《函數的應用（二）》教學設計教學目標教學目標通過實例了解指數函數、對數函數、冪函數在復利計算、增長率等實際問題中的應用，進一步培養數學建模能力；在解決相關問題的過程中，鞏固指對冪運算，提升數學運算的核心素養；通過實際問題的解決，逐步培養分析問題、解決問題的能力，滲透德育教育．教學重難點教學重難點教學重點：能夠運用指數函數、對數函數、冪函數解決某些簡單的實際應用問題.教學難點：根據實際問題建立相應的數學模型.

課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第42-44頁，回答下列問題：（1）本節將要研究哪類問題？（2）本節要研究的問題在數學中的地位是怎樣的？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，老師指導學生概括總結本節的內容.預設的答案：本節課要學的內容是函數的應用（二），主要討論的是指數函數、對數函數和冪函數的應用，類似的內容能加深學生對所學函數知識的理解，同時能提高學生利用所學知識解決實際問題的能力，在學習本節知識之前，可引導學生回顧一下有關內容，如指數函數、對數函數、冪函數的單調性等.設計意圖：通過本節課內容的預習，讓學生明晰下一階段的學習目標，初步搭建學習內容的框架.問題導入引語：因為生活中很多量與量的關系都可以歸結為指數關系，因此指數函數、對數函數和冪函數有著廣泛的應用.下面舉例說明.（板書：函數的應用（二））【新知探究】問題2：復利計息與“70原則”復利計息，俗稱“利滾利”，是把前一期的本金和利息加在一起，作為下一期的本金進行計息的一種方式．所謂“70原則”，是指在復利計息的情況下，本息和翻倍的一種簡算方法．設每期的利率為r，則大約經過期本息和就會變為原來的2倍．思考與討論：①復利問題中涉及到哪些變量？這些變量之間有什么數量關系？②“70原則”研究的問題中，所需滿足的數量關系是什么？所需求解的變量是什么？③如何說明“70原則”包含的數學道理？師生活動：學生嘗試自己得出問題的結果．并思考運用的是何種函數模型.預設的答案：①本金、利率、存期、本息和，本息和＝本金×(1+利率)．②設本金為a元，每期利率為r，存期為x，到期的本息和為元，則．③“70原則”研究的問題是本息和翻倍，即，所以，．這里，，當r很小時()，，所以．設計意圖：銀行利率問題是我們身邊最常見的一種經濟指數模型，銀行計息在存款與貸款中必不可少．通過這一例子，可以讓學生初步認識到指數函數在利息計算中的應用，體現到用所學知識解決表面看起來很深奧的問題，為今后研究借貸計息作一鋪墊．例1有些銀行存款是按復利的方式和計算利息的，即把前一期的利息與本金加在一起作為本金，再計算下一期的利息，假設最開始本金為a元，每期的利率為r，存x期后本息和為f(x)元.寫出f(x)的解析式；至少要經過多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？解：（1）不難看出，f(1)=a+=a（1+r），f(2)=a（1+r）+a（1+r）r=a(1+r)2f(3)=a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3......因此f(x)=a(1+r)x，x∈N*.（2）由f(x)≥2a,由此可解得x≥設不小于的最小整數為,則至少要經過期后,本息和才能不小于本金的2倍.由例1的(2)可以得到銀行業中經常使用“70原則”：因為ln2≈0.69315，而且當r比較小時，（1+r）≈r，所以即利率為r時，本息和大約要期才能“倍增”（即為原來的2倍）.例如，當年利率為5%時，約要經過14年，本息和才能“倍增”問題3：年均下降率與節能減排問題按照《國務院關于印發“十三五”節能減排綜合工作方案的通知》（國發[2016]74號）的要求，到2020年，全國二氧化硫排放總量要控制在1580萬噸以內，要比2015年下降15%．師生活動：①2015年二氧化硫排放總量的最大值是多少萬噸？（精確到1萬噸）②年均下降率是指一定年限內，平均每年下降的速度．請問在“十三五”期間，全國每年二氧化硫排放的年均下降率是多少？（精確到0.001）③如果2016~2019這四年的年均下降率均為3%，那么2020年的年均下降率應為多少？（精確到0.001）④2019年全國二氧化硫排放總量應控制在多少萬噸以內？（精確到1萬噸）預設的答案：①（萬噸）；②設年均下降率為r，則，解得：．一般地，若記2020年相比2015年的下降百分比為a，則，．；③，故；④（萬噸）一般地，若記2015年之后的第年二氧化硫排放總量的最大值為萬噸，則．設計意圖：節能減排，節約能源，保護環境，這是當前國家一項重要的工作舉措．隨著現代社會物質生活條件的提高，各種能源消耗也增大不少，而我們往往忽視能源的減少還會帶來環境的惡化，危害人們的生活乃至生命．本例意圖是給學生滲透一種節能環保的意識．例3已知某地區第一年的經濟增長率為a（a∈[0,1]且a為常數），第二年的經濟增長率為x（x≥0），這兩年的平均經濟增長率為y，寫出y與x的關系，并求y的最小值.師生活動：學生充分思考后，寫出并有老師給出答案.預設的答案：解：根據題意有(1+a)(1+x)=(1+y)2,從而有y=顯然，上述函數是增函數，因此x=0時，y有最小值.設計意圖：平均增長率是學生不太熟悉的，講解時要重點解釋為什么(1+a)(1+x)=(1+y)2,問題4：聲強等級與噪聲污染人們通常以分貝（符號是dB）為單位來表示聲音強度的等級，其中0dB是人能聽到的等級最低的聲音．一般地，聲強級是指該處的聲強（單位：瓦/米）與參考聲強的比值的常用對數再乘以10，參考聲強是瓦/米，即：．師生活動：①人能聽到的等級最低的聲音的強度是多少？②為了防止噪音，我國著名聲學家馬大猷教授曾總結和研究了國內外現有各類噪音的危害和標準，提出了三條建議：（1）為了保護人們的聽力和身體健康，噪音的允許值在75~90dB．（2）保障交談和通訊聯絡，環境噪音的允許值在45~60dB．（3）對于睡眠時間建議在35~50dB．請你計算，90dB、60dB、50dB的聲音強度之比．預設的答案：①令，得（瓦/米）；②可分別求出對應的聲音強度：瓦/米、瓦/米、瓦/米，它們的比值為10000:10:1．嘈雜的馬路聲音等級為90dB，其聲音強度至少是正常交談的1000倍，是睡眠的10000倍．人不宜長時間呆在嘈雜的環境之中．設計意圖：噪聲污染屬于感覺公害，對人、動物、儀器儀表以及建筑物均構成危害，其危害程度主要取決于噪聲的頻率、強度及暴露時間．防止噪音，不制造噪音，這需要大家共同行動．通過這個例子滲透另一種環保意識，甚至激發有志者投身研究如何防止和利用噪音．生活中類似的應用還有很多，如地震的級別．練習：教科書第44頁習題A1，2題．師生活動：學生做練習，教師根據學生練習情況給予反饋．【課堂小結】1．板書設計：4.6函數的應用（二）1．復利計息與“70原則”例12．年均下降率與節能減排問題例23．聲強等級與噪聲污染例3練習與作業：教科書第44頁習題A3,4題；教科書第45頁習題B1，2題．2．總結概括：問題：（1）本節課我們學習了哪些常見的數學模型？2.應用函數解決實際問題的一般步驟有哪些？其關鍵環節是什么？師生活動：學生嘗試總結，老師適當補充.預設的答案：（1）指數函數模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c為常數，a≠0，b>0，b≠1)；對數函數模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a為常數，a>0，a≠1)；冪函數模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n為常數，a≠0，n≠1)；（2）第一步：閱讀、理解；第二步：建立數學模型，把應用問題轉化為數學問題；第三步：解答數學模型，求得結果；第四步：把數學結果轉譯成具體問題的結論，做出解答．而這四步中，最為關鍵的是把第二步處理好．只要把數學模型建立妥當，所有的問題即可在此基礎上迎刃而解．但是，很多同學在建模過程中忽視了一些細節，導致“滿盤皆輸”．設計意圖：通過梳理本節課的內容，能讓學生更加明確函數的應用，隨著新課標的實施，指數、對數函數模型將會起到越來越重要的作用，在高考的舞臺上將會扮演愈來愈重要的角色．布置作業：教科書第45頁習題B3,4題．【目標檢測】1.有一個受到污染的湖泊，其湖水的體積為V立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都為r立方米．現假設下雨和蒸發正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合．用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數，我們稱其為在時刻t時的湖水污染質量分數．已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數滿足關系式g(t)＝eq\f(p,r)＋[g(0)－eq\f(p,r)]e－eq\f(r,v)t(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始質量分數．(1)當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；(2)求證：當g(0)<eq\f(p,r)時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(即污染停時)污染水平的5%?(1)解設0≤t1<t2，∵g(t)為常數，∴g(t1)＝g(t2)，即[g(0)－eq\f(p,r)]·[e－eq\f(r,v)t1－e－eq\f(r,v)t2]＝0，∴g(0)＝eq\f(p,r).(2)證明設0≤t1<t2，則g(t1)－g(t2)＝[g(0)－eq\f(p,r)]·[e－eq\f(r,v)t1－e－eq\f(r,v)t2]＝[g(0)－eq\f(p,r)]·，∵g(0)－eq\f(p,r)<0，t1<t2，∴g(t1)－g(t2)<0，∴g(t1)<g(t2)．在湖泊污染質量分數隨時間變化而增加，污染越來越嚴重．(3)解污染源停止，即p＝0，此時g(t)＝g(0)·e－eq\f(r,v)t.設要經過t天能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.即g(t)＝5%·g(0)，即有5%·g(0)＝g(0)·e－eq\f(r,v)t.由實際意義知g(0)≠0，∴eq\f(1,20)＝e－eq\f(r,v)t.∴t＝eq\f(v,r)ln20(天)，即需要eq\f(v,r)ln20天時間．點評高考數學試題中聯系生活實際和生產實際的應用問題，其創意新穎，設問角度獨特，解題方