第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理第八章

8.6.2直線與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明.(重點(diǎn))2.會(huì)用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問(wèn)題.(重點(diǎn))3.會(huì)求直線與平面、平面與平面的距離問(wèn)題.(難點(diǎn))導(dǎo)語(yǔ)在平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，在空間中是否有類似的性質(zhì)呢？本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)一下！一、直線與平面垂直的性質(zhì)定理二、直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用三、空間中的距離問(wèn)題隨堂演練內(nèi)容索引直線與平面垂直的性質(zhì)定理

一問(wèn)題1如圖1，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？提示平行.問(wèn)題2如圖2，已知直線a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直線a，b一定平行嗎？提示a與b平行.問(wèn)題3你能證明嗎？提示如圖，假設(shè)b與a不平行且b∩α＝O，顯然點(diǎn)O不在直線a上，所以點(diǎn)O與直線a確定一個(gè)平面，在該平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作直線b′∥a，則直線b與b′是相交于點(diǎn)O的兩條不同直線，所以直線b與b′可確定平面β，設(shè)α∩β＝c，則O∈c.因?yàn)閍⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因?yàn)閎′∥a，所以b′⊥c.這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過(guò)直線c上同一點(diǎn)O就有兩條直線b，b′與c垂直，顯然不可能.因此b∥a.知識(shí)梳理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_____符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

a⊥α，b⊥α?a∥b平行注意點(diǎn)：(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法.(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中平行與垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了垂直與平行關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù).例1(多選)已知a，b，c為三條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A.若a⊥α，b∥β且α∥β，則a⊥bB.若a⊥b，a⊥α，則b∥αC.若a⊥α，b⊥α，a∥c則b∥cD.若a⊥α，β⊥α，則a∥β√√A選項(xiàng)，因?yàn)棣痢桅拢琣⊥α，則a⊥β，又∵b∥β，∴a⊥b，故A正確；B選項(xiàng)，b有可能在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，因?yàn)閍⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因?yàn)閍∥c，所以b∥c，故C正確.D選項(xiàng)，a有可能在β內(nèi)，故D錯(cuò)誤.反思感悟(1)線面垂直的性質(zhì)定理揭示了“垂直”與“平行”兩種位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系.(2)常用線面垂直的性質(zhì)還有：①b⊥α，a?α?b⊥a；②a⊥α，b∥a?b⊥α；③a⊥α，a⊥β?α∥β.跟蹤訓(xùn)練1

△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定√∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l(xiāng)⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l(xiāng)∥m.直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

二例2

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.反思感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行的定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn).(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，已知斜邊為AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F(xiàn)分別為垂足，(1)求證：EF⊥PB；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF，又AF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC?平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB.(2)若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.由(1)知PB⊥平面AEF，又l⊥平面AEF，∴PB∥l.空間中的距離問(wèn)題

三問(wèn)題4若直線l∥平面α，直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等嗎？提示相等.問(wèn)題5你能證明問(wèn)題4嗎？提示如圖，過(guò)直線l上任意兩點(diǎn)A，B分別作平面α的垂線AA1，BB1，垂足分別為A1，B1.∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1，設(shè)直線AA1，BB1確定的平面為β，β∩α＝A1B1，∵l∥α，∴l(xiāng)∥A1B1.∴四邊形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1.由A，B是直線l上任取的兩點(diǎn)，可知直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.知識(shí)梳理1.直線與平面的距離一條直線與一個(gè)平面

時(shí)，這條直線上

到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.2.平面與平面的距離如果兩個(gè)平面

，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的

到另一個(gè)平面的距離都

，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.平行任意一點(diǎn)平行任意一點(diǎn)相等例3

如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，平面AMN∥平面EFDB.求平面AMN與平面EFDB間的距離.平面AMN與平面EFDB之間的距離即為D到平面AMN的距離h，反思感悟直線與平面、兩平行平面之間的距離應(yīng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再求值.跟蹤訓(xùn)練3作AH⊥PB于點(diǎn)H，如圖所示.由題設(shè)知BC⊥平面PAB，因?yàn)锳H?平面PAB，所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，故AH⊥平面PBC，即AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面PBC的距離.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.由題意知BC⊥平面PAB，因?yàn)镻B?平面PAB，延長(zhǎng)棱臺(tái)各側(cè)棱交于點(diǎn)P，得到截得棱臺(tái)的棱錐.過(guò)點(diǎn)P作棱臺(tái)的下底面的垂線，分別與棱臺(tái)的上、下底面交于點(diǎn)O′，O，則PO垂直于棱臺(tái)的上底面，從而O′O＝h.設(shè)截得棱臺(tái)的棱錐的體積為V，去掉的棱錐的體積為V′、高為h′，則PO′＝h′.由棱臺(tái)的上、下底面平行，可以證明棱臺(tái)的上、下底面相似，代入①，得課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用.(2)直線與平面、平面與平面的距離.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見(jiàn)誤區(qū)：距離轉(zhuǎn)化不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤.隨堂演練

1.(多選)下列命題正確的是√1234√√2.(多選)直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)不同平面內(nèi)，使a∥b成立的條件是A.a和b垂直于正方體的同一個(gè)面B.a和b在正方體兩個(gè)相對(duì)的面內(nèi)，且共面C.a和b平行于同一條棱D.a和b在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直√√√A為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用；B為平面平行的性質(zhì)；C為基本事實(shí)4的應(yīng)用.12343.線段AB的端點(diǎn)A，B到平面α的距離分別是30cm和50cm，則線段AB的中點(diǎn)M到平面α的距離為A.40cm B.10cmC.80cm D.40cm或10cm√12344.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)D1到平面AB1C的距離是√1234連接BD1，BD，如圖所示，則AC⊥BD，