（優選）彈塑性力學基礎當前第1頁\共有205頁\編于星期六\6點彈塑性力學基礎李同林中國地質大學力學教研室當前第2頁\共有205頁\編于星期六\6點第一章緒論一、學科分類·彈塑性力學二、彈塑性力學的研究對象三、彈塑性力學的基本思路與研究方法四、彈塑性力學的基本任務五、彈塑性力學基本假設六、彈塑性力學發展概況七、張量概念及其基本運算當前第3頁\共有205頁\編于星期六\6點一、學科分類·彈塑性力學按運動與否分：靜力學：研究力系或物體的平衡問題，不涉及物體運動狀態的改變；如飛機停在地面或巡航。運動學：研究物體如何運動，不討論運動與受力的關系；如飛行軌跡、速度、加速度。動力學：研究力與運動的關系。如何提供加速度？1、學科分類

當前第4頁\共有205頁\編于星期六\6點●按研究對象分：

◆一般力學：

研究對象是剛體。研究力及其與運動的關系。分支學科有理論力學，分析力學等。◆流體力學：研究對象是氣體或液體。涉及到：

水力學、空氣動力學等學科。◆固體力學：研究對象是可變形固體。研究材料變形、流動和斷裂時的力學響應。其分支學科有：

材料力學、結構力學、彈性力學、

塑性力學、彈塑性力學、斷裂力學、流變學、疲勞等。當前第5頁\共有205頁\編于星期六\6點

按研究手段分：（理論分析、實驗和數值計算）

有實驗力學、計算力學二個方面的分支。

按應用領域分：有飛行力學、船舶結構力學、巖土力學、量子力學等。當前第6頁\共有205頁\編于星期六\6點

2、彈塑性力學

彈塑性力學是固體力學的一個重要分支學科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度變化等因素的影響而發生的應力、應變和位移及其分布規律的一門科學，是研究固體在受載過程中產生的彈性變形和塑性變形階段這兩個緊密相連的變形階段力學響應的一門科學。

當前第7頁\共有205頁\編于星期六\6點二、彈塑性力學的研究對象

在研究對象上，材料力學的研究對象是固體，且基本上是各種桿件，即所謂一維構件。造成兩者間這種差異的根本原因是什么呢？

彈塑性力學研究對象也是固體，是不受幾何尺寸與形態限制的能適應各種工程技術問題需求的物體。當前第8頁\共有205頁\編于星期六\6點三、彈塑性力學的基本思路與研究方法1、彈塑性力學分析問題的基本思路

彈塑性力學與材料力學同屬固體力學的分支學科，它們在分析問題解決問題的基本思路上都是一致的，但在研究問題的基本方法上各不相同。其基本思路如下：當前第9頁\共有205頁\編于星期六\6點(1)受力分析及靜力平衡條件(力的分析)物體受力作用處于平衡狀態，應當滿足的條件是什么？（靜力平衡條件）(2)變形的幾何相容條件(幾何分析)材料是均勻連續的，在受力變形后仍應是連續的。固體內既不產生“裂隙”，也不產生“重疊”，此時材料變形應滿足的條件是什么？（幾何相容條件）(3)力與變形間的本構關系(物理分析)固體材料受力作用必然產生相應的變形。不同的材料，不同的變形，就有相應不同的物理關系。當前第10頁\共有205頁\編于星期六\6點◆彈塑性力學研究問題的基本方法以受力物體內某一點（單元體）為研究對象

單元體的受力——應力理論；單元體的變形——變形幾何理論；單元體受力與變形間的關系——本構理論；

建立起普遍適用的理論與解法。1、涉及數學理論較復雜，并以其理論與解法的嚴密性和普遍適用性為特點；2、彈塑性的工程解答一般認為是精確的；3、可對初等力學理論解答的精確度和可靠進行度量。當前第11頁\共有205頁\編于星期六\6點四、彈塑性力學的基本任務可歸納為以下幾點：1．建立求解固體的應力、應變和位移分布規律的基本方程和理論；2．給出初等理論無法求解的問題的理論和方法，以及對初等理論可靠性與精確度的度量；3．確定和充分發揮一般工程結構物的承載能力，提高經濟效益；4．為進一步研究工程結構物的強度、振動、穩定性、斷裂等力學問題，奠定必要的理論基礎。當前第12頁\共有205頁\編于星期六\6點五、彈塑性力學的基本假設（1）連續性假設：假定物質充滿了物體所占有的全部空間，不留下任何空隙。

（2）均勻性與各向同性的假設：假定物體內部各點處，以及每一點處各個方向上的物理性質相同。

（3）力學模型的簡化假設：（A）完全彈性假設；（B）彈塑性假設。當前第13頁\共有205頁\編于星期六\6點⑷幾何假設——小變形條件

（A）在彈塑性體產生變形后建立平衡方程時，可以不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。

（B）在研究問題的過程中可以略去相關的二次及二次以上的高階微量；

假定物體在受力以后，體內的位移和變形是微小的，即體內各點位移都遠遠小于物體的原始尺寸，而且應變(包括線應變與角應變)均遠遠小于1。根據這一假定：

當前第14頁\共有205頁\編于星期六\6點六、彈塑性力學發展概況

◆1678年英國科學家虎克(R.Hooke)提出了固體材料的彈性變形與所受外力成正比——虎克定律。◆19世紀20年代，法國科學家納維葉(C.L.M.H.Navier)、柯西(A.L.Cauchy)和圣文南(A.J.C.B.SaintVenant)等建立了彈性力學的理論基礎。當前第15頁\共有205頁\編于星期六\6點◆法國科學家庫倫(C.A.Corlomb1773年）、屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、圣文南和萊(M.Levy)波蘭力學家胡勃(M.T.Houber

1904年）、米塞斯(R.vonMises1913年）、普朗特(L.Prandtl1924)羅伊斯(A.Reuss1930)、享奇（H.Hencky)、納戴(A.L.Nadai)、伊留申(A.A.Ииьющин)

闡明了應力、應變的概念和理論；彈性力學和彈塑性力學的基本理論框架得以確立。當前第16頁\共有205頁\編于星期六\6點七、張量概念及其基本運算（附錄一）

1、張量概念◆張量分析是研究固體力學、流體力學及連續介質力學的重要數學工具。◆張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。

◆任一物理現象都是按照一定的客觀規律進行的，它們是不以人們的意志為轉移的。

◆分析研究物理現象的方法和工具的選用與人們當時對客觀事物的認識水平有關，會影響問題的求解與表述。

當前第17頁\共有205頁\編于星期六\6點◆

所有與坐標系選取無關的量，統稱為物理恒量。◆

在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明的物理量，統稱為標量。例如溫度、質量、功等。◆

在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。

◆

絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需三個分量來確定。

◆

若我們以r表示維度，以n表示冪次，則關于三維空間，描述一切物理恒量的分量數目可統一地表示成：（Ⅰ—1）當前第18頁\共有205頁\編于星期六\6點◆現令n為這些物理量的階次，并統一稱這些物理量為張量。

◆二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間可由坐標變換關系式來解決定義。當n=0時，零階張量，M=1，標量；當n=1時，一階張量，M=3，矢量；、、、當取n時，n階張量，M=3n。當前第19頁\共有205頁\編于星期六\6點◆

在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表示和區別該張量的所有分量。

◆

不重復出現的下標符號稱為自由標號。自由標號在其方程內只羅列不求和。以自由標號的數量確定張量的階次。◆

重復出現，且只能重復出現一次的下標符號稱為啞標號或假標號。啞標號在其方程內先羅列，再不求和。2.下標記號法◆

本教程張量下標符號的變程，僅限于三維空間，即變程為3。當前第20頁\共有205頁\編于星期六\6點3.求和約定

關于啞標號應理解為取其變程N內所有數值，然后再求和，這就叫做求和約定。例如：（I-2）（I-4）（I-5）當前第21頁\共有205頁\編于星期六\6點★

關于求和標號，即啞標有：◆

求和標號可任意變換字母表示。◆

求和約定只適用于字母標號，不適用于數字標號。

◆

在運算中，括號內的求和標號應在進行其它運算前優先求和。例：

（I-12）（I-13）當前第22頁\共有205頁\編于星期六\6點★關于自由標號：

◆在同一方程式中，各張量的自由標號相同，即同階且標號字母相同。◆自由標號的數量確定了張量的階次。★關于Kroneckerdelta（）符號：

是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號（或柯羅尼克爾符號），亦稱單位張量。其定義為：

（I-17）當前第23頁\共有205頁\編于星期六\6點4.張量的基本運算

A、張量的加減：

張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣，如：

凡是同階的兩個或幾個張量可以相加(或相減)，并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標號相同的諸分量之代數和。即：其中各分量（元素）為：（I-19）（I-20）當前第24頁\共有205頁\編于星期六\6點B、張量的乘積◆

對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。

◆

兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積張量的階數等于因子張量階數之和。例如：◆

張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配律和結合律。例如：

（I-21）（I-22）當前第25頁\共有205頁\編于星期六\6點C、張量函數的求導：◆

一個張量是坐標函數，則該張量的每個分量都是坐標參數xi的函數。

◆

對張量求導，就是把張量的每個分量都對坐標參數求導數。

◆

對張量的坐標參數求導數時，采用在張量下標符號前上方加“′”的方式來表示。例如：，就表示對一階張量的每一個分量對坐標參數xi求導。

◆

對張量的坐標參數求導數時，采用在張量下標符號前上方加“′”的方式來表示。例如：，就表示對一階張量的每一個分量對坐標參數xi求導。

當前第26頁\共有205頁\編于星期六\6點◆

如果在微商中下標符號i

是一個自由下標，則算子作用的結果，將產生一個新的升高一階的張量；如果在微商中，下標符號是一個啞標號，則算子作用的結果將產生一個新的降低一階的張量。例如：（I-23）（I-24）（I-25）（I-25）◆

如果在微商中下標符號i

是一個自由下標，則算子作用的結果，將產生一個新的升高一階的張量；如果在微商中，下標符號是一個啞標號，則算子作用的結果將產生一個新的降低一階的張量。例如：當前第27頁\共有205頁\編于星期六\6點4.張量的分解張量一般是非對稱的。若張量的分量滿足則稱為反對稱張量。顯然反對稱張量中標號重復的分量(也即主對角元素)為零，即。

則稱為對稱張量。如果的分量滿足（I-27）（I-28）當前第28頁\共有205頁\編于星期六\6點第二章

應力理論一、應力的概念·應力狀態的概念二、應力分量轉換方程三、主應力·應力主方向·應力張量不變量四、最大(最小)剪應力五、空間應力圓.應力橢球

六、應力張量的分解七、偏斜應力張量.主偏應力.應力偏量不變量八、八面體應力·等效應力九、平衡（或運動）微分方程當前第29頁\共有205頁\編于星期六\6點一、應力的概念

應力狀態的概念◆應力：受力物體內某點某截面上內力的分布集度。1、應力的概念當前第30頁\共有205頁\編于星期六\6點2、應力狀態的概念：受力物體內某點處所取無限多截面上的應力情況的總和，就顯示和表明了該點的應力狀態應力正應力剪應力必須指明兩點：1.是哪一點的應力；2.是該點哪個微截面的應力。◆表示應力的及符號規則：正應力：剪應力：第一個字母表明該應力作用截面的外法線方向同哪一個坐標軸相平行。第二個字母表明該應力的指向同哪個坐標軸相平行。當前第31頁\共有205頁\編于星期六\6點◆應力的正負號規則：當前第32頁\共有205頁\編于星期六\6點3.應力張量

數學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的九個數所定義的量，叫做二階張量。根據這一定義，物體內一點處的應力狀態可用二階張量的形式來表示，并稱為應力張量，而各應力分量即為應力張量的元素，且由剪應力等定理知，應力張量應是一個對稱的二階張量，簡稱為應力張量。或（2—3）

據剪應力互等定理,應力張量應是一個對稱的二階張量。

當前第33頁\共有205頁\編于星期六\6點二.應力分量轉換方程

1、任意斜截面上的應力

已知：

求：PPx、Py、

Pz斜截面外法線為n，方向余弦分別為L1、L2、L3；面積：SABC=1；SOBC=L1，SOAC=L2，SOAB=L3。當前第34頁\共有205頁\編于星期六\6點則由單元體力系平衡條件：、、得：（2—4）

（2—5）

（2—6）

（2—7）

（2—8）

當前第35頁\共有205頁\編于星期六\6點2、應力分量轉換方程標坐軸xyzx′y′z′表2—1

當前第36頁\共有205頁\編于星期六\6點（2—10）

當前第37頁\共有205頁\編于星期六\6點3、平面應力狀態◆注意：材力與彈塑性力學中關于應力符號的差異。當前第38頁\共有205頁\編于星期六\6點（2—22）

（2—21）

（2—11）

當前第39頁\共有205頁\編于星期六\6點三.主應力·應力主方向·應力張量不變量

主平面：一點應力狀態剪應力等于零的截面稱為主平面；主應力：主平面上的正應力稱為該點的主應力；主方向：主平面的法線方向即為主方向；主單元體：由主平面截取的單元體稱為主單元體。設斜截面ABC為主平面，則：3lPnzs=當前第40頁\共有205頁\編于星期六\6點則由2-4得：

（2—12）

（2—13）

（2—18）當前第41頁\共有205頁\編于星期六\6點

理論上可證明：當一點的應力狀態確定時，由式2-18必可求出三個實根，即為主應力，且。主應力彼此正交。(2—19)

（2—20）

當前第42頁\共有205頁\編于星期六\6點◆正應力的極值就是主應力（2—24）

（2—25）由2-24及得：

對上式取極值求出方向余弦式，再代回式2-25得：，即正應力取極值截面上的剪應力為零，此正應力即為主應力。主方向彼此正交。當前第43頁\共有205頁\編于星期六\6點四.最大(最小)剪應力

由2-25及求出：當前第44頁\共有205頁\編于星期六\6點討論式（b），可得其解如表２-３所示：表2—300±100±10±0±1000000±±±±±當前第45頁\共有205頁\編于星期六\6點◆主剪應力為：當前第46頁\共有205頁\編于星期六\6點◆最大（最小）剪應力為：（2—27）

◆最大（最小）剪應力作用截面上一般正應力不為零，即：（2—28）

當前第47頁\共有205頁\編于星期六\6點五.空間應力圓·應力橢球一點應力狀態用解析法研究用幾何法研究解析理論莫爾應力圓若三個坐標軸的方向都恰取為應力主方向，則由式(2—24)或(2—15)可求出用，外法線為n的斜截面上的正應力其表達式為:1、空間應力圓當前第48頁\共有205頁\編于星期六\6點在式（c）中，設永遠是正值，所以式（c）中右端的分子和分母應有相同的正、負號。在式（c）中，設永遠是正值，所以式（c）中右端的分子和分母應有相同的正、負號。當前第49頁\共有205頁\編于星期六\6點

當前第50頁\共有205頁\編于星期六\6點六、應力張量的分解+＝+＝（2—30）

當前第51頁\共有205頁\編于星期六\6點◆通常對于金屬材料有：◆通常將應力張量進行分解，更有利于研究固體材料的塑性變形行為。

◆巖土材料在球應力張量作用下，一般也會出現塑性體變，從而出現奇異屈服面。球應力張量體變：只是彈性變形畸變：首先產生彈性畸變，當應力達到一定的極值時，將產生塑性的畸變。偏斜應力張量當前第52頁\共有205頁\編于星期六\6點七、偏斜應力張量.主偏應力.應力偏量不變量1、偏斜應力張量.主偏應力＝=＝＝＝當前第53頁\共有205頁\編于星期六\6點2、應力偏量不變量當前第54頁\共有205頁\編于星期六\6點=◆

作用八面體產生畸變，是塑性力學中的重要力學參量。八、8面體應力·等效應力當前第55頁\共有205頁\編于星期六\6點2、等效應力（2-43）◆材料處于單向拉伸應力狀態時，，；◆應力狀態確定了，值就確定了，與坐標軸的選擇無關；◆等效應力與球應力狀態無關，是塑性力學中的重要力學參量。計算中是使用的絕對值。

等效應力又稱為有效應力或應力強度，用表示.當前第56頁\共有205頁\編于星期六\6點九、平衡（或運動）微分方程

當前第57頁\共有205頁\編于星期六\6點◆平衡微分方程：

◆一個客觀的彈性力學問題，在物體體內任意一點的應力分量和體力分量必定滿足這組方程。◆求解應力場的問題是一個靜不定問題。◆體力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之負。（2-44）（2-45）當前第58頁\共有205頁\編于星期六\6點十、靜力邊界條件

◆一個客觀的彈塑性力學問題，在物體邊界上任意一點的應力分量和面力分量必定滿足這組方程。◆面力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之取負。（2-46）（2-47）當前第59頁\共有205頁\編于星期六\6點◆當邊界面與某一坐標軸相垂直時，應力分量與相應的面力分量直接對應相等。◆關于平面問題的應力邊界條件（xoy平面）：（2-49）當前第60頁\共有205頁\編于星期六\6點例2-7：

圖2—16所示為一變截面薄板梁，板的厚度為單位1，跨度為。梁上表面承受三角形分布載荷作用，下斜表面承受均布切向面力作用，左端面上作用的面力詳細分布情況不清，但分布面力的合力為切向集中力P，合力偶的力偶矩為M。試確定此問題上述三邊界上的應力邊界條件。當前第61頁\共有205頁\編于星期六\6點當前第62頁\共有205頁\編于星期六\6點當前第63頁\共有205頁\編于星期六\6點例2-7：解：左邊界：下邊界：據圣文南原理和平衡的原理得：上邊界：（1）（2）（3）當前第64頁\共有205頁\編于星期六\6點第三章變形幾何理論一、位移、應變、幾何方程、

應變狀態、應變張量三、應變分量轉換方程四、主應變、最大(最小)剪應變、體積應變七、應變速度、應變增量、應變莫爾圓六、應變協調方程五、應變張量的分解、等效應變二、位移邊界條件當前第65頁\共有205頁\編于星期六\6點一、位移、應變、應變狀態、幾何方程、應變張量1、位移分量和相對位移分量｛位移剛性位移：反映物體整體位置的變動變形位移：反映物體的形狀和尺寸發生變化

研究物體在外力作用下的變形規律，只需研究物體內各點的相對位置變動情況，即研究變形位移。

通常物體內各點的位移應是點的位置坐標函數，參照oxyz坐標即為：（3---1）◆位移函數應是位置坐標的單值連續函數。◆位移分量函數不能直接表明物體各點處材料變形的劇烈程度，還需要研究物體內各點的相對位移。當前第66頁\共有205頁\編于星期六\6點當前第67頁\共有205頁\編于星期六\6點當前第68頁\共有205頁\編于星期六\6點2、應變的概念、幾何方程◆在物體內任一點M處截取一單元體，考察其變形（由平面推廣到空間）。◆在小變形的前提下建立應變的概念和幾何方程。⑴

應變的概念當前第69頁\共有205頁\編于星期六\6點◆考察單元體在xy平面上投影ABCD的變形。◆當微分體變形并出現位移后，其在xoy平面上的投影ABCD就移至新的位置，如圖所示。

⑴

應變的概念當前第70頁\共有205頁\編于星期六\6點⑴

應變的概念沿x方向棱邊的線應變，據定義有：

也即：

（略去高階微量得：）A點x，y方向所夾直角的改變量，即剪應變（角應變）：

也即：當前第71頁\共有205頁\編于星期六\6點⑴

應變的概念線應變→角應變→◆應變的符號規則：

表征某點某方向伸長變形的線應變取正，反之取負；表征某點兩坐標軸正方向所夾直角減少的角應變取正，反之取負。顯然：γxy=γyx。1.涉及受力物體內某點；2.涉及該點的某一方向；3.是一個無量綱的物理量。1、涉及受力物體內某一點；2、涉及過該點的某兩相垂直方向；3、是一個有單位，無量綱的物理量。當前第72頁\共有205頁\編于星期六\6點⑵

幾何方程：（3---2）該式表明了一點處的位移分量和應變分量所應滿足的關系，稱為幾何方程，也稱為柯西(Augustin-LouisCauchy)幾何關系。其縮寫式為：（3---7）當前第73頁\共有205頁\編于星期六\6點3、應變狀態、應變張量==（3---6）受力物體內某點處線應變和剪應變的總和，反映和表征了該點的變形程度(狀態)，稱之為應變狀態。一點的應變狀態可用二階張量的形式來表示，稱為應變張量，用表示，即：當前第74頁\共有205頁\編于星期六\6點◆由幾何方程式可以看出，當物體內一點的位移

分量完全確定時，則應變分量亦已完全確定，

因為應變是位移的微分形式。但是當應變分量

完全確定時，位移分量則不一定能求解出來，

這是由于物體的位移除了包含有純變形位移

外，還可能包括有剛性位移。

當前第75頁\共有205頁\編于星期六\6點三、應變分量轉換方程⑴任意方向上的線應變計算：當前第76頁\共有205頁\編于星期六\6點⑵

應變分量轉換方程一點的應變狀態是一個二階對稱張量，則其分量轉換方程為：(3---12)(3---13)當前第77頁\共有205頁\編于星期六\6點◆應變狀態與應力狀態都是二階對稱張量，

因此在數學上兩者所遵循的坐標變換法則是

相同的。比較公式3--12和2—9，知其分量間對應關系為：但且◆由于應變張量與應力張量兩者在數學上遵

循相同的坐標變換法則，所以可知主應變、

應變主方向、最大（最小）剪應力、應變張

量分解、…等對應關系式均可直接導出。當前第78頁\共有205頁\編于星期六\6點四、主應變、應變主方向、最大（最小）剪應變◆過物體內任一點，一定存在著三個互相垂直的平面,在這些平面間剪應變為零，將其稱之為應變主平面。

◆應變主平面的外法線方向稱為應變主方向或應變主軸。應變主軸彼此正交。◆應變主方向上的線應變就是主應變。一點應變狀態的主應變有三個即：◆當一點應變狀態確定是，

其主應變、應變主方向由

下式確定：⑴主應變、應變主方向當前第79頁\共有205頁\編于星期六\6點（3---18）（3---19）（3---22）◆應變不變量：（3---23）當前第80頁\共有205頁\編于星期六\6點◆理論上可證明：三個應變主軸是彼此垂直的。◆理論上一般認為：應力主方向與應變主方向彼此對應相同。通常簡稱為主方向。(2)、最大（最小）剪應變◆

理論上可證明：當一點應變狀態確定時，該點的三個主應變一定也是三個實數根。并且按代數值排列：（3---24）（3---25）當前第81頁\共有205頁\編于星期六\6點五、應變張量的分解、八面體應變、等效應變應變張量也可分解為應變球張量和應變偏張量，即：（3---27）（3---28）（3---27）⑴應變張量的分解當前第82頁\共有205頁\編于星期六\6點⑵偏斜應變張量.應變偏量不變量◆應變偏張量為：◆相應的應變偏量不變量為：(3---30）（3---29）當前第83頁\共有205頁\編于星期六\6點⑶八面體應變、等效應變◆

八面體應變公式為：◆

等效應變為：（3---34）（3---31）（3---32）當前第84頁\共有205頁\編于星期六\6點六、變形連續性條件◆由幾何方程可知，六個獨立的應變分量是表征一點應變狀態的，彼此間是不能相互獨立的。因此，六個獨立的應變分量應滿足一定的條件——變形連續性條件。三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。◆以平面問題為例：（oxy平面）幾何方程3個位移分量2個若無附加條件，則位移沒有單值解。◆平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標x、y的函數。◆以平面問題為例：（oxy平面）幾何方程3個位移分量2個◆以平面問題為例：（oxy平面）幾何方程3個若無附加條件，則位移沒有單值解。位移分量2個◆以平面問題為例：（oxy平面）幾何方程3個三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。若無附加條件，則位移沒有單值解。位移分量2個◆以平面問題為例：（oxy平面）幾何方程3個三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。若無附加條件，則位移沒有單值解。位移分量2個幾何方程3個◆平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標x、y的函數。三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。◆平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標x、y的函數。若無附加條件，則位移沒有單值解。三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。◆平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標x、y的函數。位移分量2個若無附加條件，則位移沒有單值解。三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。◆平面問題（oxy平面）中，位移分量u、v、w都是坐標x、y的函數。位移分量2個若無附加條件，則位移沒有單值解。三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。幾何方程3個位移分量2個若無附加條件，則位移沒有單值解。三個幾何方程必須彼此協調，同時成立。當前第85頁\共有205頁\編于星期六\6點◆變形連續性條件，亦稱應變協調條件（方程）或相容條件（方程）。導出如下：（3--35）當前第86頁\共有205頁\編于星期六\6點◆其數學意義：要求要求位移函數在其定義域內為單值連續函

數，其方程就是位移函數的全微分條件。◆其物理意義：就是要保證不違反連續性假設，構成物體的介質在變形前后是連續的，并且物體內每一點的位移必定是確定的，即同一點不會產生兩個或兩個以上的位移。這就是說，相鄰點發生微小位移后，仍為相鄰點，否則物體在變形后將出現間隙或重疊現象。

◆變形連續性條件反映了真實情況下物體內各點應變之間的協調關系。

◆關于平面問題，變形連續性條件簡化為：（3--35）◆對于多連域問題，物體變形除滿足式（2-94）（必要條件）外，還要補充條件（充分條件）。當前第87頁\共有205頁\編于星期六\6點

一點的應變狀態可用應變莫爾圓來表示：七、應變莫爾圓當前第88頁\共有205頁\編于星期六\6點第四章彈性變形、塑性變形、本構方程§4-1彈性變形與塑性變形的特點

塑性力學的附加假設

§4-2常用簡化力學模型

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數

§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件

§4-7塑性本構方程簡介

當前第89頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-1彈性變形與塑性變形的特點

塑性力學的附加假設◆彈塑性力學研究的問題一般都是靜不定問題。｛◆靜不定問題的解答1、靜力平衡分析——平衡微分方程2、幾何變形分析——幾何方程3、物理關系分析——物理方程

◆此即彈塑性力學分析解決問題的基本思路。◆表明固體材料產生彈性變形或塑性變形時應力與應變，以及應力率與應變率之間關系的物性方程，稱為本構方程（關系）。當前第90頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續1）◆

大量實驗證實，固體受力變形時，應力與應變間的關系是相輔相成的。◆

固體材料在一定條件下，應力與應變之間各自有著確定的關系，這一關系反映著固體材料的變形的客觀特性。當前第91頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續2）

⑴彈性變形特點:①彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所做的功以能量（應變能）的形式貯存在物體內，當卸載時，彈性應變能將全部釋放出來，物體的變形得以完全恢復；②無論材料是處于單向應力狀態，還是復雜應力態，在線彈性變形階段，應力和應變成線性比例關系；③對材料加載或卸載，其應力應變曲線路徑相同。因此，應力與應變是一一對應的關系。當前第92頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續3）⑵塑性變形特點:①塑性變形不可恢復，所以外力功不可逆，塑性變形的產生必定要耗散能量（稱耗散能或形變功）。②在塑性變形階段，其應力應變關系是非線性的。由于本構方程的非線性，所以不能使用疊加原理。又因為加載與卸載的規律不同，應力與應變之間不再存在一一對應的關系，即應力與相應的應變不能唯一地確定，而應當考慮到加載路徑（或加載歷史）。③在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態稱彈性區，有的部分已進入了塑性狀態稱塑性區。在彈性區，加載與卸載都服從廣義虎克定律。但在塑性區，加載過程服從塑性規律，而在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，兩區域的分界面也會產生變化。④依據屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態。當前第93頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續4）◆具強化性質的固體材料，隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個方向上提高，而在相反的方向上降低的效應，稱為包辛格效應。◆

包辛格效應導致材料物理力學性質具有各向異性。◆由于這一效應的數學描述比較復雜,一般塑性理論（在本教程）中都忽略它的影響。⑶包辛格效應:當前第94頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-1彈性變形與塑性變形的特點、塑性力學的附加假設（續5）⑷塑性力學附加假設:為研究塑性力學需要，對材料提出如下附加假設：①球應力引起了全部體變（即體積改變量），而不包含畸變（即形狀改變量），體變是彈性的。因此，球應力不影響屈服條件；②偏斜應力引起了全部畸變，而不包括體變，塑性變形僅是由應力偏量引起的。因此，在塑性變形過程中材料具有不可壓縮性（即體積應變為零）；③不考慮時間因素對材料性質的影響，即認為材料是非粘性的。

◆

這些附加假設都是建立在一些金屬材料的實驗基礎上的，前兩條對巖土材料不適應。當前第95頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型◆

變形力學模型是在大量實驗的基礎上，將各種反映材料力學性質的應力應變曲線，進行分析歸類抽象總結后提出的。◆

對不同的固體材料，不同的應用領域，可采用不同的變形體力學模型。★

確定力學模型時應注意：①必須符合材料的實際情況；②模型的數學表達式應足夠簡單。當前第96頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型（續1）不同的固體材料，力學性質各不相同。即便是同一種固體材料，在不同的物理環境和受力狀態中，所測得的反映其力學性質的應力應變曲線也各不相同。盡管材料力學性質復雜多變，但仍是有規律可循的，也就是說可將各種反映材料力學性質的應力應變曲線，進行分析歸類并加以總結，從而提出相應的變形體力學模型。當前第97頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型（續2）

在確定力學模型時，要特別注意使所選取的力學模型必須符合材料的實際情況，這是非常重要的，因為只有這樣才能使計算結果反映結構或構件中的真實應力及應力狀態。另一方面要注意所選取的力學模型的數學表達式應足夠簡單，以便在求解具體問題時，不出現過大的數學上的困難。關于彈塑性力學中常用的簡化力學模型分析如下：當前第98頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型（續3）◆

理想彈塑性力學模型

理想彈塑性力學模型亦稱為彈性完全塑性力學模型，該模型抓住了韌性材料的主要變形特征。其表達式為：（4-2）當前第99頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型（續4）◆

理想線性強化彈塑性力學模型

理想線性強化彈塑性力學模型亦稱為彈塑性線性強化材料或雙線性強化模型。其數學表達式為：當前第100頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型（續5）◆理想剛塑性力學模型

理想剛塑性力學模型亦稱剛性完全塑性力學模型，特別適宜于塑性極限載荷的分析。其表達式為:（4--4）當前第101頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型（續6）◆理想線性強化剛塑性力學模型

理想線性強化剛塑性力學模型，其應力應變關系的數學表達式為：（4--5）當前第102頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-2常用簡化力學模型（續7）◆冪強化力學模型

為了避免在處的變化，有時可以采用冪強化力學模型。當表達式中冪強化系數n分別取0或1時，就代表理想彈塑性模型和理想剛塑性模型。其應力應變關系表達式為：（4--6）當前第103頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數大量的試驗研究結果表明，在許多工程材料的彈性范圍內，單向的應力與應變之間存在著線性關系。若取過某點的x方向為單軸向力方向，則簡單拉(壓)時的虎克定律為：

由于這種關系反映出來的材料變形屬性，應不隨應力狀態的不同而變化，因而人們認為，對于各種復雜應力狀態也應有性質相同的關系，故可將上述應力應變線性比例關系推廣到一般情況，即在彈性變形過程中，任一點的每一應力分量都是六個獨立的應變分量的線性函數；反之亦然。這種形式的應力應變關系，稱為廣義虎克定律或彈性本構方程，表達為數學形式則為：

當前第104頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續1）式中Cmn稱為彈性常數，與位置坐標無關。（4-8）⑴

廣義虎克定律一般表達式：假設物體中沒有初應力，對于均勻的理想彈性體的應力應變關系下：當前第105頁\共有205頁\編于星期六\6點◆廣義虎克定律張量表達式：（4-9）◆

廣義虎克定律式（4-8）中36個彈性常數是否彼此無關？◆

彈性常數針對各種不同的研究對象；它們之間的關系是什么？◆式（4-8）若采用矩陣表達式,則為：{σ}=[D]{ε}{σ}稱為應力列陣；{ε}稱為應變列陣；[D]稱為彈性矩陣。§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續2）當前第106頁\共有205頁\編于星期六\6點⑵彈性應變能函數:◆

彈性體的實功原理：若對于靜荷載作用下產生彈性變形過程中不計能量耗散，則據功能原理：產生此變形的外力在加載過程中所作的功將以一種能量的形式被積累在物體內，此能量稱為彈性應變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應變能在數值上等于外力功。這就是實功原理，也稱變形能原理。若彈性應變能用U表示，外力功用We表示，則有：

（4--10）若以Wi表示內力功，則有：（4--11）（a）且：§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續3）

當前第107頁\共有205頁\編于星期六\6點⑶、彈性體中的內力功和應變能：物體內代表一點的微分體，在變形時存在有剛性位移與變形位移兩部分。但由于內力是平衡力系，在微分體的剛體（性）位移上不作功，則只須討論應力對微分體引起應變所作的內力功（亦稱形變功）。§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續4）首先考察單元體上外法線與x軸相平行的微截面上拉力（或壓力）所作的功如圖4-8(a)所示。當前第108頁\共有205頁\編于星期六\6點

同理可得：

于是拉力所作的內力功為：同理可得：

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續5）當前第109頁\共有205頁\編于星期六\6點則彈性體由零應變狀態加載至某一應變狀態的過程中，彈性體整個體積的內力功為：（4—12）于是從零應變狀態到達某一應變狀態的過程中，積累在彈性體單位體積內的應變能為：

（4—14）

（4—13）§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續6）（4—13）當前第110頁\共有205頁\編于星期六\6點⑷、彈性勢能函數:有勢力在勢力場（彈性體）中，由于質點位置的改變（變形）有做功的能力，這種能稱為勢能。這種勢能顯然就是上述應變能。勢能是質點坐標的連續函數，故我們把應變能亦稱為應變能函數，或彈性勢能函數。

對于理想彈性體，在每一確定的應變狀態下，都具有確定的應變值。彈性勢能函數與應變過程無關。在加、卸載的過程中：

（b）§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續7）當前第111頁\共有205頁\編于星期六\6點上式表明：應力分量等于彈性勢函數對相應的應變分量的一階偏導數。適用于一般彈性體。其縮寫式為：彈性勢能函數是坐標的單值連續函數，故必為全微分，即：

（4—19）

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續8）（4—17）

（4—18）

當前第112頁\共有205頁\編于星期六\6點⑸、彈性常數間的關系:①、極端各向異性體:對極端各向異性體，獨立的彈性常數只有21個。

變形過程中，積累在單位體積內的應變能為：

（4—21）

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續9）（4—20）

當前第113頁\共有205頁\編于星期六\6點②、正交各向異性體:正交各向異性體：過物體內一點具有三個互相正交的彈性對稱面，在每個對稱面兩側的對稱方向上彈性性質相同，但在三個互相正交方向的彈性性質彼此不同。§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續10）應變能的值只取決于彈性常數及最終的應變狀態，應該與坐標軸的指向無關。當前第114頁\共有205頁\編于星期六\6點

正交各向異性體獨立的彈性常數只有9個。則其相應的應力應變關系為：

其單位體積應變能為：（4—22）

（4—23）

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續11）當前第115頁\共有205頁\編于星期六\6點有一類正交各向異性體，其特點是在平行于某一平面的所有各個方向(即所謂橫向)都具有相同的彈性，我們將這類正交異性體稱為橫觀各向同性體。許多成層的巖石就屬于這一類。③、橫觀各向同性體:

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續12）（4—24）（4—25）當前第116頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續13）對比材料力學的公式，則式(4-25)可寫成：（4—26）由于在平面內各向同性，故由材料力學的證明知：（4—27）對于橫觀各向同性體，獨立的彈性常數只有5個，它們是：。

當前第117頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續14）④、各向同性體:所謂各向同性體：是指過物體內一點沿任何方向上的物理力學性質均相同的物體。其獨立的彈性常數只有兩個。

各向同性體兩個獨立的彈性常數通常取為：

彈性模量E和泊桑比υ

★各向同性彈性體的本構方程:（4—28）（4—29）A.用應力表達應變的廣義虎克定律:當前第118頁\共有205頁\編于星期六\6點B.用應變表達應力的廣義虎克定律：上式中λ稱為拉梅常數。（4—33）

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續15）剪切彈性模量G，楊氏彈性模量E，泊松(Poisson)比三者間的關系為：（4—30）（4—33）當前第119頁\共有205頁\編于星期六\6點C．用球應力與應力偏量表示的廣義虎克定律：

（4—38）

此式說明各向同性彈性體的本構方程也可表示為：應變球張量與應力球張量成正比，應變偏張量與應力偏張量成正比。§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續16）若將式(4-31)中各彈性系數代人式(4-23)，即可得各向同性體的應變比能為：

（4—34）

當前第120頁\共有205頁\編于星期六\6點體積彈性模量K剪切彈性模量G>0

彈性模量E>0

拉梅常數λ>0

§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續17）泊桑比0<

<0.5當前第121頁\共有205頁\編于星期六\6點

例4—1當泊松比υ=0.5時，為什么表示材料不可壓縮性，即體積不變。此時的剪切彈性模量G與拉壓彈性模量E有什么關系？解：設υ=0.5，由式（4—38）第一式及式（4—37），所以，體積應變:說明材料體積不變，即材料有不可壓縮性。又由式（4—30），得:§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續18）當前第122頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-3彈性本構方程、彈性應變能函數（續19）

A、球應力（平均正應力）引起了單元體全部體變而不包括畸變；體變是彈性的。B、偏應力引起了單元體全部畸變而不包括體變。塑性變形僅是由應力偏量引起的。事實上，由于應力狀態中發生體變的球應力始終存在、發生彈性畸變的偏應力也始終存在，因此整個變形階段彈性變形是始終存在的。當應力超過屈服極限而發生塑性變形時，始終還伴隨著彈性變形，故而這個變形階段稱為彈塑性階段。上述的兩點討論有助于我們對塑性變形的研究，

★應力張量和應變張量分解的物理意義：當前第123頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件1、屈服函數:

判斷材料是處于彈性狀態還是已經進入到塑性狀態，進行這一判斷所依據的準則就稱為屈服條件，又稱塑性條件。當材料處于簡單應力狀態時，當應力達到屈服極限材料便處于塑性狀態。即便是對那些應力應變曲線上彈塑性階段分界不明顯的材料，也可采用屈服極限。當前第124頁\共有205頁\編于星期六\6點提出問題:在復雜應力狀態下材料的屈服條件如何確立呢？

一點的應力狀態通常是由六個獨立的應力分量所確定。作為判斷材料是否進入塑性狀態的標準，應該考慮到所有這些應力分量的貢獻。固體材料破壞的基本類型只有兩類：（1）材料屈服流動、強化，產生較大的塑性變形，最終導致剪切斷裂；（2）材料幾乎不產生塑性變形，就導致脆性斷裂；§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續1）當前第125頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續2)★

對于同一種材料，無論它處于何種應力狀態，當導致它產生某種破壞的這一共同的因素達到某一個極限值時，材料就會產生相應的破壞。★

因此，我們希望通過材料的簡單力學試驗來確定這個因素的極限值。★

人們根據材料破壞的現象，總結材料破壞的規律逐漸認識到：不管固體材料產生破壞（脆性斷裂或塑性屈服→剪切斷裂）的表面現象多么復雜，對應某種破壞形式都具有共同的某一決定強度的因素。當前第126頁\共有205頁\編于星期六\6點

現在的問題就是：考慮如何根據簡單受力狀態的試驗結果（上述極限值），去建立材料在復雜應力狀態下（即與所有的應力分量都相關的）判別材料變形狀態的關系——屈服條件。

在一般情況下，屈服條件與所考慮的應力狀態有關，或者說屈服條件是該點六個獨立的應力分量的函數，即為：（4—40）上式中的稱為屈服函數。

§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續3）當前第127頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續4）2、主應力空間：（4—41）

對于各向同性材料來說，坐標軸的轉動不應當影響材料的屈服。因而可以取三個應力主軸為坐標軸。此時，屈服函數式（4—40）可改寫為：若球應力狀態只引起彈性體積變化，而不影響材料的屈服。則可認為屈服函數為：（4—42）因此，屈服函數就轉化為用應力偏量表示的函數，而且可以在主應力所構成的空間，即主應力空間來討論。當前第128頁\共有205頁\編于星期六\6點

主應力空間是一個三維空間，物體中任意一點的應力狀態都可以用主應力空間中相應點的坐標矢量來表示，如圖所示。因此，我們在這一主應力空間內可以形象地給出屈服函數的幾何圖象，而直觀的幾何圖形將有助于我們對屈服面的認識。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續5）當前第129頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續6）⑴．球應力狀態：或稱靜水應力狀態，即應力偏量為零：

在主應力空間中，其軌跡是經過坐標原點并與三坐標軸夾角相同的等傾斜直線

on。

當前第130頁\共有205頁\編于星期六\6點

⑵．平均應力為零：即，應力偏量不等于零。在主應力空間中，它的軌跡是一個通過坐標原點并與on直線相垂直的平面，稱它為π平面。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續7）當前第131頁\共有205頁\編于星期六\6點⑶．應力偏量為常量：即為常數)。它在主應力空間中的軌跡是與on線平行但不經過坐標原點的直線L。⑷．平均應力為常量：即：（C為常量）。其在主應力空間的軌跡為一個與on直線正交但不通過坐標原點，也即和π平面相平行的平面。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續8）當前第132頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續9）在主應力空間中，坐標原點附近的彈性區是被塑性區包圍著的。作為彈性區與塑性區交界的曲面，稱之為屈服面。它是屈服條件式（4—41）在主應力空間中的軌跡。屈服面的概念是拉伸（或壓縮）應力應變曲線的屈服極限概念的推廣。當前第133頁\共有205頁\編于星期六\6點

若我們認為球應力（靜水壓力）狀態不影響材料的屈服，則上述屈服面必定是一個與坐標軸呈等傾斜的柱體表面，其母線垂直于平面。曲線C就稱為屈服曲線或屈服軌跡。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續10）當前第134頁\共有205頁\編于星期六\6點3、屈服曲線及其在π平面內的重要性質:

(2)．屈服曲線與任一從坐標原點出發的向徑必相交一次，且僅有一次。(3)．屈服曲線對三個坐標軸的正負方向均為對稱。(1)．屈服曲線是一條封閉曲線，而且坐標原點被包圍在內。(4)．屈服曲線對坐標原點為外凸曲線，也即屈服曲面為外凸曲面。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續11）當前第135頁\共有205頁\編于星期六\6點4.討論屈服曲線的可能位置：

一切滿足各向同性、不計包辛格效應、與球應力狀態無關、并且外凸等條件的可能的屈服軌跡一定位于正六邊形

ABCDEFA與之間。并且只有外凸的曲線才是可能的屈服軌跡。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續12）當前第136頁\共有205頁\編于星期六\6點5、常用屈服條件:

歷史上（從十九世紀中葉開始）曾經先后提出許多不同形式的屈服條件，如最大正應力條件（G.Galileo）、最大彈性應變條件（B.Saint—Venant）、彈性總能量條件（E.Beltrami）、最大剪應力條件（H.Tresca）、歪形能條件（R.VonMises）、Mohr條件（O.Mohr）、……等等。經過許多實驗檢驗，證明符合工程材料特征，又便于在工程中應用的常用屈服條件有以下兩種：§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續13）當前第137頁\共有205頁\編于星期六\6點（1）．Tresca屈服條件（最大剪應力條件）:1864年，法國工程師屈雷斯卡（H.Tresca）在作了一系列金屬擠壓實驗的基礎上，發現在變形的金屬表面有很細的痕紋，而這些痕紋的方向很接近于最大剪應力的方向，因此他認為金屬的塑性變形是由于剪切應力引起金屬中晶格滑移而形成的。(指絕對值)達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態。當

Tresca指出：在物體中，當最大剪應力(指絕對值)達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態。即：§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續14）（4—43）當前第138頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續15）（4—43）通過簡單受力狀態的試驗來測定。如采用單向拉伸試驗和純剪切試驗可測得：（4—48）（4—49）最大剪應力的假設和實驗結果比較一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca條件時，主應力的大小和次序應該知道，因為這樣才能求出最大剪切應力，使用Tresca條件是很方便的。當前第139頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續16）Tresca屈服條件在主應力空間中的幾何軌跡，相當于圖4-18(a)中所示正六角柱體。該柱體與平面的截跡如圖4-18(b)所示。該柱體與平面的截跡，則為一等邊等角的六邊形，如圖4-18(c)所示。當前第140頁\共有205頁\編于星期六\6點Tresca最大剪應力屈服條件忽略了中間主應力對材料屈服的貢獻，這是它的不足之處。德國力學家米塞斯（R.VonMises）注意到了這個問題。

§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續17）米塞斯（R.VonMises）（1913年）指出：在等傾面上，Tresca條件六邊形的六個頂點是由實驗得到的，但是連接六個頂點的直線段卻包含了假定（認為中間主應力不影響屈服），這種假定是否合適，需經實驗證明。當前第141頁\共有205頁\編于星期六\6點Mises認為：用一個圓來連接這六個頂點似乎更合理，并且可避免因曲線不光滑而造成的數學上的困難。因此，Mises屈服條件在主應力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖所示。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續18）當前第142頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續19）Mises屈服條件在主應力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖4-19(a)所示，該圓柱體垂直于正八面體斜面或平面。

當前第143頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續20）于是Mises提出了另一個屈服條件——畸變能條件，即認為當物體內某一點的應力狀態對應的畸變能達到某一極限數值k時，該點處材料便屈服。可推得畸變能密度公式為：故Mises條件可寫為：（4—52）（4—51）式中k為表征材料屈服特征的參數。當前第144頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續21）通過簡單受力狀態的試驗來測定k

。若采用單向拉伸試驗和純剪切試驗可測得：和則：（4—53）（4—54）當前第145頁\共有205頁\編于星期六\6點★Hencky認為：當韌性材料的形狀改變能密度達到一定數值k′時，材料便開始屈服。（4—55）

§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續22）故Mises條件也可寫為：當前第146頁\共有205頁\編于星期六\6點★

1937年納達依（A.Nadai）認為當八面體剪應力達到一定數值時，材料便開始屈服。即：（4—56）

★1952年諾沃日洛（В.Б.Новожипов）又對Mises條件的物理意義用剪應力的均方值給了又一個解釋。以上各種屈服條件的解釋雖然表達形式不同，但實際上它們之間是存在有內在聯系的。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續23）當前第147頁\共有205頁\編于星期六\6點6．Tresca屈服條件與Mises屈服條件的比較：通過實驗驗證：一般認為Mises條件比Tresca條件更符合實驗結果。而在實際使用中各有優缺點：Tresca條件是主應力分量的線性函數，因而對于已知主應力方向及主應力間的相對值的一類問題，是比較簡便的。而Mises條件則顯然復雜得多。但是從理論上講，最大剪應力條件忽略了中間主應力對屈服的影響，似有不足。而畸變能條件則克服了這一缺點。§4-4屈服函數、主應力空間、常用屈服條件（續24）當前第148頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-5巖土材料的變形模型與強度準則地質或采掘工程中的巖土、煤炭、土壤，結構工程中的混凝土、石料以及工業陶瓷等材料統稱為巖土材料。或抗拉強度極限實驗表明，當應力較低時，試件材料的內部裂隙被壓實，在這個階段（OA段），應力的數值增加不大，而壓縮應變較大；在內部裂隙被壓實之后，應力與應變呈現近似線性地增長，在這個階段（AB段）中，伴有體積變化，而B點的應力值稱為屈服強度。隨著應力的增加，材料的微裂紋也在不斷地發生與擴展，因此應力和應變之間表現出明顯的非線性增長，也表現一定的應變硬化特性（BC段），C點的應力值稱為強度極限（抗壓強度極限）。1、巖土材料的變形特征：當前第149頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續1）在C點附近，試件總的體積變化從收縮轉入擴脹，即材料出現宏觀裂紋，裂紋的擴展使得材料的變形不斷增加，而應力不斷下降，將這一階段（CD段）稱為應變軟化階段；DE階段則顯示出了材料的剩余強度。

綜上所述，可將巖土材料的應力應變曲線大體分為三段。第l階段（OABC）為應力應變非線性上升；第Ⅱ階段（CD）為應變軟化階段；第Ⅲ階段（DE）為剩余強度階段，在有些材料中并不出現該階段。通常在拉伸情況下，材料的應力應變曲線的變化規律與壓縮時相似，但表征各階段的應力和應變的數值與壓縮時有很大的差別。巖土材料的受壓強度比受拉時要高得多。當前第150頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續2）在巖石力學和土力學中，模擬三向受力狀態的試驗被稱為“三軸試驗”。三軸試驗中最常見的是模擬三向受力狀態的一種特殊情況，即在三個相互垂直方向上保持兩方向上的壓力值相等，而改變另一方向上的壓力的大小。這種試驗可以在三軸實驗機上完成，圖4-23為這種三軸實驗機的主體構造原理示意圖。一般圍壓愈低，材料屈服強度也愈低，應變軟化階段也愈明顯，隨著圍壓的增大，屈服強度增大，塑性性質也明顯增加。當前第151頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續3）一般圍壓愈低，材料屈服強度也愈低，應變軟化階段也愈明顯，隨著圍壓的增大，屈服強度增大，塑性性質也明顯增加。當前第152頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續4）另一種三軸試驗就是模擬三個相互垂直方向的壓力各自獨立變化。為了和上述三軸試驗相區別，通常稱之為“真三軸試驗”。真三軸試驗通常是在立方體巖石試件的三組相互正交對應的表面上，獨立地加載來進行的。試驗時要特別注意減小受載巖石試件表面上的摩擦，以使試件獲得三向受力狀態的良好近似值。可想而知，進行真三軸試驗要比三軸試驗復雜和困難得多，目前這方面還有許多問題有待解決。當前第153頁\共有205頁\編于星期六\6點§4-5巖土材料的變形模型與強度準則（續5）★通過以上討論和對大量巖土材料的試驗資料的分析，人們認識到，由于巖土材料組成上的不均勻性、缺陷以及有裂隙的分布，使得材料在受載過程中細微裂隙進一步擴展與運動，并導致材料的