結構力學上位移法演示文稿當前第1頁\共有75頁\編于星期三\10點（優選）結構力學上位移法當前第2頁\共有75頁\編于星期三\10點力法：由變形協調條件建立位移方程；位移法：由平衡條件建立的平衡方程。二、位移法與力法的區別1.主要區別是基本未知量選取不同力法：多余未知力作為基本未知量；位移法：結點位移(線位移和角位移)作為基本未知量。2.建立的基本方程不同注意：力法的基本未知量的數目等于超靜定次數，而位移法的基本未知量與超靜定次數無關。當前第3頁\共有75頁\編于星期三\10點1.剛結點所連接的各桿端截面變形后有相同的角位移；三、位移法的基本假定2.各桿端之間的連線長度變形前后保持不變，即忽略桿件的軸向變形；3.結點線位移的弧線運動用垂直于桿軸的切線代替，即結點線位移垂直于桿軸發生。當前第4頁\共有75頁\編于星期三\10點四、用位移法計算超靜定結構的思路例如：用位移法求解如圖所示的剛架。由此可知，結點1只有轉角Z1，而無線位移。因節點1為剛節點，匯交于結點1的兩桿桿端也應有同樣的轉角Z1。1.為了使問題簡化，作如下計算假定：1）在受彎桿件中，略去桿件的軸向變形和剪切變形的影響。2）假定受彎桿兩端之間的距離保持不變。當前第5頁\共有75頁\編于星期三\10點忽略軸向變形＝＋這兩個結構都可以用力法求解當前第6頁\共有75頁\編于星期三\10點（1）用力法算出單跨超靜定梁在桿端發生各種位移時及荷載等因素作用下的內力（2）確定以上結構的位移作為基本未知量（3）如何求出這些位移?當前第7頁\共有75頁\編于星期三\10點ABCPθAθA荷載效應包括：內力效應：M、Q、N；位移效應：θAABCPθAθA附加剛臂Step1：附加剛臂限制結點位移，荷載作用下附加剛臂上產生附加力矩。Step2：對結點施加產生相應的角位移，以實現結點位移狀態的一致性。產生相應的附加約束反力。ABC實現位移狀態可分兩步完成當前第8頁\共有75頁\編于星期三\10點Step3：疊加兩步作用效應，約束結構與原結構的荷載特征及位移特征完全一致，則其內力狀態也完全相等；

由于原結構沒有附加剛臂：因此附加約束上的附加內力應等于0，按此可列出求解結點位移的基本方程。ABCPθAθAStep1：附加剛臂限制結點位移，荷載作用下附加剛臂上產生附加力矩。Step2：對結點施加產生相應的角位移，以實現結點位移狀態的一致性，產生相應的附加約束反力。ABC當前第9頁\共有75頁\編于星期三\10點使結點1正好轉動一個轉角Z1時，使所加的附加約束不再起作用，其數學表達式為：R1=0

上式意義：外荷載和實際應有的轉角Z1共同作用于基本結構時，附加約束反力矩為零（剛臂不起作用）。R11=r11Z1Z1=1根據疊加原理，共同作用等于單獨作用的疊加：

R1＝R11＋R1P=0

（a)R11為強制使結點發生轉角Z1時所產生的約束反力矩。R1P為荷載作用下所產生的約束反力矩。當前第10頁\共有75頁\編于星期三\10點

為單位位移（轉角Z1＝1）產生的約束反力矩。上式的物理意義是，基本結構由于轉角Z1和外荷載FP共同作用，在附加剛臂1處所產生的約束反力矩總和等于零（使a,b兩圖疊加后附加剛臂不起作用）。由此方程可得：可見，只要有了系數r11及自由項R1P，Z1值很容易求得。為了將式(a)寫成未知量Z1的顯式，將R11寫為：式（a）變為：當前第11頁\共有75頁\編于星期三\10點為了確定上式中的R1P

和r11

，可先用力法分別求出各單跨超靜定梁在梁端、柱頂1處轉動Z1=1時產生的彎矩圖及外荷載作用下產生的彎矩圖。求系數和自由項當前第12頁\共有75頁\編于星期三\10點r11Z1=11）求r11和M1當前第13頁\共有75頁\編于星期三\10點P1AR1PPMP圖2）求R1P和MP當前第14頁\共有75頁\編于星期三\10點

現取圖、MP圖中的結點1為隔離體，由力矩平衡方程，求出：當前第15頁\共有75頁\編于星期三\10點將這些結果代入位移法基本方程中解方程，即得最后，根據疊加原理，即可求出最后彎矩圖。解方程，畫內力圖當前第16頁\共有75頁\編于星期三\10點

1.在原結構產生位移的結點上設置附加約束，使結點固定，從而得到基本結構，然后加上原有的外荷載；２.人為地迫使原先被“固定”的結點恢復到結構原有的位移。通過上述兩個步驟，使基本結構與原結構的受力和變形完全相同，從而可以通過基本結構來計算原結構的內力和變形。綜上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定節點使之不動（a）（b）釋放節點，使節點發生實際位移當前第17頁\共有75頁\編于星期三\10點應用位移法需要解決的首要問題就是，要確定桿件的桿端內力與桿端位移及荷載之間的函數關系(桿件的轉角位移方程)。利用力法的計算結果，由疊加原理導出三種常用等截面直桿的轉角位移方程。8.2.1桿端內力及桿端位移的正負號規定1、桿端內力的正負號規定桿端彎矩：對桿端而言，以順時針方向為正，反之為負。對結點或支座而言，則以逆時針方向為正，反之為負。桿端剪力和桿端軸力的正負號規定，仍與前面規定相同。§8.2等截面直桿的轉角位移方程當前第18頁\共有75頁\編于星期三\10點2、桿端位移的正負號規定1）桿端轉角（角位移）:以順時針為正，反之為負。2）線位移以桿的一端相對于另一端產生順時針方向轉動的線位移為正，反之為負。例如，圖中ΔAB為正。當前第19頁\共有75頁\編于星期三\10點8.2.2單跨超靜定梁的形常數和載常數位移法中，常用到圖示三種基本的等截面單跨超靜定梁，它們在荷載、支座移動或溫度變化作用下的內力可通過力法求得。a)兩端固定b)一端固定一端鉸支c)一端固定一端定向支承由荷載或溫度變化引起的桿端內力稱為載常數。其中的桿端彎矩也常稱為固端彎矩，用和表示；桿端剪力也常稱為固端剪力，用和表示。常見荷載和溫度作用下的載常數列入表中。當前第20頁\共有75頁\編于星期三\10點由桿端單位位移引起的桿端內力稱為形常數。表中引入記號i=EI/l，稱為桿件的線剛度。a)兩端固定b)一端固定一端鉸支c)一端固定一端定向支承當前第21頁\共有75頁\編于星期三\10點8.2.3轉角位移方程

1、兩端固定梁由疊加原理可得：BAQFABQFABMMBABABqABPFEI=/lAlMB1P+++t1t2固端彎矩當前第22頁\共有75頁\編于星期三\10點2、一端固定另一端鉸支梁當前第23頁\共有75頁\編于星期三\10點3、一端固定另一端定向支承梁當前第24頁\共有75頁\編于星期三\10點1）兩端固定梁2）一端固定另一端鉸支梁3）一端固定另一端定向支承梁應用以上三組轉角位移方程，即可求出三種基本的單跨超靜定梁的桿端彎矩表達式，匯總如下：當前第25頁\共有75頁\編于星期三\10點獨立的結點位移：包括角位移和線位移結點角位移數：剛結點的數目獨立結點線位移數：鉸結體系的自由度

§8.3位移法的基本概念8.3.1位移法基本未知量●結點：指桿件與桿件的交結處，不包括支座結點。

●桿件：等截面的直桿，不能是折桿或曲桿。●為了減少未知量，忽略軸向變形，即認為桿件的EA=∞。當前第26頁\共有75頁\編于星期三\10點2.有側移結構1.無側移結構基本未知量：所有剛結點的轉角基本未知量的確定當前第27頁\共有75頁\編于星期三\10點只有一個剛結點B，由于忽略軸向變形，B結點只有

只有一個剛結點B，由于忽略軸向變形及C結點的約束形式，B結點有一個轉角和水平位移ABCABC當前第28頁\共有75頁\編于星期三\10點

有兩個剛結點B、C，由于忽略軸向變形及B、C點的約束，B、C點的豎向、水平位移均為零，因此該結構的未知量為：

ABCDABCD當前第29頁\共有75頁\編于星期三\10點

排架結構，有兩個鉸結點A、B，由于忽略軸向變形，A、B兩點的豎向位移為零，A、B兩點的水平位移相等，因此該結構的未知量為：

EA=∞ABCD

兩跨排架結構，有四個結點A、B、C、D，同理A與B點、D與C點的水平位移相同，各結點的豎向位移為零，但D結點有一轉角，因此該結構的未知量為：

EA=∞ABDCEFG

當前第30頁\共有75頁\編于星期三\10點該題的未知量為

對圖示有斜桿的剛架，未知量分析的方法是：對于轉角位移，只需數剛結點，一個剛結點一個轉角位移。對于線位移，首先把所有的剛結點變成鉸結點，然后再加鏈桿，使其變成無多余約束的幾何不變體系，加了幾根鏈桿，就是有幾個線位移。ABCDEABCDE當前第31頁\共有75頁\編于星期三\10點結點轉角的數目：7個獨立結點線位移的數目：3個123當前第32頁\共有75頁\編于星期三\10點

剛架結構，有兩個剛結點D、E，故有兩個角位移，結點線位移由鉸結體系來判斷，W=3×4－2×6=0，鉸結體系幾何不變，無結點線位移。

ABCDEABCD

剛架結構，有兩個剛結點C、D，故有兩個角位移，結點線位移由鉸結體系來判斷，W=3×3－2×4=1，鉸結體系幾何可變，有一個線位移。

當前第33頁\共有75頁\編于星期三\10點兩點說明說明1：當剛架中有需要考慮軸向變形（）的二力桿時則考慮二力桿的軸向變形。例如：下圖結構要求考慮水平直桿的軸向變形，當前第34頁\共有75頁\編于星期三\10點2.建立基本體系（1）在每個剛結點處添加一個附加剛臂，

阻止剛結點轉動（不能阻止線位移）；（2）在可能發生線位移的結點，加上附加鏈桿，阻止結點線位移（移動）。8.3.2位移法的基本結構1.基本體系——單跨超靜定梁的組合體用位移法計算超靜定結構時，把每一根桿件都作為單跨超靜定梁看待。經過以上處理，原結構就成為一個由n個獨立單跨超靜定梁組成的組合體——即為位移法的基本體系。當前第35頁\共有75頁\編于星期三\10點例.建立圖示結構位移法的基本體系。

未知量2個：基本體系

在有轉角位移的結點處先加一剛臂，阻止轉動，然后再讓其發生轉角。在有線位移的結點處先加一鏈桿，阻止線位移，然后再讓其發生線位移。EIEIABCLqLq原結構當前第36頁\共有75頁\編于星期三\10點鎖住——將原結構轉換成基本體系。把原結構“拆成”孤立的單個超靜定桿件；放松——將基本結構還原成原結構。即強行使“鎖住”的結點發生與原結構相同的轉角或線位移。2.位移法典型方程的建立與求解1.基本原理——先鎖、后松。§8.4

位移法的典型方程當前第37頁\共有75頁\編于星期三\10點EIEIABCqLL

原結構EIEIABCq

基本體系3i4i2i

M1圖×Z1

M2圖×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1

MP圖==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三個圖中的附加剛臂和鏈桿中一定有約束反力產生，而三個圖中的反力加起來應等于零。qL28當前第38頁\共有75頁\編于星期三\10點++=k11k21F1PF2Pk12附加剛臂和鏈桿上產生的反力EIEIABCq

基本體系Z1Z2k22

M2圖×Z2Z2=16EIL26EIL2qL28

MP圖qL28

M1圖×Z1Z1=13i4i2i當前第39頁\共有75頁\編于星期三\10點

位移法典型方程由反力互等定理可知：在M1、M2、MP三個圖中附加剛臂和鏈桿中產生的附加力加起來應等于零，則有：方程中的系數和自由項就是M1、M2、MP三個圖中剛臂和鏈桿中產生的附加反力。當前第40頁\共有75頁\編于星期三\10點求系數和自由項：取各個彎矩圖中的結點或截面利用平衡原理求得。由M1圖：3i4ik11k11k21FQBA由M2圖：6i/Lk12k12k22FQBA當前第41頁\共有75頁\編于星期三\10點由MP圖：把系數和自由項代入典型方程，有：——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0當前第42頁\共有75頁\編于星期三\10點以圖(a)所示剛架為例，闡述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、確定位移法基本未知量：

基本未知量為:Z1、Z2

。2、選取位移法基本體系：如圖(b)所示3、將原結構的變形根據變形協調進行分解，為以下三種變形的疊加：R2=0PL1234EI=常數Z1Z2(a)位移法的典型方程(b)基本體系1234=Z1Z2?R1=0P當前第43頁\共有75頁\編于星期三\10點

2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21）將可能發生位移的節點全鎖住，求荷載P引起的局部變形。鎖住Z1和Z2，使1節點不轉動且橫梁也不水平移動。2）釋放1節點此時仍然鎖住Z2。使1節點產生實際位移Z1（基本未知量），此時在1節點處需施加力R11，對應的變形為實際位移Z1單獨引起的變形。3）再釋放Z2，此時要鎖住Z1，使2節點或水平梁產生實際位移Z2

（基本未知量），此時需在2節點處需施加力R22，對應的變形為實際位移Z2單獨引起的變形。當前第44頁\共有75頁\編于星期三\10點4：用力的平衡條件建立位移法典型方程。原結構分解前與分解后再疊加應使結構節點處所受的力相同：在1節點處沒有剛臂約束，無外力矩，則應滿足：R1=0；在2節點處無水平鏈桿，無水平外力，則應滿足：R2=0。即：R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R1—附加剛臂上的反力矩R2—附加鏈桿上的反力PP當前第45頁\共有75頁\編于星期三\10點R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一個下標表示該反力的位置，第二個下標表示引起該反力的原因。設以r11、r12分別表示由單位位移：Z1=1、Z2=1所引起的剛臂上的反力矩；以r21、r22分別表示由單位位移Z1=1、Z2=1所引起的所引起的鏈桿上的水平反力，則上式可寫成:

r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0這就是求解Z1、Z2的方程即位移法基本方程(典型方程)。它的物理意義是：基本結構在荷載等外因和結點位移（基本未知量）的共同作用下，每一個人為增設的附加約束中的附加反力或反力矩都應等于零(即附加約束實際上不起作用，為靜力平衡條件)。當前第46頁\共有75頁\編于星期三\10點借助于型常數和載常數繪出基本結構在以及荷載作用下的彎矩圖和MP圖：對上例：計算典型方程中的系數和自由項，134134213424i2i3iPMP圖系數和自由項可分為兩類：

1）附加剛臂上的反力矩r11、r12和R1P；

2）附加鏈桿上的反力r21、r22和R2P。r21r22R2P(a)(b)(c)r21R1Pr12r11當前第47頁\共有75頁\編于星期三\10點13424i2i3ir21(a)r21

r11基本結構在作用下附加剛臂及附加鏈桿的反力。由1結點平衡條件得：4i3i1由12部分平衡條件得：12?0?單位位移Zi=1作用下附加反力（剛度系數）的計算當前第48頁\共有75頁\編于星期三\10點對于附加剛臂上的反力矩r11、r12和R1P：可分別在圖(a)、(b)、(c)中取結點1為隔離體，由力矩平衡方程∑M1=0求得：r11=7i，r12=-6i/l，R1P=PL/81113i4i0R1P0134134213424i2i3iPMP圖r21r22R2P(a)(b)(c)

r11r12R1Pr12r11當前第49頁\共有75頁\編于星期三\10點

對于附加鏈桿上的反力r21、r22和R2P

：可分別在圖(a)、(b)、(c）中用截面法割斷兩柱頂端，取柱頂端以上橫梁部分為隔離體，由表7-1查出桿端剪力，由方程∑X=0求得：1342134213424i2i3iPMP圖r21r22R2P(a)(b)(c)121212??0????0r21r22R2PR1Pr12r11r21r22R2Pr21=－R2P=－P/2當前第50頁\共有75頁\編于星期三\10點將系數和自由項代入典型方程：解此方程得：所得均為正值，說明Z1、Z2與所設方向相同。解方程，求基本未知量r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0得：當前第51頁\共有75頁\編于星期三\10點7、最后彎矩圖由疊加法繪制：例如：桿端彎矩M31為M圖1234PM圖繪出后，Q、N圖即可由平衡條件繪出(略）。8、對內力圖進行校核，包括平衡條件和位移條件的校核。其方法與力法中所述一樣，這里從略。當前第52頁\共有75頁\編于星期三\10點計算圖示剛架,作彎矩圖,各桿EI=常數基本體系①確定基本體系和基本未知量解：②建立位移法方程③作單位彎矩圖和荷載彎矩圖④求系數和自由項⑤解方程⑥作彎矩圖31010612（15）（4）當前第53頁\共有75頁\編于星期三\10點計算圖示剛架,作彎矩圖①確定基本體系和基本未知量解：②建立位移法方程③作單位彎矩圖和荷載彎矩圖④求系數和自由項⑤解方程⑥作彎矩圖基本體系當前第54頁\共有75頁\編于星期三\10點解：①確定基本體系和基本未知量②建立位移法方程③作單位彎矩圖和荷載彎矩圖④求系數和自由項⑤解方程⑥作彎矩圖3232當前第55頁\共有75頁\編于星期三\10點用基本體系求內力的計算步驟:1、確定未知量，畫出位移法的基本體系，2、建立位移法的典型方程，3、畫出M1、…MP圖，4、求出系數和自由項，5、代入解方程，得到結點位移，6、按下式畫彎矩圖：當前第56頁\共有75頁\編于星期三\10點小結（1）確定基本未知量，取基本體系。位移法的解題步驟與方法同力法相比較：力法：多余未知力；位移法：未知角位移、線位移。未知量力法——靜定結構；位移法——單跨超靜定梁的組合體。基本體系當前第57頁\共有75頁\編于星期三\10點（3）作MP、Mi圖，求系數和自由項力法：先作出靜定結構分別在載荷FP、多余未知力作用下的彎矩圖MP、Mi

；然后應用圖乘法求出系數和自由項：ΔiP、δij、δii；（2）建立典型方程建立方程條件力法：去掉多余約束處的位移條件；位移法：附加約束上約束反力的平衡條件。方程的性質力法：變形協調方程；位移法：平衡方程。

當前第58頁\共有75頁\編于星期三\10點位移法：先作出基本體系分別在載荷FP、單位位移（Zi=1)作用下所引起的彎矩圖（借助于轉角位移方程或圖表）；然后利用結點或截面的平衡，求出附加剛臂中的反力矩和附加鏈桿中的反力，即位移法的系數和自由項：Fip、k

ij、k

ii。（4）解典型方程，求基本未知量。（5）繪制最后內力圖——采用疊加法。力法：位移法：當前第59頁\共有75頁\編于星期三\10點8.5.1無側移結構的計算例1:用位移法計算圖示剛架,并作彎矩圖.E

=常數.如何求？無側移結構只有節點角位移無線位移。§8.5

用位移法計算超靜定結構在荷載作用下的內力當前第60頁\共有75頁\編于星期三\10點1）基本未知量為1，2節點處的兩個角位移，無節點線位移；屬于無側移結構。2）在節點處附加剛臂，基本體系如圖。解：當前第61頁\共有75頁\編于星期三\10點3)

建立位移法的基本方程：4)

繪單位彎矩圖和MP圖，求系數和自由項（利用節點平衡）圖8i8i4i4i4i2i圖鎖定Z1鎖定Z1和Z2圖4i4i8i2i鎖定Z2當前第62頁\共有75頁\編于星期三\10點圖4i4i8i2i鎖定Z2圖8i8i4i4i4i2i鎖定Z1圖鎖定Z1和Z24i8i4i4i4i8i8i當前第63頁\共有75頁\編于星期三\10點5)

代入方程求解基本未知量最終內力：6)

按疊加法繪制最后彎矩圖。請自行作出最終M圖7)

校核：主要對力的平衡關系進行校核。當前第64頁\共有75頁\編于星期三\10點用位移法求解圖示結構。解：①確定基本體系和基本未知量②建立位移法方程③作單位彎矩圖和荷載彎矩圖令：基本體系當前第65頁\共有75頁\編于星期三\10點4041.741.7④求系數和自由項⑤解方程⑥作彎矩圖當前第66頁\共有75頁\編于星期三\10點例1:用位移法計算圖示剛架,并作彎矩圖.E=常數.8.5.2有側移剛架的計算有側移結構有節點線位移，可能有節點角位移。當前第67頁\共有75頁\編于星期三\10點1)基本未知量為中節點處的角位移，邊節點的線位移；兩個基本未知量,屬于有側移結構。2）在中節點處加剛臂，在邊節點處附加支桿基本體系如圖。3)

建立位移法的基本方程：4)

繪單位彎矩圖M和MP圖，求系數和自由項解：R1=0基本體系Z1Z2R2=0當前第68頁\共有75頁\編于星期三\10點單位彎矩圖和荷載彎矩圖示意圖如下:鎖定Z2M1圖6iZ1=14i2i6ik21k11鎖定