PAGEPAGE4空間幾何體的表面積與體積專題一、選擇題1．棱長為2的正四面體的表面積是(C)．A.eq\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．16解析每個面的面積為：eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴正四面體的表面積為：4eq\r(3).2．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的(B)．A．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍D.eq\r(3,2)倍解析由題意知球的半徑擴大到原來的eq\r(2)倍，則體積V＝eq\f(4,3)πR3，知體積擴大到原來的2eq\r(2)倍．3．如圖是一個長方體截去一個角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為(B)．A.eq\f(142,3)B.eq\f(284,3)C.eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)解析根據三視圖的知識及特點，可畫出多面體的形狀，如圖所示．這個多面體是由長方體截去一個正三棱錐而得到的，所以所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3).4．某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(A)A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)解析由三視圖可知該幾何體是一個邊長為2的正方體內部挖去一個底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2π,3).5．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為(A)A．24－eq\f(3,2)πB．24－eq\f(π,3)C．24－πD．24－eq\f(π,2)據三視圖可得幾何體為一長方體內挖去一個半圓柱，其中長方體的棱長分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長為3，故其體積V＝2×3×4－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3π,2).6．某品牌香水瓶的三視圖如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積為(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95－\f(π,2)))cm2B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94－\f(π,2)))cm2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94＋\f(π,2)))cm2D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95＋\f(π,2)))cm2解析這個空間幾何體上面是一個四棱柱、中間部分是一個圓柱、下面是一個四棱柱．上面四棱柱的表面積為2×3×3＋12×1－eq\f(π,4)＝30－eq\f(π,4)；中間部分的表面積為2π×eq\f(1,2)×1＝π，下面部分的表面積為2×4×4＋16×2－eq\f(π,4)＝64－eq\f(π,4).故其表面積是94＋eq\f(π,2).7．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S-ABC的體積為(C)．A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D．1解析由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，設SD＝x，則DC＝4－x，此時所求棱錐即分割成兩個棱錐S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD＝BD＝eq\f(\r(3),3)x，又因為SC為直徑，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝eq\r(3)(4－x)，所以eq\f(\r(3),3)x＝eq\r(3)(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝eq\r(3)，所以三角形ABD為正三角形，所以V＝eq\f(1,3)S△ABD×4＝eq\r(3).二、填空題8．三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等于__eq\r(3)______．解析依題意有，三棱錐PABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).9．一個圓柱的軸截面是正方形，其側面積與一個球的表面積相等，那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為_3∶2_______．解析設圓柱的底面半徑是r，則該圓柱的母線長是2r，圓柱的側面積是2πr·2r＝4πr2，設球的半徑是R，則球的表面積是4πR2，根據已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圓柱的體積是πr2·2r＝2πr3，球的體積是eq\f(4,3)πr3，所以圓柱的體積和球的體積的比是eq\f(2πr3,\f(4,3)πr3)＝3∶2.10．如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形2，所以它們的展開圖即扇形的圓心角分別是和，由圓錐側面展開圖扇形的圓心角的計算公式，得，，所以它們的高的比是.5．已知三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為1cm，2cm，35．答案：1cm解：轉換一個角度來認識這個三棱錐，即把它的兩條側棱(如長度為1cm，2則它的體積是×1×3=1cm3.6．矩形兩鄰邊的長為a、b，當它分別繞邊a、b旋轉一周時,所形成的幾何體的體積之比為6．答案：解：矩形繞a邊旋轉，所得幾何體的體積是V1=πb2a，矩形繞b邊旋轉，所得幾何體的體積是V2=πa2b，所以兩個幾何體的體積的比是16．四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當四面體的體積最大時，求其表面積．解析(1)如圖，在四面體ABCD中，設AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點為P，BC的中點為E，連接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·aeq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(3a2－x2x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3(當且僅當x＝eq\f(\r(6),2)a時取等號)．∴該四面體的體積的最大值為eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為eq\f(\r(6),2)a，∴S表＝2×eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×e