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文檔簡介

線性代數（經管類）重點難點指導線性代數這門課程的概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系。下面就對線代每章中一些具體知識點以及重要性質作如下總結：一、行列式行列式的核心內容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和階兩種類型。主要方法是應用行列式按行或者列展開定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（階行列式的值為取自不同行、不同列的個元素的乘積的代數和）、性質（其中為矩陣的特征值）、行列式的性質。對于抽象行列式的求值，主要在于考慮等的相關性質。二、矩陣矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣、矩陣的秩等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次，一是運用矩陣的性質對抽象矩陣進行運算，二是具體矩陣的數值運算。矩陣計算中最主要的工具是初等變換。下面的表格分類列出了的性質以供區別記憶（為的特征值）：行列式性質特征值性質運算性質秩的性質與A的特征值相同伴隨矩陣有特征值數乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值有特征值則有：若是可逆矩陣則有；同樣，若可逆則有三、線性方程組向量與線性方程組的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。學習本章必須徹底弄清楚諸多知識點之間的內在聯系，只有這樣才能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。以下給出這部分主要知識點：三個雙重定義：1.秩的定義a.矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數。b.向量組秩定義：向量組的極大線性無關組中的向量個數。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關系：若與合同或相似則與必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯系。3.矩陣可相似對角化的條件。包括兩個充要條件和兩個充分條件，充要條件（1）是階矩陣有個線性無關的特征向量；充要條件(2)是的任意重特征根對應有個線性無關的特征向量；充分條件（1）是有個互不相同的特征值；充分條件（2）是為實對稱矩陣。4.實對稱矩陣極其相似對角化。階實對稱矩陣必可正交、相似于對角陣，即有正交陣使得，而且正交陣由對應的幾個正交的特征向量組成。五、二次型將二次型表示成矩陣形式,用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個:一是化二次型為標準形,這主要是正交變換法(這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法),在沒有其他要求的情況下,用配方法得到標準形可能更方便些;二是二次型的正定性問題,對具體的數值二次型,一般可用順序主子式是否全部大于零來判別,而抽象的由給定矩陣的正定性,證

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