千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第2頁/共2頁精品文檔推薦2022高考數學必考知識點：概率與統計2022高考數學必考學問點：概率與統計

考試內容：

抽樣辦法.總體分布的估量．總體期望值和方差的估量．考試要求：

（1）了解隨機抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對容易實際問題舉行抽樣．（2）會用樣本頻率分布估量總體分布．（3）會用樣本估量總體期望值和方差．

概率與統計學問要點

一、隨機變量.

1.隨機實驗的結構應當是不確定的.實驗假如滿足下述條件：①實驗可以在相同的情形下重復舉行；②實驗的全部可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次實驗總是恰好浮現這些結果中的一個，但在一次實驗之前卻不能絕對這次實驗會浮現哪一個結果.

它就被稱為一個隨機實驗.

2.離散型隨機變量：假如對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若ξ是一個隨機變量，a，b是常數.則ba+=ξη也是一個隨機變量.普通地，若ξ是隨機變量，)(xf是延續函數或單調函數，則)(ξf也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數也是隨機變量.

設離散型隨機變量ξ可能取的值為：,,,,21ixxx

ξ取每一個值),2,1(1=ix的概率iipxP==)(ξ，則表稱為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.ξ

1x

2x

…

ix

…P1p2p…

ip…

有性質①,2,1,01=≥ip；②121=++++ippp.

注重：若隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的變量叫做延續型隨機變量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之間的一切數，包括整數、小數、無理數.

3.⑴二項分布：假如在一次實驗中某大事發生的概率是P，那么在n次自立重復實驗中這個

大事恰好發生k次的概率是：knkknq

pCk)P(ξ-==[其中pqnk-==1,,,1,0]于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量ξ聽從二項分布，記作ξ～B

（n·p），其中n，p為參數，并記p)nb(k;q

pCknkkn?=-.⑵二項分布的推斷與應用.①二項分布，實際是對n次自立重復實驗.關鍵是看某一大事是否是舉行n次自立重復，且每次實驗惟獨兩種結果，假如不滿足此兩條件，隨機變量就不聽從二項分布.②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又惟獨兩種實驗結果，此時可以把它看作自立重復實驗，利用二項分布求其分布列.

4.幾何分布：“k=ξ”表示在第k次自立重復實驗時，大事第一次發生，假如把k次實驗時大事A發生記為kA，事A不發生記為q)P(A,Akk=，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21-==.按照互相自立大事的概率乘法分式：))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21-==),3,2,1(1==-kpqk于是得

到隨機變量ξ的概率分布列.ξ123

…k

…P

q

qp

pq2

…

pq1k-

…

我們稱ξ聽從幾何分布，并記pqp)g(k,1k-=，其中3,2,1.1=-=kpq

5.⑴超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1≤≤件，則其中的次品數

ξ是一離散型隨機變量，分布列為

)MNknM,0k(0C

CCk)P(ξn

N

k

nM

NkM-≤-≤≤≤??=

=--.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正

品中取n-k件的取法數，假如規定m＜r時0Cr

m=，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕

⑵超幾何分布的另一種形式：一批產品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數ξ的分布列為n.,0,1,kC

CCk)P(ξn

b

ak

nb

ka=?=

=+-.

⑶超幾何分布與二項分布的關系.

設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數ξ聽從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數η的分布列可如下求得：把ba+個產品編號，則抽取n次共有

nba)(+個可能結果，等可能：k)(η=含k

nkknb

aC-個結果，故

n,0,1,2,k,)baa(1)baa(

Cb)(ab

aCk)P(ηk

nkknn

k

nkkn=+-+=+=

=--，

即η～)(b

aanB+?.[我們先為k個次品選定位置，共knC種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有

b種選法]可以證實：當產品總數很大而抽取個數不多時，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.

二、數學期望與方差.

1.期望的含義：普通地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為ξ1x2x…

ix…

P1p2p…ip…則稱++++=nnpxpxpxE2211ξ為ξ的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學

期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2.⑴隨機變量ba+=ξη的數學期望：baEbaEE+=+=ξξη)(①當0=a時，bbE=)(，即常數的數學期望就是這個常數本身.②當1=a時，bEbE+=+ξξ)(，即隨機變量ξ與常數之和的期望等于ξ的期望與這個常數的和.③當0=b時，ξξaEaE=)(，即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的乘積.⑵單點分布：ccE=?=1ξ其分布列為：cP==)1(ξ.⑶兩點分布：ppqE=?+?=10ξ，其分布列為：（p+q=1）

⑷二項分布：∑=?-?=

-npqp

knknkEknk

)!(!!

ξ其分布列為ξ～),(pnB.（P為發生ξ的概率）

ξ01P

q

p

⑸幾何分布：p

E1

=

ξ其分布列為ξ～),(pkq.（P為發生ξ的概率）3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量ξ的分布列為),2,1()(===kpxPkkξ時，則稱

+-++-+-=nnpExpExpExD2222121)()()(ξξξξ為

ξ的方差.明顯0≥ξD，故σξξσξ.D=為ξ的

根方差或標準差.隨機變量ξ的方差與標準差都反映了隨機變量ξ取值的穩定與波動，集中與離散的程度.ξD越小，穩定性越高，波動越?。?．4.方差的性質.

⑴隨機變量ba+=ξη的方差ξξηDabaDD2)()(=+=.（a、b均為常數）⑵單點分布：0=ξD其分布列為pP==)1(ξ⑶兩點分布：pqD=ξ其分布列為：（p+q=1）⑷二項分布：npqD=ξ⑸幾何分布：2

pqD=

ξ

5.期望與方差的關系.⑴假如ξE和ηE都存在，則ηξηξEEE±=±)(⑵設ξ和η是相互自立的兩個隨機變量，則ηξηξηξξηDDDEEE+=+?=)(,)(

⑶期望與方差的轉化：22)(ξξξEED-=⑷)()()(ξξξξEEEEE-=-（由于ξE為一常數）0=-=ξξEE.

三、正態分布.（基本不列入考試范圍）

1.密度曲線與密度函數：對于延續型隨機變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區間),[ba內的

概率等于它與x軸.直線ax=與直線bx=所圍成的曲邊梯形的面積

（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為圖像的函數)(xf叫做ξ的密度函數，因為“),(+∞-∞∈x”

是必定大事，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.

2.⑴正態分布與正態曲線：假如隨機變量ξ的概率密度為：2

22)(21)(σμσ

π--

=

xe

xf.（σ

μ,,Rx∈為常數，且0σ），稱ξ聽從參數為σμ,的正態分布，用ξ～),(2σμN表示.)(xf的表達式可簡記為),(2σμN，它的密度曲線簡稱為正態曲線.

⑵正態分布的期望與方差：若ξ～),(2σμN，則ξ的期望與方差分離為：2,σξμξ==DE.⑶正態曲線的性質.①曲線在x軸上方，與x軸不相交.②曲線關于直線μ=x對稱.③當μ=x時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，展現出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.④當x＜μ時，曲線升高；當x＞μ時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延長時，以x軸為漸近線，向x軸無限的逼近.⑤當μ一定時，曲線的外形由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越簇擁；σ越

ξ01P

q

p

▲

yx

a

b

y=f(x)

小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

3.⑴標準正態分布：假如隨機變量ξ的概率函數為)(21)(2

2

+∞-∞=

-xe

xxπ?，則稱ξ服

從標準正態分布.即ξ～)1,0(N有)()(xPx≤=ξ?，)(1)(xx--=??求出，而P（a＜ξ≤b）的計算則是)()()(abbaP??ξ-=≤.

注重：當標準正態分布的)(xΦ的X取0時，有5.0)(=Φx當)(xΦ的X取大于0的數時，有

5.0)(xΦ.比如5.00793.0)5.0(

=-Φσ

μ

則

σ

μ

-5.0必定小于0，如圖.

⑵正態分布與標準正態分布間的關系：若ξ～),(2σμN則ξ的分布函數通常用)(xF表示，且有)σ

μx(F(x)x)P(ξ-==≤?.

4.⑴“3σ”原則.

假設檢驗是就正態總體而言的，舉行假設檢驗可歸結為如下三步：①提出統計假設，統計假設里的變量聽從正態分布),(2σμN.②確定一次實驗中的取值a是否落入范圍)3,3(σμσμ+-.③做出推斷：假如)3,3(σμσμ+-∈a，接受統計假設.假如)3,3