多面體與歐拉公式第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日問題：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日多面體與正多面體的定義多面體：由若干個多邊形圍成的封閉立體圖形。正多面體：每個面都有相同邊數(shù)的正多邊形，而每個頂點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體。第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日究竟有多少個正多面體呢？第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日歐拉公式對簡單多面體而言，其頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)及棱數(shù)(E)滿足以下公式：V+F–E=2第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日例子：若一凸三十二面體的頂點(diǎn)數(shù)是60，求它的棱數(shù)。解：V=60,F=32代入V+F-E=2，得：

E=V+F-2=60+32-2=90該多面體的棱數(shù)是90。第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日例子：若一凸多面體的面全是三角形，證明F=2V-4。解：由於每塊面有3條邊，而每條邊是兩塊相鄰面所共有，所以：

E=3F/2………….(*)引用歐拉公式V+F-E=2，得：

2V+2F-2E=4把(*)代入，得：2V+2F–3F=42V-F=4

F=2V–4。第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日m的意義m代表一個正多面體每塊面上的邊數(shù)正六面體m=4正四面體m=3第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日n的意義n代表一個正多面體每個頂點(diǎn)上的邊數(shù)正六面體n=3正八面體n=4第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日想想看：mF=?m代表一個正多面體每塊面上的邊數(shù)正六面體m=4正八面體m=3F=6F=8mF=24=2EE=12E=12mF=24=2E第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日想想看：nV=?n代表一個正多面體每個頂點(diǎn)上的邊數(shù)正六面體n=3正八面體n=4V=8V=6nV=24=2EE=12E=12nV=24=2E第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日一般而言，對任意正多面體，有以下結(jié)果：mF=2E及nV=2E第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日一個幾何定理定理：正多面體只有五種第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日證明：正多面體只有五種假設(shè)m代表一正多面體每塊面上的邊數(shù)

n代表它的每個頂點(diǎn)上的邊數(shù)考慮以下公式：(1)(2)第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日將(1)、(2)式代入歐拉公式，得：(3)第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日m-2n-21112132131mn3334353345第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日把不同的m,n值代回(1)、(2)、(3)，得：mnEF多面體名稱3364正四面體34128正八面體353020正二十面體43126正六面體533012正十二面體第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日結(jié)論正多面