數/'（x）＞0.

其中正確的是（）

A.①②B.①③

C.②③D.②④

（2）設函數式￥）在定義域內可導，y=/（x）的圖像如圖所示，則導函數y=/'（x）

的圖像可能為（）

(1)A(2)D[⑴由圖像可知，函數的定義域為值域為(一8,0]“2,4],

故①②正確，選A.

(2)由函數的圖像可知：當x<0時，函數單調遞增，導數始終為正；當x〉0時,

函數先增后減再增，即導數先正后負再正，對照選項，應選D.]

廠........規律(方法..........................、

研究一個函數的圖像與其導函數圖像之間的關系時，注意抓住各自的關鍵要

素，對于原函數，要注意其圖像在哪個區間內單調遞增，在哪個區間內單調遞減;

而對于導函數，則應注意其函數值在哪個區間內大于零，在哪個區間內小于零，

并分析這些區間與原函數的單調區間是否一致.

利用導數求函數的單調區間

角度一不含參數的函數的單調區間

【例2】求下列函數的單調區間.

(1次0=3f—21nx；

(3加%)=尤+1.

[解](1)函數的定義域為(0,+°°).

2

(x)=6x--,

令(X)=O,得汨=坐，X2=—W(舍去),

用兩分割定義域，得下表：

(0,用停+8)

X正

3

fW—0+

fix)\7

，函數./U)的單調遞減區間為(o,W),單調遞增區間為惇，+8

(2)函數的定義域為(-8,4-00).

??/(?=")/e-+Ae-),

=2xe~x—x2e~x=e~A(2x—x2),

令/'(x)=0,由于釘’>0,/.xi=0,X2=2,用光i,%2分割定義域，得下表:

X(一8,0)0(0,2)2(2,+8)

fM—0+0一

fix)/

.?JU)的單調遞減區間為(一8,0)和(2,+8),單調遞增區間為(0,2).

(3)函數的定義域為(-8,0)0(0,+8).

(x)=l—令/'(X)=O,得X1=—1,X2=l,用XI,X2分割定義域，得

下表:

X(―00,-1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+°°)

f(X)+0—一0+

於)//

二函數危)的單調遞減區間為(一1,0)和(0,1),單調遞增區間為(一8,—1)和(1,

+°0).

角度二含參數的函數的單調區間

【例3】討論函數以2+%—(a+l)lnx(a20)的單調性.

分ci>0,ci—0

［思路點撥］求函數的定義域一求/(X)

解不等式/(外>0或T。)<0-表述”)的單調性

［解］函數?x)的定義域為(0,+°°),

a+1+x-(a+1)

f(x)=ar+1xx

x—1

(1)當。=。時，f(x)=-

由/(x)>0,得x>l,

由/'(x)VO,得OVxVL

在(0,1)上為減函數，在(1,+8)上為增函數.

(2)當。>0時，f(x)=~-----f-----,

。+1

\"a>0,：.

由，(x)>0,得x>l,由/'(九)<0,得OVxVl.

....穴幻在(0,1)上為減函數，在(1,+8)上為增函數.

綜上所述，當時，兀0在(0,1)上為減函數，在(1,+8)上為增函數.

廠......規律C方法......................

利用導數求函數單調區間的步驟

(1)確定函數次刈的定義域.

(2)求導數/(X).

(3)由/'(x)>0(或/(x)<0),解出相應的x的范圍.當/(x)〉0時，犬幻在相應的

區間上是增函數；當/(x)<0時，犬x)在相應的區間上是減函數.

(4)結合定義域寫出單調區間.

瓜類型3,已知函數的單調性求參數的范圍

［探究問題］

1.在區間3,份內，若/'(x)>0,則.*X)在此區間上單調遞增，反之也成立

嗎？

［提示］不一定成立.比如y=j?在R上為增函數，但其在x=0處的導■數等

于零.也就是說/(x)>0是y=/(x)在某個區間上單調遞增的充分不必要條件.

2.若函數7(x)為可導函數，且在區間(a,與上是單調遞增(或遞減)函數，則/(%)

滿足什么條件？

［提示］/'(x)20(或/(x)WO).

【例4】已知函數/0)=儲一以一1在(一8,十8)上為單調遞增函數，求實

數a的取值范圍.

［思路點撥］依幻單調遞增IT/(x)20恒成立］一|分離參數求a的范圍

［解］由已知得/'(x)=3f—a,

因為7U)在(一8,+8)上是單調增函數，

所以/'(x)=3W—在(一8,十8)上恒成立，

即對光GR恒成立，

因為3/20,所以只需aWO.

又因為a=0時，f(X)=3X2^0,

所以，火》)=》3—1在R上是增函數.綜上，&W0.

［母題探究］

1.(變條件)若函數/U)=x3—依-1的單調減區間為(一口)，求。的值.

［解］f(x)=3xi—a,

①當aWO時，f(x)^0,

.?優幻在(-8,+8)上為增函數.不符題意.

②當a>0時，令37—a=0,得％=土:'做，

當—?<xV華時，/,(x)V0.

.?../U)在(一華，亨)上為減函數，

.../)的單調遞減區間為(一平，琴)，

1,即a=3.

2.(變條件)若函數?r)=d-ax—l在(一11)上單調遞減，求a的取值范圍.

［解］由題意可知/'(x)=3/-aW0在(一1,1)上恒成立，

f(-1)<0(3一后0

：.\,,，即1,二心3.

\f'(1)^0［3-a^O

即a的取值范圍是［3,+°°).

3.(變條件)若函數?x)=x3—融一1在(一1,1)上不單調，求a的取值范圍.

［解］'."J(x)=xi—ax—1,

:.f(x)=3九2—a,

由/'(x)=0,得x=q^(a20),

?.?加)在區間(-1,1)上不單調,

...0V華VI,即0VaV3.

故a的取值范圍為（0,3）.

1........規律（方法.............................

1.可導函數y（x）在（a,切上單調遞增（或單調遞減）的充要條件是/（x）20（或

/'a）WO）在（a,勿上恒成立，且f（X）在（a,/的任何子區間內都不恒等于0.

2.已知凡r）在區間（a,切上的單調性，求參數范圍的方法

（1）利用集合的包含關系處理_Ax）在（。，沙）上單調遞增（減）的問題時，區間（a，

切應是相應單調區間的子集；

（2）利用不等式的恒成立處理人x）在他，份上單調遞增（減）的問題時，可轉化為

f（x）^O（f（x）W0）在（a,與內恒成立，注意驗證等號是否成立.

r~ir喊備素養bl

判斷函數單調性的方法如下：

（1）定義法.在定義域內任取即，X2,且X1＜X2，通過判斷/（X1）—A%2）的符號來

確定函數的單調性.

（2）圖像法.利用函數圖像的變化趨勢進行直觀判斷：

圖像在某個區間呈上升趨勢，則函數在這個區間內是增函數；圖像在某個區

間呈下降趨勢，則函數在這個區間內是減函數.

（3）導數法.利用導數判斷可導函數7U）在區間（a,份內的單調性，步驟是：①

求/（X）；②確定,（X）在（a,份內的符號；③確定單調性.

函數y=/U）的單調增區間、減區間分別是解不等式（x）＞0和/（x）＜0所得

的x的取值集合.反過來，如果已知;U）在區間。上單調遞增，求?x）中參數的值,

這類問題往往轉化為不等式的恒成立問題，即/（x）20在。上恒成立且僅在有限

個點上等號成立，求人x）中參數的值.同樣也可以解決已知?r）在區間。上單調遞

減，求_/U）中參數的值的問題.

6.2.2導數與函數的極值、最值

第1課時函數的導數與極值

1.函數的極值

一般地，設函數的定義域為設刈七。，如果對于xo附近的任意不

同于的的無，都有

(1加力勺5))，則稱故為函數的一個極大值點，且7U)在的處取極大值；

(2)/(力次劭)，則稱也為函數/U)的一個極小值點，且/U)在的處取極小值.

極大值點與極小值點都稱為極值點,極大值與極小值都稱為極值.顯然，極

大值點在其附近函數值最大，極小值點在其附近函數值最小.

2.函數的導數與極值

一般地，設函數火x)在即處可導，且/'(xo)=o.

(1)如果對于即左側附近的任意龍，都有f(九)>0,對于的右側附近的任意X，

都有f'(x)<0,那么此時即是式x)的極大值點.

(2)如果對于M左側附近的任意x，都有f'(x)<0,對于xo右側附近的任意x,

都有尸(幻>0,那么此時即是人犬)的極小值點.

(3)如果/'(x)在項的左側附近與右側附近均為正號(或均為負號),則沏一定不

是y=/(x)的極值點?

厚型］求函數的極值或極值點

【例1】求下列函數的極值.

(l)/(x)=2?+3$—12x+1；

(2"(x)=d—21nx.

［解］(1)函數負幻=29+3/—1級+1的定義域為R,

f'(x)=6?+6x-12=6(x+2)(x-1),

令(x)=0,得Xi=-2,%2=1-

當X變化時，/'(X)與/U)的變化情況如下表：

X(-8,-2)-2(-2,1)1(1,+°°)

f'W+0—0+

於)/極大值21極小值一/

6

所以當x=-2時，.*x)取極大值21;

當x=l時，7(x)取極小值一6.

(2)函數＜x)=f-21nx的定義域為(0,4-0°),

令/'(x)=0,

得xi=l,》2=—1(舍去).

當x變化時，/'(x)與/U)的變化情況如下表:

X(0,1)1(1,+°°)

—

fW0+

於)極小值1/

因此當X=1時，.*X)有極小值1,無極大值.

廠......規律(方法........--

求可導函數./(X)的極值的步驟

(1)確定函數的定義域，求導數(X).

(2)求方程/(x)=0的根.

(3)利用/'(x)與凡r)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情

況求極值.

寸型2利用函數的極值求參數

【例2】(一題兩空)(1)已知函數在％=—1處有極值0,

則tz=，b=.

(2)若函數兒0=$3—d+or—1有極值點，則a的取值范圍為.

(1)29(2)(-°O,1)[⑴：/'(x)=3f+6依+乩且函數.*x)在x=-l處有

極值0,

Jf(-1)=0,

1)=0，

'3~6a+b=0,

即＜

、一1+3。一匕+。2=0,

u=1,a=2,

解得或

［b=3,(b=9.

當a=l,8=3時，/'(x)=3d+6x+3=3(x+1)2?0,此時函數/(x)在R上為

增函數，無極值，故舍去.

當。=2,匕=9時，f(x)=3d+12x+9=3(x+l)(x+3).

當xW(—8,-3)時，/'(x)>0,此時式x)為增函數；

當》6(—3,—1)時，/(x)<0,此時兀0為減函數；

當x￡(—l,+8)時，/。)>0,此時於)為增函數.