專題16集合間的基本關系

停司目標

1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

2.在具體情境中，了解空集的含義

3.能使用Venn圖表達集合間的基本關系，體會圖形對理解抽象概念的作用

知擁褶濟

高中必備知識點1：Venn圖的優點及其表示

(1)優點：形象直觀.

(2)表示：通常用封閉曲線的內部表示集合.

高中必備知識點2：子集、真子集、集合相等的相關概念

［知識點撥］(1)“N是8的子集”的含義：集合/中的任何一個元素都是集合8的元素，即有任意xG/能

推出xGB.

(2)不能把理解為‘7是8中部分元素組成的集合“，因為集合/可能是空集，也可能是集合8.

(3)特殊情形：如果集合力中存在著不是集合8中的元素，那么集合/不包含于8,或集合8不包含集合力.

(4)對于集合4B,C,若/U8,BQC,則NUC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)若ZU8,且4W8,則/$8.

高中必備知識點3：空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為。.

(2)規定：空集是任何集合的子集.

高中必備知識點4：集合間關系的性質

(1)任何一個集合都是它本身的子集，即NU/.

(2)對于集合/,B,C,

①若4U8,且8UC,則ZUC；

②若BUC,則4UC.

(3)若4WB,則4$8.

.糞例商所

高中必會題型1:確定集合的子集、真子集

1.(1)己知集合M滿足{1,2}￡MC{1,2,3,4,5},寫出集合M所有可能情況.

⑵已知非空集合MR1,2,3,4,5},且當a6M時，有6-a6M,試求M所有可能的結果.

【答案】(1){1，2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}；(2){3},{1,5},{2,4},{

1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

(1)因為{1,2}CM,所以1WM,2GM,

又因為2,3,4,5},

所以M是含有1,2的{1,2,3,4,5}的子集，

故M的所有可能情況是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5)

共8個.

⑵若M只含1個元素，則仞={3}；

若M只含2個元素，則M={L5},{2,4}；

若M只含3個元素，則M={1,3,5},{2,3,4)；

若M只含4個元素，則M={1,2,4,5}；

若M含5個元素，則”={1,2,3,4,5).

所以M可能的結果為{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7

個.

2.寫出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

【答案】見解析

集合{0,1,2}的所有子集為0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.

真子集為0/{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1;2}.

3.已知/={凡仇c},則求：

⑴集合A的子集的個數，并判斷0與集合A的關系

⑵請寫出集合A的所有非空真子集

【答案】⑴8,0gA⑵{〃},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}

⑴4={a,6,c}的子集有0,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{6,c},{a,b,c}共8個，

其中0sA.

(2)集合A的所有非空真子集有{a},{6},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.

4.(1)寫出集合{a,b,c,d}的所有子集；

(2)若一個集合有n(ceN)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？

【答案】⑴見解析；⑵有2"個子集，2"-1個真子集.

⑴集合{a也c,d}的所有子集有：0、{a}、抄}、{c}、{"}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、

{b,d},{c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{ac,d}、{a,b,c,d}；

(2)若一個集合有"("GN)個元素，則它有2"個子集，2"—1個真子集.

5.舉出下列各集合的一個子集：

6A={x|x是立德中學的學生};

⑵B={x|x是三角形};

9)C={0}；

(4)={xeZ13<x<30}.

【答案】(l){x|x是立德中學的女生}

⑵{x|x是直角三角形}

⑶{0}

(4){4,5,6)

⑴{x|x是立德中學的女生}

(2){x|x是直角三角形}

⑶{0}

(4){4,5,6)

高中必會題型2：集合間關系的判斷

1.判斷下列集合間的關系：

(l)4={x|x—3>2},B={x|2x—5>0}；

(2)4={xeZ|-l<x<3},B={x|x=|y|,y€A}.

【答案】⑴■?8(2)8?A.

(l)"."A={x|x—3>2}={x|x>5},

5

B={x|2x-5>O}={x|x>-},

利用數軸判斷A、8的關系.

如圖所示，A^B.

(2)V4={x￡Z|—1<X<3}={-1,0,1,2},8={x|x=|y|,y^A,：.B={O,1,2},：.B^A.

2.判斷下列各組中集合之間的關系：

(l)4={x|x是12的約數},B={x\x是36的約數};

(2)A={x|x是平行四邊形},8={x|x是菱形},C={x|x是四邊形},D={x|x是正方形};

(3)/1={x|—l<x<4},B={x|x<5}.

【答案】(1)438；(2)C?BEL40C；(3)/108.

⑴因為若x是12的約數，則必定是36的約數，反之不成立，所以A08.

(2)由圖形的特點可畫出Venn圖如圖所示，從而D鼬射回C.

⑶易知A中的元素都是8中的元素，但存在元素，如一268,但一2陣A,故他8.

3.指出下列集合之間的關系：

4={(x,y)|j=x-l,xeN},8={(x,y)|y=x-l,xeR}.

【答案】A黑B

集合Z={(xJ)|y=x-l,xeN}表示的是直線y=尤一l上的一些孤立的點的集合，

而集合B={(xj)卜=x-l,xeR}表示的是立線y=x—1上所有的點的集合，

因此4冬8.

4.寫出下列每對集合之間的關系：

⑴4={123,4,5},8={1,3,5}；

D={%||X|=1};

⑶￡=(-8,3),F=(-l,2];

⑷G={x|x是對角線相等且互相平分的四邊形},H^{x\x是有一個內角為直角的平行四邊形).

【答案】；(2)C=Z>；(3)F§￡:⑷G=".

⑴因為B的每個元素都屬于A,而4Gz且4e8,所以

⑵不難看出，C和D包含的元素都是1和一1,所以C=Q.

⑶在數軸上表示出區間E和F,如圖所示.

—>~~j~?~?—1~A

-3-2-10123x

由圖可知

(4)如果xeG,則x是對角線相等且互相平分的四邊形，所以x是矩形，從而可知x是有一個內角為直角的

平行四邊形，所以xe”,因此G=".

反之，如果xe",則x是有一個內角為直角的平行四邊形，所以x是矩形，從而可知是x對角線相等且互

相平分的四邊形，所以xeG,因此〃qG.

綜上可知，G=H.

5.已知集合/={p1p=yja2+a+\-y)a2-a+l,aeR}>集合={p\\P\@，P€R}?試判斷A與B

之間的關系，并說明理由.

【答案】A是8的真子集.，理由見解析

則P的幾何意義是x軸上的點P(a,O)到定點〃一；,[■與點61,y-的距離之差.即p=&-P6.

?.?三角形兩邊之差的絕對值小于第三邊,

：.\PA-PB\<ABHP,A,8三點不共線，即|p|<L

/.-1</?<1.即/={川—1<p<1}；

又5={p||p］W2,peR}={p|—2WpW2},

???A是B的真子集.

高中必會題型3：由集合間的關系求參數問題

1.設集合4={司。-1<%<2<7,。€11},不等式/一2》一8<0的解集為8.

(1)當。=0時，求集合A,B.

⑵當/仁8時，求實數。的取值范圍.

［答案］(l)4={x|_l<x<0},5={x|-2<x<4}；(2)1a|a<2}.

⑴解：當a=On寸，Z={x[-l<x<0},

解不等式/一2工一8<0得：一2<》<4,即8={x|-2<x<4}.

⑵解:若4=8,則有:

①N=0,即2aWa-l,即。4一1,符合題意，

2a>a-\

②有1N-2,解得：—1<QW2.

2a<4

綜合①②得：{4a?2}.

2.設集合Z={xeA,+4x=。},5=|xe7?|x2+2(a+l)x+a2-1=0,ae,若B7A,求實數a

的值.

【答案】a<—1或a=l.

'：A={0,-4},BQA,于是可分為以下幾種情況.

(1)當A=8時，，B={0,一4},

一2(a+l)=-4

由根與系數的關系,得2/C解得a=L

a-1=0

⑵當8#/時，又可分為兩種情況.

①當8H。時，即8={0}或8={-4},

當x=0時，有a=±l；

當x=-4時，有a=7或a=l.

又由4=4(o+l)2—4(a2—1)=0,

解得a=-1,此時8={0}滿足條件；

②當8=0時，4=4(a+l)2—4(。2—1)<0,

解得a<-l.

綜合(1乂2)知，所求實數a的取值為或a=l.

3.設集合A={X|0X2+3X+1O2O},8={x|x203ax+2a2<O},若BUA,求實數。的取值范圍

【答案】[回1,-]

2

,/集合yA={x|0x2+3x+lO>O}={x|l?l2<x<5},

B={x|x203ax+2o2<0}={x|(xt3o)(xf32o)<0},

B&A,

:.當a=0時，8=0,成立;

當a<0時，B={x\2a<x<a},

2a>-2

由8Q4得〈-，解得團1“<0,

a<5

當a>0時，B={x\a<x<2a},

—

Q225

由得仁廠，解得0<。<一，

2rz<52

綜上，實數a的取值范圍是他1,

2

4.已知集合A={x|x<l或x>2},B={x|0m<x<m},若8U4求m的取值范圍.

【答案】m<l.

VB￡4,

若8=0,則儂0,滿足BUA,

若8H0,則m>0,由8UA,得解得，OVmSL

綜上所述：實數m的取值范圍為mH.

5.設4={回3,4},8=僅卜2回2ax+b=0},8x0且8項A,求a,b.

【答案】答案見解析

因為8H0,BQA,

所以B={回3}或{4}或{回3,4}.

9+6a+b=0

當8={?3}時，一”，八，解得。=明，b=9；

△=4a~-46=0

16-8a+Z?=0

當8={4}時，八，解得。=4,b=16；

A=4a-46=0

9+6a+b-0

當8={回3,4}時，<16-8a+6=0,解得a=L,6=回12.

A=4a2-4Z?>0

對點漏■依

1.若集合6{1,3,X},8心2,1},且則滿足條件的實數x的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

解析由BU4知x2=3或x2=x,

解得x=士百，或x=0,或x=l,

當x=l時，集合A,8都不滿足元素的互異性，故x=l舍去.

故選：C

2.以下四個關系：0€{0},OG0,{0}工{0},0?{0},其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

集合與集合間的關系是U,因此。6{0}錯誤；{。}表示只含有一個元素（此元素是。）的集合，所以{。}t{0}錯誤;

空集不含有任何元素，因此0G。錯誤；。？{0}正確.因此正確的只有1個.

故選：A.

3.設集合A={1,X2},B={x},且8UA,則實數、為（）

A.0B.1

C.0或1D.0或-1

【答案】A

因為8UA,所以xGA,

所以X=1或X=x2,x2*l,解得x=0.

故選：A.

4.已知集合〃={1,2},3={幻卜一1）（》一。）=0,。€火}.若/=3,則。的值為（）

A.2B.1

C.-1D.-2

【答案】A

因為/=所以集合8為雙元素集，

即8=3|（工_1）（%_。）=0,〃￡7?}={1,〃}={1,2}

所以a=2.

故選：A.

5.下列集合與集合A={2,3}相等的是（）

A.{（2,3）}B.{（x,y）|x=2,y=3}

C.{小2-5》+6=0}D.{x=2,y=3}

【答案】C

集合A表示數字2和3的集合.

對于A：集合中的元素代表點（2,3）,與集合A不同，A錯誤：

時于B：集合中的元素代表點（2,3）,與集合A不同，B錯誤：

對于C：由一一5x+6=0得：x=2或x=3,與集合A元素相同，c正確;

對于D：表示兩個代數式的集合，與集合A不同，D錯誤.

故選：C.

6.集合Z={xeN|lWx<4}的真子集的個數是（）

A.16B.8C.7D.4

【答案】C

解：?.?4={xeN|lWx<4}={l,2,3},

.?.4={xeN|lWx<4}的真子集為：0,{1},{2},⑶,{1,2},{1,3},{2,3}共7個.

故選：C.

7.設4={1,4,x},B={1,x2},若BUA,則x等于（

A.0B.02C.0或回2D.0或±2

【答案】D

因為A={1，4,x},B={1,x2}.

若8UA,則x?=4或x2=x,解得x=2或回2或1或0.

①當x=0,集合4={1,4,0},8={1,0},滿足B&A.

②當x=l,集合A={1,4,1}不滿足元素的互異性.

③當x=2,集合A={L4,2},8={1,4},滿足BUA.

④當x=回2,集合4={1,4,02},B={1,4},滿足8UA

綜上，x=2或回2或0.

故選：D.

8.設集合M={x|x=2",nGZ},N={x\x=4n+2,nEZ},則()

A.M窿NB.M叁N

C.M=ND.以上都不正確

【答案】B

集合M={x|x=2n,nSZ},故集合M中的元素是2與整數的乘積的集合，

A/={x|x=4n±2,nGZ}={x|x=2(2n±l),n&Z},

故集合N的元素是2與奇數的乘積的集合，

故gM,

故選：B.

9.對于兩個非空數集A、8,定義點集如下:AX8={(X,y)|x€A,yGB},若4={1,3},B={2,4},則點集Ax8

的非空真子集的個數是()個.

A.14B.12C.13D.11

【答案】A

?；AxB={(x,y)|x@A,yWB},且4={1,3},B—{2,4},

所以Ax8={(l,2),(1,4),(3,2),(3,4)},

共有四個元素，

則點集AxB的非空真子集的個數是：24回2=14.

故選：A.

10.設集合Z={x[l<x<2},8={x|x<a},若A=則。的取值范圍是()

A.\a\a>21B.<11C.>11D.^a\a<2}

【答案】A

???4={x[l<x<2},3={x|x<a},由數軸表示集合，作圖如下：

A

36-----------------------------?

12a

由圖可知。22,即。的取值范圍是

故選：A

11.已知集合4={x|x2—l=o},則下列式子表示正確的有()

①15；②{-1}5；③0勺4；④

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

因為4=一1=0},.?./={-1,1},

對于①，leZ顯然正確；

對于②，{-l}eN,是集合與集合之間的關系，顯然用e不對；

對于③，0=4,根據空集是任何集合的子集知正確；

對于④，{1,一1}7/.根據子集的定義知正確.

故選：C.

12.已知集合4={0,1},8={-1,0,。+3},且4=8,則a等于

A.1B.0C.-2D.-3

【答案】C

【解析】

由題意得。+3=1,。=-2,選c.

13.當集合{a,0,T}=<時，a=,b=,c=.

【答案】1-10

詳解：由已知{a,0,-=所以.?.0=(),,從而：=一1,即力=一1,...anl.

故答案為1，一1，0.

14.已知A=(YO,〃“，8=(1,2],若8=4則實數m的取值范圍為一.

【答案】[2,+8)

?"=(-00,間，8=(1,2],BC4,

二實數m的取值范圍為[2,+co).

故答案為：［2,+8）.

15.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,aER},若集合A有且僅有兩個子集，則。的值是.

【答案】。或士1

因為A有且僅有兩個子集，所以4僅有一個元素，即方程ax2+2x+a=O僅有一根，當a=0時、方程化為2x=0,

A={0},符合題意；當於0時,4=4-4。2=0,解得。=±1.此時A={-1}或{1},符合題意.綜上所述。=0或。=±1.

故答案為：0或土L

16.已知集合4=*|。工2-3》+2=0},若月#0,則實數a的取值范圍為一.

9

【答案】（一8，娟.

O

當a=0時，方程"2一3》+2=0化為—3x+2=0,解得x=g,此時/={：}。0,滿足題意，

當。工0時，要使則△=（一3）2-4ax220,解得且a。。，

9

所以使/#0的實數a的取值范圍為（-8,鎮.

8

9

故答案為:（-8,娟.

8

17.已知集合力={凡6,2},8={2,/,2a},若/=求實數。，b的值.

a=0

【答案】,?或《4

b=1j_

2

a=2aa=b2

解：由已知4=3,得＜i⑴或'?(2)

b=2a

a=0(7=0

解⑴得*或，

6二0一b=l

1

a=八0a=一4

解⑵得c或,

b=0,1

ib--

I2

乂由集合中元素的互異性

1

-

a

=

a

4

得=或

K

1

b

1

-

1

b

-

-

2

2

b.

求a,

=B,

若A

a},

b,f

{1,

,]=

1+2。}

+a,

1,1

七={

已知

18.

1

3

=—

,b

—

】o=

【答案

2

4

2

2

l+a

b=

2a,

=l+

或b

2a,

=l+

,fa

l+Q

則b=

8,

4=

因為

2

l+2a,

h=

+o,

b=l

①若

2

+2a,

)=l

(l+a

Q.

.\a=

.

互異性

元素的

合集合

不符

是1,

個都

中三

此時A

2

a,

=l+

o,b

=l+2

②若b

2

+a,

=l

+2a)

/.(l

2

0,

+3a=

.\4a

，

成立

=0不

知a

由①

1

3

----.

a---

l+2

,b=

-......

.".a

2

4

值.

,b的

實數a

&4,求

,若B

b=0}

囪ax+

x|x2

B={

1,1},

A={回

已知

19.

b<0.

。2134

EKL或

,b=

。=0

l或

b=

回2,

或。=

b=l

2,

】。=

【答案

UA,

,且8

=0}

2加*+6

8={*卜

因為

1}

={團

1}或8

8={

素時，

一個元

B中有

①當

2

=0

-46

―4Z)

A=(

l；

2,b=