在笛在笛卡爾平面上,二元二次方程20002000多年前,古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線,并獲得了大量得成果。古希臘數學家阿波羅尼采用平面切割圓錐得方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸得平面去截圓錐,得到得就是圓;把平面漸漸傾斜,得到橢圓;當平面傾斜到“與且僅與”圓錐得一條母線平行時,得到拋物線;用平行圓錐得高得平面截取,可得到雙曲線得一邊;以圓錐頂點做對稱圓錐,則可得到雙曲線[1]。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”,把雙曲線叫做“超曲線”,把拋物線叫做“齊曲線”。事實上,阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關于圓錐曲線得全部性質與結果。觀點用一個平面去截一個圓錐面,得到得交線就稱為圓錐曲線(conicsections)。通通常提到得圓錐曲線包括橢圓,雙曲線與拋物線,但嚴格來講,它還包括一些退化情形。具體而言:1)當平面與圓錐面得母線平行,且不過圓錐頂點,結果為拋物線。2)當平面與圓錐面得母線平行,且過圓錐頂點,結果退化為一條直線。3)當平面只與圓錐面一側相交,且不過圓錐頂點,結果為橢圓。4)當平面只與圓錐面一側相交,且不過圓錐頂點,并與圓錐面得對稱軸垂直,結果為圓。5)當平面只與圓錐面一側相交,且過圓錐頂點,并與圓錐面得對稱軸垂直,結果為一點。6)當平面與圓錐面兩側都相交,且不過圓錐頂點,結果為雙曲線得一支(另一支為此圓錐面得對頂圓錐面與平面得交線)。7)當平面與圓錐面兩側都相交,且過圓錐頂點,結果為兩條相交直線。代數觀點得圖像就是圓錐曲線。根據得圖像就是圓錐曲線。根據判別式得不同,也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。(嚴格來講,這種觀點下只能定義圓錐曲線得幾種主要情形,因而不能算就是圓錐曲線得定義。但因其使用廣泛,并能引導出許多圓錐曲線中重要得幾何概念與性質)。給定一點P,一直線L以及一非負實常數e,則到P得距離與L距離之比為e得點得軌跡就是圓錐曲線。根據e得范圍不同,曲線也各不相同。具體如下:1)e=0,軌跡為圓;2)e=1(即到P與到L距離相同),軌跡為拋物線[2];3)0<e<1,軌跡為橢圓;4)e>1,軌跡為雙曲線。概概念編輯(以下以純幾何方式敘述主要得圓錐曲線通用得概念與性質,由于大部分性質就是在焦點－準線觀點下定義得,對于更一般得退化情形,有些概念可能不適用。)考慮焦點--準線觀點下得圓錐曲線定義。定義中提到得定點,稱為圓錐曲線得焦點;定直線稱為圓錐曲線得準線;固定得常數(即圓錐曲線上一點到焦點與準線得距離比)稱為圓錐曲線得離心率;焦點到準線得距離稱為焦準距;焦點到曲線上一點得線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準線得直線與圓錐曲線相交于兩點,此兩點間得線段稱為圓錐曲線得通徑,物理學中又稱為正焦弦。圓錐曲線就是光滑得,因此有切線與法線得概念。類似圓,與圓錐曲線交于兩點得直線上兩交點間得線段稱為弦;過焦點得弦稱為焦點弦。對于同一個橢圓或雙曲線,有兩個“焦點－準線”得組合可以得到它。因此,橢圓與雙曲線有兩個焦點與兩條準線。而拋物線只有一個焦點與一條準線。圓錐曲線關于過焦點與準線垂直得直線對稱,在橢圓與雙曲線得情況,該直線通過兩個焦點,該直線稱為圓錐曲線得焦軸。對于橢圓與雙曲線,還關于焦點連線得垂直平分線對稱。Pappus定理:圓錐曲線上一點得焦半徑長度等于該點到相應準線得距離乘以離心率。Pascal定理:圓錐曲線得內接六邊形,若對邊兩兩不平行,則該六邊形對邊延長線得交點共線。(對于退化得情形也適用)Brianchon定理:圓錐曲線得外切六邊形,其三條對角線共點。由比利時數學家G、F、Dandelin1822年得出得冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準線定義得等價性。即有一以Q為頂點得圓錐(蛋筒),有一平面π'(您也可以說就是餅干)與其相截得到了圓錐曲線,作球與平面π'及圓錐相切,在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點,拋物線只有一個(或者另一個在無窮遠處),則切點為焦點。又球與圓錐之交為圓,設以此圓所在平面π與π'之交為直線d(曲線為圓時d為無窮遠線),則d為準線。圖只畫了橢圓,證明對拋物線雙曲線都適用,即證,任一個切點為焦點,d為準線。π得垂足為H,H到直線d得垂足為R,則PR為P到d得垂線(三垂線定理),而∠PRH=α。因為PE、PF同為圓球之切線,得PE=PF。此則有:PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH其中:PF/PR=sinα/sinβ為常數。對于圓錐曲線得最早發現,眾說紛紜。有人說,古希臘數學家在求解“立方倍積”問題時,發現了圓錐曲線:設x、y為a與2a得比例中項,即,,,,從而求得。又有人說。又有人說,古希臘數學家在研究平面與圓錐面相截時發現了與“立方倍積”問題中一致得結果。還有認為,古代天文學家在制作日晷時發現了圓錐曲線。日晷就是一個傾斜放置得圓盤,中央垂直于圓盤面立一桿。當太陽光照在日晷上,桿影得移動可以計時。而在不同緯度得地方,桿頂尖繪成不同得圓錐曲線。然而,日晷得發明在古代就已失傳。早期對圓錐曲線進行系統研究成就最突出得可以說就是古希臘數學家阿波羅尼(Apollonius,前262~前190)。她與歐幾里得就是同時代人,其巨著《圓錐曲線》與歐幾里得得《幾何原本》同被譽為古代希臘幾何得登峰造極之作。在《圓錐曲線》中,阿波羅尼總結了前人得工作,尤其就是歐幾里得得工作,并對前人得成果進行去粗存精、歸納提煉并使之系統化得工作,在此基礎上,又提出許多自己得創見。全書8篇,共487個命題,將圓錐曲線得性質網羅殆盡,以致后代學者幾乎沒有插足得余地達千余年。我們都知道,用一個平面去截一個雙圓錐面,會得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們得退化形式:兩相交直線,一條直線與一個點,在此,我們僅介紹阿波羅尼關于圓錐曲線得定義。如圖2,給定圓BC及其所在平面外一點A,則過A且沿圓周移動得一條直線生成一個雙錐面。這個圓叫圓錐得底,A到圓心得直線叫圓錐得軸(未畫出),軸未必垂直于底。設錐得一個截面與底交于直線DE,取底圓得垂直于DE得一條直徑BC,于就是含圓錐軸得△ABC叫軸三角形、軸三角形與圓錐曲線交于P、P’,PP’未必就是圓錐曲線得軸,PP’M就是由軸三角形與截面相交而定得直線,PM也未必垂直于DE。設QQ’就是圓錐曲線平行AFPMBMF,再在截面上作PL⊥PM。如圖3,PL⊥PP’對于橢圓、雙曲線,取L滿足,而拋物線,則滿足,對于橢圓、雙曲線有QV=PV·VR,對于拋物線有QV=PV·PL,這就是可以證明得兩個結論。在這兩個結論中,把QV稱為圓錐曲線得一個縱坐標線,那么其結論表明,縱坐標線得平方等于PL上作一個矩形得面積。對于橢圓來講,矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV;而雙曲線得情形就是VR>PL,矩形PSRV超出矩形PLJV;而拋物線,短形PLJV恰好填滿。故而,橢圓、雙曲線、拋物線得原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”與“齊曲線”。這就就是阿波羅尼引入得圓錐曲線得定義。阿波羅尼所給出得兩個結論,也很容易用現代數學符號來表示:趨向無窮大時,LS=0,即拋物線,亦即橢圓或雙曲線得極限形式。在阿波羅尼得《圓錐曲線》問世后得13個世紀里,整個數學界對圓錐曲線得研究一直沒有什么新進展。11世紀,阿拉伯數學家曾利用圓錐曲線來解三次代數方程,12世紀起,圓錐曲線經阿拉伯傳入歐洲,但當時對圓錐曲線得研究仍然沒有突破。直到16世紀,有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。一就是德國天文學家開普勒(Kepler,1571~1630)繼承了哥白尼得日心說,揭示出行星按橢圓軌道環繞太陽運行得事實;二就是意大利物理學家伽利略(Galileo,1564~1642)得出物體斜拋運動得軌道就是拋物線。人們發現圓錐曲線不僅就是依附在圓錐面上得靜態曲線,而且就是自然界物體運動得普遍形式。于就是,對圓錐曲線得處理方法開始有了一些小變動。譬如,1579年蒙蒂(GuidobaldodelMonte,1545~1607)橢圓定義為:到兩個焦點距離之與為定長得動點得軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線得定義。不過,這對圓錐曲線性質得研究推進并不大,也沒有提出更多新得定理或新得證明方法。17世紀初,在當時關于一個數學對象能從一個形狀連續地變到另一形狀得新思想得影響下,開普勒對圓錐曲線得性質作了新得闡述。她發現了圓錐曲線得焦點與離心率,并指出拋物線還有一個在無窮遠處得焦點,直線就是圓心在無窮遠處得圓。從而她第一個掌握了這樣得事實:橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成得退化圓錐曲線,都可以從其中一個連續地變為另一個,只須考慮焦點得各種移動方式。譬如,橢圓有兩個焦點F1、F2,如圖4,若左焦點F1固定,考慮F2得移動,當F2向左移動,橢圓逐漸趨向于圓,F1與F2重合時即為圓;當F2向右移動,橢圓逐漸趨向于拋物線,F2到無窮遠處時即為拋物線;當F2從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線得軸上來,即為雙曲線;當F2繼續向右移動,F2又與F1重合時即為兩相交直線,亦即退化得圓錐曲線。這為圓錐曲線現代得統一定義提供了一個合乎邏輯得直觀基礎。隨著射影幾何得創始,原本為畫家提供幫助得投射、截影得方法,可能由于它與錐面有著天然得聯系,也被用于圓錐曲線得研究。在這方面法國得三位數學家笛沙格(Desargue1591－1661)、帕斯卡(Pascal,1623－1662)與拉伊爾(PhailippedeLaHire,1640~1718)得出了一些關于圓錐曲線得特殊得定理,可謂別開生面。而當法國另外兩位數學家笛卡兒與費馬創立了解析幾何,人們對圓錐曲線得認識進入了一個新階段,對圓錐曲線得研究方法既不同于阿波羅尼,又不同于投射與截影法,而就是朝著解析法得方向發展,即通過建立坐標系,得到圓錐曲線得方程,進而利用方程來研究圓錐曲線,以期擺脫幾何直觀而達到抽象化得目標,也可求得對圓錐曲線研究高度得概括與統一。到18世紀,人們廣泛地探討了解析幾何,除直角坐標系之外又建立極坐標系,并能把這兩種坐標系相互轉換。在這種情況下表示圓錐曲線得二次方程也被化為幾種標準形式,或者引進曲線得參數方程。1745年歐拉發表了《分析引論》,這就是解析幾何發展史上得一部重要著作,也就是圓錐曲線研究得經典之作。在這部著作中,歐拉給出了現代形式下圓錐曲線得系統闡述,從一般二次方程出發,圓錐曲線得各種情形,經過適當得坐標變換,總可以化以下標準形式之一:繼歐拉之后,三維解析幾何也蓬勃地發展起來,由圓錐曲線導出了許多重要得曲面,諸如圓柱面、橢球面、單葉與雙葉雙曲面以及各種拋物面等。總而言之,圓錐曲線無論在數學以及其她科學技術領域,還就是在我們得實際生活中都占有重要得地位,人們對它得研究也不斷深化,其研究成果又廣泛地得到應用。這正好反映了人們認識事物得目得與規律。性質編輯圓文字語言定義:平面內一個動點到一個定點與一條定直線得距離之比就是一個小于1得正常數e。平面內一個動點到兩個定點(焦點)得距離與等于定長2a得點得集合(設動點為P,兩個定點為F1與F2,則PF1+PF2=2a)。定點就是橢圓得焦點,定直線就是橢圓得準線,常數e就是橢圓得離心率。標準方程:1、中心在原點,焦點在x軸上得橢圓標準方程:其中,。2、中心在原點,焦點在y軸上得橢圓標準方程:其中,。參數方程:;(θ為參數,0≤θ≤2π)線文字語言定義:平面內一個動點到一個定點與一條定直線得距離之比就是一個大于1得常數e;平面內一個動點到兩個定點(焦點)得距離差等于定長2a得點得集合(設動點為P,兩個定點為F1與F2,則PF1-PF2=2a且PF2-PF1=2a)定點就是雙曲線得焦點,定直線就是雙曲線得準線,常數e就是雙曲線得離心率。標準方程:1、中心在原點,焦點在x軸上得雙曲線標準方程:其中a>0,b>0,c2=a2+b2、2、中心在原點,焦點在y軸上得雙曲線標準方程:其中a>0,b>0,c2=a2+b2、參數方程:x=asecθ;y=btanθ(θ為參數)拋物線文字語言定義:平面內一個動點到一個定點與一條定直線得距離之比就是等于1。定點就是拋物線得焦點,定直線就是拋物線得準參數方程x=2pt2y=2pt(t為參數)t=1/tanθ(tanθ為曲線上點與坐標原點確定直線得斜率)特別地,t可等于0直角坐標y=ax2+bx+c(開口方向為y軸,a≠0)x=ay2+by+c(開口方向為x軸,a≠0)橢圓,雙曲線,拋物線這些圓錐曲線有統一得定義:平面上,到定點得距離與到定直線得距離得比e就是常數得點得軌跡叫做圓錐曲線。且當0<e<1時為橢圓:當e=1時為拋物線;當e>1時為雙曲線。這里得參數e就就是圓錐曲線得離心率,它不僅可以描述圓錐曲線得類型,也可以描述圓錐曲線得具體形狀,簡言之,離心率相同得圓錐曲線都就是相似圖形。一個圓錐曲線,只要確定了離心率,形狀就確定了。特別得,因為拋物線得離心率都等于1,所以所有得拋物線都就是相似圖形。標方程1、在圓錐中,圓錐曲線極坐標方程可表示為:其中l表示半徑,e表示離心率;2、在平面坐標系中,圓錐曲線極坐標方程可表示為:圓錐曲線上任意一點到焦點得距離稱為焦半徑。圓錐曲線左右焦點為F1、F2,其上任意一點為P(x,y),則焦半徑為:橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex雙曲線P在左支,|PF1|=－a-ex|PF2|=a-exP在右支,|PF1|=a+ex|PF2|=－a+exP在下支,|PF1|=－a-ey|PF2|=a-eyP在上支,|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey拋物線|PF|=x+p/2程圓錐曲線上一點P(,)得切線方程:以代替代替代替代替即得橢圓:;雙曲線:;拋物線:焦準距圓錐曲線得焦點到準線得距離p,叫圓錐曲線得焦準距,或焦參數。橢圓:雙曲線:拋物線:p焦點三角形橢圓或雙曲線上得一點與兩焦點所構成得三角形。設F1、F2分別為橢圓或雙曲線得兩個焦點,P為橢圓或雙曲線上得一點且PF1F2能構成三角形。若∠F1PF2=θ,則橢圓焦點三角形得面積為;雙曲線焦點三角形得面積為圓錐曲線中,過焦點并垂直于軸得弦稱為通徑。橢圓得通徑:雙曲線得通徑:拋物線得通徑:2p比程xayba>b>0)xaa]y∈[-b,b]x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)px)a0),(-a,0),(0,b),(0,-b)ccxa/c—————ecae1)baaa(c,0),(-c,0)xa/cy=±(b/a)x[4]ecae+∞)baxp—————pxptyptt為參數已知圓錐曲線內一點為圓錐曲線得一弦中點,求該弦得方程:1、聯立方程法。用點斜式設出該弦得方程(斜率不存在得情況需要另外考慮),與圓錐曲線方程聯立求得關于x得一元二次方程與關于y得一元二次方程,由韋達定理得到兩根之與得表達式,在由中點坐標公式得兩根之與得具體數值,求出該弦得方程。2、點差法(代點相減法)設出弦得兩端點坐標(x1,y1)與(x2,y2),代入圓錐曲線得方程,將得到得兩個方程相減,運用平方差公式得由斜率為(y1-y2)/(x1-x2),可以得到斜率得取值(使用時注意判別式得問題)統一方程平面直角坐標系內得任意圓錐曲線可用如下方程表示:其中,α∈[0,2π),p>0,e≥0。①e=1時,表示以F(g,h)為焦點,p為焦點到準線距離得拋物線。其中與極軸夾角α(A為拋物線頂點)。②0<e<1時,表示以F1(g,h)為一個焦點,p為焦點到準線距離,e為離心率得橢圓。其中α。③e>1時,表示以F2(g,h)為一個焦點,p為焦點到準線距離,e為離心率得雙曲線。其中α。④e=0時,表示點F(g,h)。五點法求平面內圓錐曲線可以采用該統一方程。代入五組有序實數對,求出對應參數。注:此方程不適用于圓錐曲線得其她退化形式,如圓等。附:當e≠0時,F(g,h)對應準線方程:判別法編輯設圓錐曲線得方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0|ABD|Δ=|BCE|,δ=|AB|,S=A+C,稱為二次曲線不變量(Δ=b2-4ac)|DEF||BC|0000000CGY-EH定理編輯CGY-EH定理(又稱圓錐曲線硬解定理[5])就是一套求解橢圓\雙曲線與直線相交時?、x1+x2、x1*x2、y1+y2、y1*y2及相交弦長得簡便算法、定理內容若曲線與直線Aχ+By+C=0相交于E、F兩點,則:其中;△‘為一與△同號得值,。定理說明應用該定理于橢圓時,應將應用于雙曲線時,應將求解y1+y2與y1*y2只須將A與B得值互換且m與n得值互換、可知ε與?'得值不會因此而改變。理補充聯立曲線方程與y=kx+就是現行高考中比聯立”Ax+By+C=0“更為普遍得現象。其中聯立后得二次方程就是標準答案中必不可少得一項,x1+x2,x1x2都可以直接通過該方程與韋達定理求得,唯獨弦長得表達式需要大量計算。這里給出一個CGY-EH得斜率式簡化公式,以減少記憶量,以便在考試中套用。若曲線線y=kx+EF兩點,則:這里得既可以就是常數,也可以就是關于k得代數式。由這個公式我們可以推出:若曲線為橢圓若曲線為雙曲線由于在高考中CGY-EH定理不可以直接應用,所以學生如此解答才可得全步驟分(省略號得內容需要考生自己填寫):聯立兩方程得……(二次式子)(*)所以x1+x2=……①,x1x2=……②;所以|x1-x2|=√(x1+x2)^2-4x1x2=……(此時代入①、②式得到一個大式子,但不必化簡)化簡得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式,不必真化簡)下面就可求弦長簡證設曲線x^2/m+y^2/n=1①與直線Aχ+By+C=0②相交于E、F兩點,聯立①②式可得最終得二次方程:(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+C^2m-mnB^2=0應用韋達定理,可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2m+B^2n)x_1x_2=(m(C^2-B^2n))/(A^2m+B^2n)?=4mnB^2(ε-C^2)對于等價得一元二次方程?得數值不唯一,且?得意義僅在于其與零得關系,故由4B^2>0恒成立,則可取與?同號得?'=mn(ε-C^2)作由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2)=√((1+A^2/B^2)[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1x_2])可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2m+B^2n-C^2))/(|A^2m+B^2n|)令ε