廣東省河源市南湖中學2022年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是等差數列的前項和，已知，，則A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.數列{an}滿足，，則（

）A． B． C． D．

參考答案：D由題意，數列滿足，即所以，則所以，故選D.

3.設函數f（x）=bsinx的圖象在點A（，f（））處的切線與直線x﹣2y+3=0平行，若an=n2+bn，則數列{}的前2014項和S2014的值為（） A． B． C． D． 參考答案：D4.已知，則下列結論錯誤的是 A. B. C. D.參考答案：C5.定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），滿足f′（x1）=，f′（x2）=，則稱數x1，x2為[a，b]上的“對望數”，函數f（x）為[a，b]上的“對望函數”．已知函數f（x）=x3﹣x2+m是[0．m]上的“對望函數”，則實數m的取值范圍是(

) A．（1，） B．（，3） C．（1，2）∪（2，3） D．（1，）∪（，3）參考答案：B考點：導數的運算；二次函數的性質．專題：導數的綜合應用．分析：由新定義可知f′（x1）=f′（x2）=m2﹣m，即方程x2﹣2x=m2﹣m在區間[0，m]有兩個解，利用二次函數的性質可知實數m的取值范圍解答： 解：由題意可知，在區間[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），滿足f′（x1）==m2﹣m，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=x2﹣2x，∴方程x2﹣2x=m2﹣m在區間[0，m]有兩個解．令g（x）=x2﹣2x﹣m2+m，（0＜x＜m）．則，解得＜a＜3，∴實數a的取值范圍是（，3）．故選：B．點評：本題是一道新定義函數問題，考查對函數性質的理解和應用．解題時首先求出函數f（x）的導函數，再將新定義函數的性質轉化為導函數的性質，進而結合函數的零點情況確定參數m所滿足的條件，解之即得所求．屬于中檔題．6.中國古代第一部數學專著《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩兩直角邊分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓內的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】求出直角三角形內切圓半徑，計算內切圓和三角形的面積，從而利用幾何概型概率公式得出結論.【詳解】直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得，內切圓的面積為，豆子落在其內切圓外部的概率是，故選C.【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.7.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是（）．A．

B．

C．

D．

參考答案：B第一步：，第二步：，輸出．故選B

8.（理）數列{an}中，已知S1=1，S2=2，且Sn+1－3Sn+2Sn－1=0(，n∈N*)，則此數列為 （

） A．等差數列

B．等比數列

C．從第二項起為等差數列

D．從第二項起為等比數列參考答案：D9.函數f(x)＝(x－2010)(x＋2011)的圖像與x軸、y軸有三個交點，有一個圓恰好

通過這三個點，則此圓與坐標軸的另一個交點是A．(0,1)

B．(0,)

C．(0,)

D．(0，)參考答案：A由題意得，函數f(x)的圖像與兩條坐標軸的交點分別是A(－2011,0)、B(2010,0)、C(0，－2010×2011)，設經過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點坐標是D(0，y0)，其中y0>0，結合圖形易知原點O位于經過點A，B，C的圓的內部，因此由相交弦定理得|OA|·|OB|＝|OC|·|OD|,2011×2010＝2011×2010y0，所以y0＝1，即經過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點坐標是D(0,1)，選A.10.已知拋物線與雙曲線有共同的焦點F，O為坐標原點，P在x軸上方且在雙曲線上，則的最小值為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】拋物線，可得x2=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線的c=2，可得雙曲線方程，利用向量的數量積公式，結合配方法，即可求出的最小值．【解答】解：拋物線，可得x2=8y，焦點F為（0，2），則雙曲線的c=2，則a2=3，即雙曲線方程為，設P（m，n）（n≥），則n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，則=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因為n≥，故當n=時取得最小值，最小值為3﹣2，故選：A．【點評】本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,點是梯形內或邊界上的一個動點，點N是DC邊的中點，則的最大值是________.參考答案：612.（幾何證明選講選做題）如圖2，圓的直徑，直線與圓相切于點，于點D，若，設，則______．

參考答案：

13.設x，y滿足的約束條件，則z=x+2y的最大值為．參考答案：7【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式對應的平面區域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直線y=﹣，由圖象可知當直線y=﹣經過點B時，直線y=﹣的截距最大，此時z最大．由，得，即B（3，2），此時z的最大值為z=1+2×3=1+6=7，故答案為：7．【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法．14.已知點P(2,2)在曲線y＝ax3＋bx上，如果該曲線在點P處切線的斜率為9，則函數f(x)＝ax3＋bx，x∈的值域為________．

參考答案：15.某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取80名學生進行家庭情況調查，經過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學生進行學情調查，發現有20名同學上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數為

.

參考答案：400略16.12．在平行四邊形中，對角線與交于點，，則____________．參考答案：217.,,若對應點在第二象限,則m的取值范圍為

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．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知數列的前項和．（Ⅰ）證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）當時，，∴；

………………2分

當時，，兩式相減得：，即，又.∴數列是以2為首項，1為公差的等差數列.

………………4分∴

，故.

………………6分（Ⅱ）∵，∴

原問題等價于對任意恒成立.

………………7分令，則，∴當時，，∴當時，，∴當時，.……10分∴，故.

………………12分略24、已知函數.(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)若對恒成立,求實數a的取值范圍.參考答案：20.(本小題滿分10分)已知數列滿足：（1）求證：是等差數列；（2）對一切正整數，設，求數列的前項和參考答案：（Ⅰ）,∴…2分又∵,∴.…………3分∴數列是以1為首項，0為公差的等差數列.…………5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）得，.…………7分,………9分∴，.…………10分21.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與圓相切，A為切點，PBC為割線，弦相交于E點，F為CE上一點，且.（1）求證：；（2）求證：.參考答案：22.已知橢圓C：（）的右焦點為F(2,0)，且過點P(2，).直線過點F且交橢圓C于A、B兩點。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線與x軸的交點為M（），求直線的方程.參考答案：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為，則，解得，，所以橢圓C的方程為，….5分（Ⅱ）當斜率不存在時,不符合題意,………………6分當斜率存在時設直線l的方程為y=k(x-2)，A(x1,y1)、B(x