第二章直線和圓的方程2.2.3直線的一般式方程基礎過關練題組一求直線的一般式方程1.(2022福建廈門期中)過點P(-1,2)且平行于直線l:2x-y+1=0的直線方程為()A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0C.2x-y=0D.2x-y+4=02.(2023廣東深圳期中)直線l過點(-1,2)且與直線2x-3y+1=0垂直,則l的方程為()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=03.(2023遼寧沈陽二中期中)已知點M是直線l:3x-y+3=0與x軸的交點,將直線l繞點M旋轉30°,所得到的直線l'的方程為.

題組二直線方程幾種形式的相互轉化4.(2022浙江嘉興一中月考)直線3x+y+1=0的傾斜角為()A.πC.2π5.(2022山東濟寧期中)若直線3x+2y+6=0的斜率為k,在y軸上的截距為b,則()A.k=-23,b=3B.k=-23,C.k=-32,b=-3D.k=-23,6.(2022山東濟寧嘉祥一中期中)無論m為何值,直線mx-y+2m+1=0所過定點的坐標為()A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)7.(2022陜西渭南澄城期末)如果A·C<0,且B·C<0,那么直線Ax+By+C=0不通過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.直線ax+by=1(ab≠0)與兩坐標軸圍成的三角形的面積是()A.12abB.C.1題組三直線一般式方程的綜合應用9.(2023北師大二附中期中)已知直線ax+4y-2=0與2x-5y+b=0互相垂直,垂足為(1,c),則a+b+c的值為()A.-4B.0C.20D.2410.(2023山東臨沂平邑一中質檢)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k等于()A.1或3B.5C.3或5D.311.(2023四川成都樹德中學期中)數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,后人將這條直線稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A(0,0),B(0,2),C(-6,0),則其歐拉線的一般式方程為()A.3x+y=1B.3x-y=1C.x+3y=0D.x-3y=012.(多選題)(2022重慶萬州第二高級中學月考)已知直線l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列說法正確的是()A.當a=-1時,直線l與直線x+y=0垂直B.若直線l與直線x-y=0平行,則a=0C.直線l過定點(0,1)D.當a=0時,直線l在兩坐標軸上的截距相等能力提升練題組一直線的一般式方程1.(2022江西南昌模擬)已知集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x-y+1)=0},則集合A中的元素有()A.0個B.1個C.2個D.無數個2.(2023江蘇南通如東段考)已知直線l的傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍,且l經過點P(3,2),則直線l的方程為.

3.(2022陜西師大附中月考)已知點A(0,1),點B在直線l:x+y=0上運動,則當線段AB最短時,直線AB的一般式方程為.

4.(2023青海西寧期中)已知直線l:x-2y+2m-2=0.(1)求過點(2,3)且與直線l垂直的直線的方程;(2)若直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積等于4,求實數m的值.題組二直線的一般式方程的應用5.(2022重慶八中期中)已知兩定點A(-3,0),B(3,0),點P在直線2x-y-3=0上,且PA⊥PB,則這樣的點P的個數為()A.0B.1C.2D.36.(2022安徽A10聯盟期中)已知直線l1:3x+ysin2α+2=0,若l1⊥l2,則l2的傾斜角的取值范圍是()A.πC.π7.(2023浙江金華浦江建華中學月考)已知直線2x+y+2+λ(2-y)=0與兩坐標軸圍成一個三角形,記該三角形的面積為S(λ),當λ∈(1,+∞)時,S(λ)的最小值是()A.12B.10C.8D.68.(2022河北邯鄲八校聯盟期中)已知直線l不過第二象限,且與直線2x+3y+5=0垂直,寫出一個滿足上述條件的直線l的方程:.

9.(2023河南頂級名校聯考)已知直線l1:(a-2)x-3y+5=0和l2:3x-(b+1)y-7=0互相垂直,且a,b>0,則2a+110.(2022廣東深圳寶安第一外國語學校月考,)已知直線l1:y=k2x-k+4,直線l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直線l1,l2與兩坐標軸圍成一個四邊形,則當k>4時,四邊形面積的取值范圍是11.已知直線l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2與兩坐標軸圍成的四邊形有一個外接圓,求k的值.

答案與分層梯度式解析第二章直線和圓的方程2.2.3直線的一般式方程基礎過關練1.D2.A4.C5.C6.C7.C8.D9.A10.C11.C12.AC1.D設所求直線方程為2x-y+t=0(t≠1),由點P(-1,2)在直線2x-y+t=0上,解得t=4,即2x-y+4=0.故選D.方法點撥與直線Ax+By+C=0平行的直線的方程可設為Ax+By+m=0(m≠C).2.A由直線l與直線2x-3y+1=0垂直,可設l的方程為3x+2y+t=0,由點(-1,2)在直線3x+2y+t=0上,解得t=-1,因此l的方程為3x+2y-1=0.故選A.方法點撥與直線Ax+By+C=0垂直的直線的方程可設為Bx-Ay+m=0.3.答案x+3=0或解析在方程3x-y+3=0中,令y=0,得x=-3.∴M(-3,0),易知直線l:3x?y+3=0的斜率為若直線l繞點M逆時針旋轉30°得到直線l',則直線l'的傾斜角為90°,l'的方程為x=-3,即x+3=0;若直線l繞點M順時針旋轉30°得到直線l',則直線l'的傾斜角為30°,∴直線l'的斜率為33∴l'的方程為y-0=33(x+3),即x-3y綜上,直線l'的方程為x+3=0或x易錯警示直線按順時針旋轉和按逆時針旋轉造成的傾斜角變化不同,要注意區分.4.C將直線的方程3x+y+1=0化為斜截式得y=?3x-1,因此直線的斜率k=-3.設直線的傾斜角為α,則tanα=-3.因為α∈[0,π),5.C將直線的方程3x+2y+6=0化為斜截式為y=-32x-3,所以k=-32,b6.C將直線方程mx-y+2m+1=0化為點斜式為y-1=m(x+2),所以直線過定點(-2,1).7.C由題意得B≠0,則直線方程Ax+By+C=0化為斜截式為y=-ABx?CB,又A·C<0,B·C<0,∴A·B>0,∴-AB<0,-CB>08.Dax+by=1可化為x1a+y1b=1(ab≠0),∴三角形的面積9.A因為直線ax+4y-2=0與2x-5y+b=0互相垂直,所以2a+4×(-5)=0,解得a=10.把(1,c)分別代入兩直線的方程,得a+4c-2=0,2-5c+b=0,解得c=-2,b=-12.所以a+b+c=-4.故選A.方法點撥直線A1x+B1y+C1=0與直線A2x+B2y+C2=0垂直的等價條件為A1A2+B1B2=0.10.C∵l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,∴-2(k-3)=2(4-k)(k-3),解得k=3或k=5.當k=3時,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,滿足直線l1與l2平行;當k=5時,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,滿足直線l1與l2平行.∴k=3或k=5.故選C.易錯警示已知直線A1x+B1y+C1=0與直線A2x+B2y+C2=0平行求參數,可令A1B2=A2B1,但是要注意檢驗并舍去使兩直線重合的參數值.11.C顯然△ABC為直角三角形,且BC為斜邊,所以其歐拉線為斜邊上的中線所在直線,易知線段BC的中點為(-3,1),設D(-3,1),所以AD所在直線的方程為y=-13x所以△ABC的歐拉線的一般式方程為x+3y=0.故選C.12.AC對于A,當a=-1時,直線l的方程為x-y+1=0,顯然與x+y=0垂直,所以正確;對于B,若直線l與直線x-y=0平行,則(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,此時直線l的方程為x-y+1=0,滿足直線l與直線x-y=0平行,所以不正確;對于C,當x=0時,y=1,所以直線l過定點(0,1),所以正確;對于D,當a=0時,直線l的方程為x-y+1=0,其在x軸,y軸上的截距分別是-1,1,所以不正確.故選AC.能力提升練1.D5.C6.D7.C1.D由集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x-y+1)=0},可知集合A為點集,且點的坐標滿足(x+y+1)(2x-y+1)=0.∵(x+y+1)(2x-y+1)=0,∴x+y+1=0或2x-y+1=0,易知x+y+1=0與2x-y+1=0表示的是兩條直線,且這兩條直線上有無數個點,這些點都是集合A中的元素,∴集合A中有無數個元素,故選D.2.答案8x-15y+6=0解析設直線l的傾斜角為θ,直線x-4y+3=0的傾斜角為α,則θ=2α,且tanα=14所以tanθ=tan2α=2tanα1?tan2α=815,又l經過點P(3,2),所以可得直線l的方程為y-2=815(3.答案x-y+1=0解析當線段AB最短時,AB⊥l,此時kAB=1.所以直線AB的方程為y=x+1,化為一般式為x-y+1=0.4.解析(1)直線l:x-2y+2m-2=0的斜率為12,故所求直線的斜率為-2因為所求直線過點(2,3),所以其方程為y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.(2)直線l與兩坐標軸的交點分別為(-2m+2,0),(0,m-1),則所圍成三角形的面積為12×|-2m+2|×|m-1|由題意可知12×|-2m+2|×|m-1|=4,即(m-1)2=4解得m=3或m=-1.5.C當直線PA或PB的斜率不存在時,不存在滿足PA⊥PB的點P;當直線PA與PB的斜率均存在時,設P(a,2a-3)(a≠±3),則kPA=2a?3a+3,kPB=2a?3a?3,因為PA⊥PB,所以kPA·kPB=-1,即2a?3a+3·2a?3a6.D當sin2α=0時,直線l1的方程是x=-233,其斜率不存在,若l1⊥l2,則l2的斜率為0,當sin2α≠0時,直線l1的斜率為?3sin2α,若l1⊥l2,則直線l2的斜率為sin2α3綜上,l2的傾斜角的取值范圍是0,π6.7.C易得直線2x+y+2+λ(2-y)=0,與兩坐標軸的交點分別為(-1-λ,0),0,2+2λλ?1,λ∈(1故S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ?1=λ?1+4λ?1+4≥2×2+4=8,8.答案3x-2y=0(答案不唯一)解析易知直線2x+3y+5=0的斜率為-23.因為直線l與直線2x+3y+5=0垂直,所以直線l的斜率為3因為直線l不過第二象限,所以直線l在y軸上的截距小于或等于0,故滿足題意的直線l的方程可以為3x-2y=0,此答案不唯一.9.答案3+22解析因為l1⊥l2,所以(a-2)×3+(-3)×[-(b+1)]=0,即a+b=1.因為a,b>0,所以2a+1b=2a+1b(a+b)=2+1+2ba+ab≥3+22ba·a10.答案17解析直線l2的方程可化為y=-2k2當k>4時,k2>0,-2k2<0,-k+4<0,易知l1,l2均過定點(2,4),直線l1與x軸交于點2?8k,0,直線l2與y∴四邊形的面積S=12×2×4k2+4?4+12×4∵k>4,∴0<1k<14,∴11.解析如圖所示,直線l1:x+3y-5=0分別交x軸,y軸于A,B兩點,直線l2:3kx-y+1=0過定點C(0,1).由點C在線段OB上知l2⊥l1或l