在微積分運算中的應用1第一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二1.極限(1)對極限定義的認識練習1用下面的語句觀察數列的前100項變化情況n=1:100;a=n.^(n.^(-1))為了更清楚地觀察其是否收斂，讀者可將項數增大一些對于該數列，我們再用語句：plot(n,a,'.')畫出其散點圖，借助于圖形來觀察它的變化趨勢。2第二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二數列的散點圖從上圖可看出，這個數列似乎收斂于1.但如何說明它收斂于1，而不是收斂于大于1的某個數呢（由，若極限存在，則極限必不小于1）？設該數列收斂于A=1+u(u0),我們取u=10-2用程序來檢察接近的程度。3第三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二u=10^-2;A=1+u;m=5;n=2;an=sqrt(2);whileabs(an-A)>=10^-mn=n+1;an=n^(1/n);endfprintf('A=%3.2f,n=%3.0f,an=%3.0f,abs(an-A)=%8.7e\n',A,n,an,abs(an-A))結果為:A=1.01,n=651,an=1,abs(an-A)=1.3098309e-006這說明當=651，an=1.01時,an與1+10-2的距離小于10-5。4第四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(2)極限的計算在MATLAB軟件中可以直接用命令limit來求極限，其一般格式是:這里需要說明幾點1.上式求的是符號表達式F(x)當xa時的極限值，若要計算右極限或左極限，可在后指明趨向的方向；練習7試比較下面語句的區別.limit(exp(-1/x),x,0)limit(exp(-1/x),x,0,'right')limit(exp(-1/x),x,0,'left')2.在試圖求無窮振蕩點處的極限時，limit語句得到的是函數振蕩時可能的取值范圍；limit(F(x),x,a)5第五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二例1求下列函數的極限：clearF1=sym('atan(x)/x');F2=sym('((1+x)/(1-x))^(1/x)');F3=sym('(sqrt(1+x^2)-1)/(1-cos(x))');F4=sym('x*log(1+x)/sin(x^2)');F=[F1,F2,F3,F4]limit(F)ans=

[1,exp(2),1,1]6第六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二例2求函數的極限：clearsymsaFxF=(1+a/x)^xlimit(F,'x',inf,'left')ans=

exp(a)7第七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(3)一些數列的極限的討論設數列xn與yn由下式確定：xn與yn的極限存在嗎？8第八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二運行該程序可判斷出：xn與yn有極限，且這兩極限值是相等的。（x100=1.456791E+000,y100=1.456791E+000。

用MATLAB軟件編出如下程序進行觀察：xn=1;yn=2;forn=2:1:100xN=xn;yN=yn;xn=sqrt(xN*yN);yn=(xN+yN)/2;endfprintf('x100=%E,y100=%E\n',xn,yn)9第九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二2.導數與微分在MATLAB中由命令函數diff()來完成運算,其具體形式為：diff(function,'vaiaale',n)參數function為需要進行求導運算的函數,vaiaale為求導運算的獨立變量,n為求導的階數。10第十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(1)求導命令diff在MATLAB軟件中，可用語句diff(f(x),x)計算函數的導函數，當然在使用前需先將x定義成符號變量。若要求f(x)在x=a處的導數，可用subs命令，只要將x=a賦給上面的導函數便可得到。而命令diff(f(x),x,n)求的是函數f(x)對x的n階導函數。11第十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二例3求下列函數的導數clearsymsxy1y2y3y1=(cos(x))^3-cos(3*(x));y2=x*sin(x)*log(x);y3=(x*exp(x)-1)/sin(x);dy1=diff(y1)dy2=diff(y2)dy3=diff(y3)12第十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二dy1=

-3*cos(x)^2*sin(x)+3*sin(3*x)dy2=

sin(x)*log(x)+x*cos(x)*log(x)+sin(x)dy3=

(exp(x)+x*exp(x))/sin(x)-(x*exp(x)-1)/sin(x)^2*cos(x)pretty(dy3)exp(x)+xexp(x)(xexp(x)-1)cos(x)---------------------------------------sin(x)sin2(x)

13第十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxdiff(2*sqrt(x),x);x=2;f=1/x^(1/2)ans=

1/x^(1/2)f=0.707114第十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxy=1/(1-log(x));dy=diff(y,x,6)dy=

720/(1-log(x))^7/x^6-1800/(1-log(x))^6/x^6+2040/(1-log(x))^5/x^6-1350/(1-log(x))^4/x^6+548/(1-log(x))^3/x^6-120/(1-log(x))^2/x^615第十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(2)隱函數與由參數方程確定的函數的導數求隱函數的導數與由參數方程確定的函數的導數，需將求導命令與數學公式或方法結合起來，才能奏效！例5求由方程xy-ex+ey=0確定的函數y=f(x)的導數。與筆算的做法一樣，先在方程兩邊對變量求導，再從所得方程中解出即可。clearsymsxyf=(x*y-exp(x)+exp(y))-diff(f,x)/diff(f,y)運行之后可求出y'(x)。這兩個步驟分別可由以下語句完成：ans=

(-y+exp(x))/(x+exp(y))16第十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二由下面的語句可得所求的導數：yans=

sin(t)/(1-cos(t))結果為:17第十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二3.導數的應用(1)最值的計算a.直接用MATLAB語句計算MATLAB軟件中提供了求函數極小點的語句fminbnd(f,a,b)執行該語句將得到函數在區間[a,b]內的極小點.而語句fminsearch(f(x),x0)得到的是離x0最近的極小點.18第十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二要求函數的極大點，可以用命令fminsearch(-f(x),x0)這是因為函數-f(x)的極小點恰好就是函數f(x)的極大點．例7求函數y=2x3-6x2-18x+7的極值。解先作圖了解。clearx=-5:0.1:5;y=2*x.^3-6*x.^2-18*x+7;plot(x,y)19第十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二從圖上可知,函數y在區間[-5,5]上有極大值與極小值。f=inline('2*x.^3-6*x.^2-18*x+7');

pmin=fminbnd(f,-5,5)pmin=-5g=inline('-2*x.^3+6*x.^2+18*x-7');pmax=fminbnd(g,-5,5)pmax=5fprintf('%g,%g,%g,%g\n',pmin,f(pmin),pmax,f(pmax))-5,-303,5,17因5與-5皆在區間[-53，5]內，故所求的最大值為17，最小值為-303。20第二十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二b.利用導數計算由高等數學的知識可知，函數y=f(x)的駐點與一階不可導的孤立點可能是函數的極值點。若這些點的個數有限，我們只要比較這些點與區間端點、處的函數值，便能求出函數在[a,b]上的最大值與最小值了。clearsymsxy=2*x.^3-6*x.^2-18*x+7;

dy=diff(y)dy=

6*x^2-12*x-1821第二十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二Px=solve(dy)Px=

3-1ezplot(y)22第二十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二4.不定積分在MATLAB中由命令函數int()來完成積分運算,其具體形式為：int(function,vaiaale)參數function為需要進行求導運算的函數,vaiaale為積分變量。23第二十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxy=x^5+x^3-sqrt(x)/4y=

x^5+x^3-1/4*x^(1/2)int(y)ans=

1/6*x^6+1/4*x^4-1/6*x^(3/2)pretty(ans)pretty(ans)

643/21/6x+1/4x-1/6x24第二十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsx;y=sin(2*x)*sin(3*x)*sin(4*x)ans=

-1/20*cos(5*x)-1/12*cos(3*x)+1/36*cos(9*x)-1/4*cos(x)int(y)pretty(ans)-1/20cos(5x)-1/12cos(3x)+1/36cos(9x)-1/4cos(x)y=

sin(2*x)*sin(3*x)*sin(4*x)25第二十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二5.定積分在MATLAB中由命令函數int()來完成積分運算,其具體形式為：int(function,vaiaale,a,b)參數function為需要進行求導運算的函數,vaiaale為積分變量,a、b分別為積分下、上限。(1)用命令函數計算定積分26第二十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsx;y=(x*exp(x))/(1+x)^2ans=

1/2*exp(1)-1int(y,0,1)y=

x*exp(x)/(1+x)^227第二十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsx;y=1/(x^2+2*x+3);int(y,-inf,inf)ans=

1/2*pi*2^(1/2)28第二十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(2)由定義計算定積分在定積分的定義中，劃分積分區間的方法與在每個小區間上取的點都是任意的，求積分和極限時要求每個小區間長度的最大值趨向于0，這些都給我們直接由定義來驗證一個定積分是否存在帶來了很大的困難。現在我們借助于計算機，按照定義的要求，對積分和的極限作近似計算，根據結果對定積分是否存在作出判斷。下面以積分為例來說明這個問題：a.首先在區間[0,1]中插入n-1個分點，為使分點任意，可用能產生隨機數的函數rand()。b.為保證分割加細時，各小區間的長度趨于0，在取分點時，讓相鄰兩分點間的距離小于2/n。29第二十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二在下列給出的程序中分點取為因0≤ui≤1,故c.其次在每個小區間[xi-1,xi](i=1,2,…n)上任取一點i，為使i具有任意性，我們同樣利用函數rand()來實現，30第三十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二為了提高精確度，我們讓分點不斷增多反復進行計算。計算程序如下：clearallf=inline('x^2');a=0;b=1;n=20;%n為分割成的小區間個數,初始值取為20x=[];x(1)=a;fork=1:6x(n+1)=b;s=0;fori=1:n-1x(i+1)=(i+rand())*(b-a)/n;%取區間的分割點end31第三十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二fori=1:ndxi=x(i+1)-x(i);%計算第i個區間的長度c=x(i)+dxi*rand();%在第i個區間上任取一點s=s+f(c)*dxi;%逐步求積分和endfprintf('n=%g,s=%g\n',n,s);n=n*2;end程序中分割小區間的個數n的初值取為20，然后每循環一次放大一倍，共放大了5次。程序運行結果為：這樣做的目的是為了盡快獲得結果，當然我們也可取其它的值作為的初值，也可以用其它的方式讓增大。32第三十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二n=20,s=0.340088n=40,s=0.335021n=80,s=0.333965n=160,s=0.333266n=320,s=0.333431n=640,s=0.333373由分割的任意性及i的任意性，我們有理由認為,即使n固定，每次運行該程序所得的結果也很可能是不同的。事實上，在實驗時得到了下表33第三十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二第1次第2次第3次第4次第5次200.3318340.3310790.3346160.3270940.337772400.333490.3328930.3333720.3327080.333732800.334510.3333370.3334970.3332840.3326611600.3334730.3330610.3333940.333430.3331243200.3333460.3334620.3332340.3334690.3333786400.3333270.3333650.3333430.3333590.333333表中任何兩個數據都不完全相同，但可看出它們間的差異不是很大，特別是最后一行當n=640時，5次運行的結果前4位有效數字是一樣的，故我們猜測：34第三十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(3)從圖形觀察積分和與定積分的關系從圖形上來觀察隨著分割點的增多，積分和是否越來越接近定積分的值。下面以積分為例來說明：35第三十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearxab;f=inline('sin(x)');a=0;b=pi/2;n=0;symsx;axismanual;set(gca,'nextplot','replacechildren');forj=3:20:103n=j;t(1)=a;t(n+1)=b; fori=1:n-1t(i+1)=(i+rand())*(b-a)/n;end ezplot(f(x),[a,b]);holdon

36第三十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二fori=1:nc=t(i)+(t(i+1)-t(i))*rand(); bar([(t(i)+t(i+1))/2,(t(i+1)+t(i))/2],[f(c),f(c)],t(i+1)-t(i)); endtext(1,1,[num2str(j),'個分割點']);M(:,(j-3)/20+1)=getframe;holdoff;endmovie(M,10)37第三十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二選擇特殊的n值，將上面程序略加修改后，可得到如下圖形：積分和38第三十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二圖中陰影部分為積分和，從圖中可看出在分割點為20時，陰影部分的上邊界還很粗糙；當分割點為80時該邊界已比較光滑，若再增加分割點的個數；當分割點為640時，已很難看出該邊界與曲線有什么地方不一樣了，這說明此時用積分和近似定積分產生的誤差已非常小。39第三十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二當定積分存在時，所有任取的積分和在趨向于0時的極限都相同，此時可以選擇較簡單的劃分與簡單的i，一般的做法是將區間等分，且讓小區間的某端點作為i(i=1,2,…n),這樣積分和便成為或對于連續函數的定積分，用這兩個式子來近似計算是比較簡單的。在數值計算中，稱用上兩式近似定積分的方法為矩形法，這是因為這兩個式子在幾何上表示一些矩形面積的和。40第四十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(4)定積分近似計算的梯形法在近似計算中也常用式子近似計算定積分。該式是上兩式的的平均。它在幾何上表示一些梯形面積的和，故它被稱為近似計算定積分的梯形法。41第四十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二例13

用梯形法近似計算定積分解

我們知道f(x)=ex在[0,1]上連續,所以定積分存在。現將區間[0,1]均分為等分，由梯形公式得：利用此式，編程如下：42第四十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二f=inline('exp(x)');a=0;b=1;s0=1;s1=0;n=20;m=6;whileabs(s0-s1)>10^-ms1=s0;i=1:n;s0=sum((f(a+(i-1)*(b-a)/n)*(b-a)/n+f(a+i*(b-a)/n)*(b-a)/n)/2);n=n*2;endfprintf('%s%s%g\n','exp(x)','在[0,1]上的積分約為',s0)運行結果為：exp(x)在[0,1]上的積分約為1.71828。上面的數據1.71828除了整數位外，小數部分的前5位與的前5位完全一樣。43第四十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二(5)定積分近似計算的MonteCarlo方法設函數f(x)定義在區間[a,b]上，當axb時有0f(x)H，其中H是某個非負數（如圖）。今向圖中的矩形內隨機投點，對于位于曲線y=f(x)下方的圖形，其面積的一種合理估計應該是矩形的面積乘以落在該圖形內的隨機點個數占總隨機點數的百分比，即：其中，為m隨機點總數，s是落在位于曲線y=f(x)下方的圖形中的隨機點個數。上面的結論意味著下式成立：44第四十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二作為例子，我們用上面的方法來求定積分為此，編程如下：a=0;b=1;m=1000;s=0;H=exp(1);%s設置為落在曲邊梯形內的點數fori=1:mxi=rand();yi=H*rand();ifyi<exp(xi)s=s+1;end%如果隨機點落在曲邊梯形內,s增加1endfprintf('%s%g\n','exp(x)在[0,1]上的積分約等于',H*(b-a)*s/m)exp(x)在[0,1]上的積分約等于1.75601。45第四十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二6.多元函數的極限與求導在MATLAB中多元函數求極限、求導仍分別由命令函數limit()、diff()來完成運算。還有命令函數Jacobian()求偏導。46第四十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxy;f=(1-x*y)/(x^2+y^2);fx=limit(f,'x',0);fxy=limit(fx,'y',1)fxy=

147第四十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxy;F=atan(y/x)-log(sqrt(x^2+y^2));diff(F,'x')ans=

-y/x^2/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*xans=

1/x/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*ydiff(F,'y')48第四十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二此例使用Jacobian求偏導可能更方便。clearsymsxy;z=atan(y/x)-log(sqrt(x^2+y^2));dxy=jacobian(z)dxy=

[-y/x^2/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*x,1/x/(1+y^2/x^2)-1/(x^2+y^2)*y]49第四十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;F=x^2+y^2+z^2-4*zF=

x^2+y^2+z^2-4*zFx=diff(F,'x')Fx=

2*x50第五十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二Fz=diff(F,'z')Fz=

2*z-4G=-Fx/FzG=

-2*x/(2*z-4)51第五十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二在MATLAB的符號運算中，用命令Jacobian(f,v)來計算梯度。7.梯度計算與方向導數例17

已知函數求梯度gradf（(1,-1,2)）。clearsymsxyzf=x^2+y^2+z^2;gr=jacobian(f)gf=subs(subs(subs(gr,1),-1),2)gf=2-2452第五十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二數值運算中，我們仍然可以用命令diff()對數據矩陣進行梯度向量的計算，但是我們常用的命令gradient(),其格式如下：Fx=gradient(F)[Fx,Fy]=gradient(F)[Fx,Fy,Fz]=gradient(F)分別用來求一維、二維與多維向量F的數值梯度。53第五十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz=x^2+y^2;dxy=jacobian(z)dxy=

[2*x,2*y]54第五十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearx=[-1:0.1:1];[X,Y]=meshgrid(x);%生成三維圖形的x,y坐標矩陣Z=X.^2+Y.^2;%計算z坐標矩陣[DX,DY]=gradient(Z);%y計算矩陣Z的梯度向量subplot(2,1,1);%生成第一個繪圖區間mesh(Z);%繪制z=x2+y2的三維網線圖

subplot(2,1,2);%生成第二個繪圖區間Quiver(DX,DY);%繪出矩陣Z的二維向量場55第五十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二方向導數顯示了函數在某點沿著某個方向上的變化率，而模取得最大值的方向導數就是該點的梯度。函數在某點沿著某個方向上的方向導數等于在這點的梯度和沿該方向的單位向量的數量積。設某個方向上的單位向量為v,則方向導數為：Jacobian(f)?v56第五十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxy;z=x*exp(2*y);v=[sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2]；dxy=jacobian(z)；%計算梯度dxy=

[exp(2*y),2*x*exp(2*y)]57第五十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二T=dot(dxy,v)%計算數量積T=

1/2*exp(2*conj(y))*2^(1/2)-conj(x*exp(2*y))*2^(1/2)subs(subs(T,'x',1),'y',0)ans=-0.707158第五十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二8.多元函數的極值要使用MATLAB解決多元函數的極值問題，首先需要明確“充分條件定理”。設z=f(x,y)在點（x0,y0）的某個鄰域內連續且有一階二階連續偏導數，又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),則有：。（1）當AC-B2>0時有極值，且A<0時有極大值，A>0時有極小值（2）當AC-B2<0時沒有極值（3）當AC-B2=0時極值不確定，需要具體討論。59第五十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;F=jacobian(f);

%計算梯度F=

[3*x^2+6*x-9,-3*y^2+6*y][X,Y]=solve(F(1),x,F(2),y);%求駐點60第六十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二X=

1-31-3

Y=

0022[X,Y]=solve(F(1),x,F(2),y);%求駐點61第六十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二dxx=diff(F(1));%計算Fxx(x,y)dxx=

6*x+6dyy=diff(F(2));%計算Fyy(x,y)dyy=

-6*y+6dxy=diff(F(1),y);%計算Fxy(x,y)dxy=

062第六十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二例題分析：一共四個駐點：(-3,0),(-3,2),(1,0),(1,2)（1）在駐點(-3,0)處，A=-12，B=0，C=6，AC-B2=-72<0，所以此點不是極值點。（2）在駐點(-3,2)處，A=-12，B=0，C=-6，AC-B2=72<0，所以此點是極大值點。（3）在駐點(1,0)處，A=12，B=0，C=6，AC-B2=72<0，所以此點是極小值點。（4）在駐點(1,2)處，A=12，B=0，C=-6，AC-B2=-72<0，所以此點不是極值點。63第六十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二9.重積分64第六十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;f=z;A1=int(int(int(f,z,x^2+y^2,2),y,0,sqrt(2-x^2)),x,0,sqrt(2));A1=

2/3*piA2=int(int(int(f,z,x^2+y^2,1),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1);A2=

1/12*piA1-A2ans=

7/12*pi65第六十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二10.曲線積分與曲面積分66第六十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsabxyt;x=a*cos(t);y=b*sin(t);dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);dx=

-a*sin(t)dy=

b*cos(t)67第六十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二ds=sqrt(dx^2+dy^2);f=x*y;ds=

(a^2*sin(t)^2+b^2*cos(t)^2)^(1/2)I=int(f*ds,t,0,pi/2)f=

a*cos(t)*b*sin(t)I=

1/3*a*b*((a^2)^(1/2)*a^2-(b^2)^(1/2)*b^2)/(a^2-b^2)

68第六十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二69第六十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二symsthr;symsapositive;y=(a*r)/(a^2-r^2);I=int(int(y,r,0,sqrt(a^2-(a/2)^2)),th,0,2*pi)I=

2*a*log(2)*pi70第七十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsxyz;z=sqrt(1-x^2-y^2);f=x*y*z;z=

(1-x^2-y^2)^(1/2)f=

x*y*(1-x^2-y^2)^(1/2)71第七十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二I=int(int(f,y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)I=

1/1572第七十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsaxy;y=sqrt(a*x-x^2);dyx=diff(y,x);f=x^2+y^2+4*x*y*dyx;dyx=

1/2/(a*x-x^2)^(1/2)*(a-2*x)f=

a*x+2*x*(a-2*x)73第七十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二I=int(f,x,0,a)I=

1/6*a^374第七十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二11.數項級數的求和與收斂展開MATLAB符號工具箱給我們提供了功能強大的級數求和的命令函數symsum(),其格式如下：symsum(function,vaiaale,a,b)Function為級數的通項表達式,vaiaale用來聲明通項中的求和變量,a和b分別為求和變量的起始點與終止點。75第七十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsn;f1=(2*n-1)/2^n;f2=1/(n*(2*n+1));I1=symsum(f1,n,1,inf);I2=symsum(f2,n,1,inf)I1=

3I2=

2-2*log(2)76第七十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsnx;f1=1/n;f2=sqrt(n+1)-sqrt(n);I2=symsum(f2,n,1,inf);MATLAB計算不出結果，因此無法斷定其斂散性。I1=

InfI1=symsum(f1,n,1,inf);I2=

sum((n+1)^(1/2)-n^(1/2),n=1..Inf)級數發散。77第七十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsnx;f1=sin(x)/n^2;f2=(-1)^(n-1)*x^n/n;f3=1/n;I2=symsum(f2,n,1,inf);I2=

log(x+1)I1=

1/6*sin(x)*pi^2I1=symsum(f1,n,1,inf);78第七十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二然而，正如我們看到的那樣，用symsum語句得不到冪級數的收斂半徑和收斂區間。要求一個冪級數的收斂半徑和收斂區間，我們可以象手算那樣根據有關結論去求，也可以用計算機做些數值實驗來判斷。79第七十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二12.泰勒級數展開對冪級數來說，除了要會求冪級數的和函數外，還存在著將函數展開為冪級數的問題，其目的就是求一個冪級數收斂到已知的函數，這等價于用一系列多項式逼近已知函數。在MATLAB中泰勒級數展開由命令函數taylor(),其格式如下：taylor(function,n,vaiaale,a)Function為待展開函數表達式,n為展開階數，缺省是6階。Vaiaale為聲明function中的變量,a為變量求導的取值點，缺省為0,即麥克勞林級數展開。80第八十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsx;f=1/(1+x^2);taylor(f);taylor(f,20)%20階麥克勞林級數ans=

1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^10+x^12-x^14+x^16-x^18ans=

1-x^2+x^481第八十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二clearsymsx;f=1/(x^2+4*x+3);taylor(f,10,x,1);ans=

7/32-3/32*x+7/128*(x-1)^2-15/512*(x-1)^3+31/2048*(x-1)^4-63/8192*(x-1)^5+127/32768*(x-1)^6-255/131072*(x-1)^7+511/524288*(x-1)^8-1023/2097152*(x-1)^982第八十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二pretty(ans)

21533147/32-3/32x+7/128(x-1)----(x-1)+----(x-1)5122048635127625575118-----(x-1)+-----(x-1)-------(x-1)+------(x-1)81923276813107252428810239--------(x-1)2097152pretty(ans)83第八十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二下面我們從圖形上來觀察多項式逼近函數的過程，以函數f(x)=sinx為例：13.函數逼近symsx;f=inline('sin(x)');g=0;fori=0:10s=diff(f(x),x,i);s1=subs(s,x,0);g=g+s1*x^i/prod(1:i);ifi==1|i==4|i==7|i==10subplot(2,2,1+(i-1)/3);ezplot(f(x),[0,2*pi]);holdon;84第八十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二ezplot(g,[0,2*pi]);axis([0,6,-4,4]);title(i);endendholdoff85第八十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二圖中變動的曲線依次為的1、5、8、10階Taylor多項式的圖形，我們看到：階數越高，Taylor多項式與其函數之間的差異越小。對于連續函數f(x)，在某個閉區間內，能不能找到一個近似程度既好、階數又不是很高的多項式呢？在這里，我們作一些討論：如何尋找函數的最佳一次逼近多項式。在這里，我們作一些討論：如何尋找函數的最佳一次逼近多項式。這說明，在Taylor級數的收斂區間內，要取到函數的比較滿意的近似值，選取的部分和階數必須足夠的高。86第八十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二最佳一次逼近多項式用多項式逼近函數，當次數固定時，存在著最佳逼近多項式，所謂最佳，就是產生的誤差最小，而誤差通常是指最大偏差。具體如下：設f(x)C(a,b)(C(a,b)表示[a,b]區間上連續函數的集合）,則在[a,b]上以多項式Pn(x)代替函數f(x)產生的最大偏差為。在上面這種意義下的最佳逼近多項式稱為最佳一致逼近多項式，一般而言，Taylor多項式非最佳一致逼近多項式。87第八十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二在理論上，若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在該區間內存在唯一一個次最佳一致逼近多項式，但是，要求出的次最佳一致逼近多項式卻非常困難．下面我們僅討論當f''(x)在(a,b)內不變號時，如何確定其最佳一次逼近多項式。我們知道，當f''(x)在(a,b)內時，在[a,b]上的圖形是一段凹弧或一段凸弧，不妨假設其為凹弧。現連接兩個端點M、N，得線段MN，它所在的直線方程為：88第八十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二因弧段y=f(x)在[a,b])上光滑，而f(x)的二階導數不變號，故在該弧段內存在唯一的一點C(x2,f(x2)，此點到線段MN的距離最遠。所以，此x2一定也是函數在[a,b]上的最大值點，因而有這說明弧段在C處的切線平行于MN。89第八十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二今讓直線M1N1平行MN及l,并位于MN與l的正中間，則該直線位于區間[a,b]內的部分M1N1就是所要求的最佳一次逼近多項式函數的圖形。對于位于[a,b]區間內的任意其他的直線段M2N2，下面就M2N2的不同位置來說明上述結論。90第九十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二1.若M2N2平行M1N1(如圖)，顯然有最佳一次逼近(之一)91第九十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二最佳一次逼近（之二）2.若M2N2與M1N1相交(如圖6.4)，且交點在(a,b)內，則其兩個端點M2、N2中，總有一個位于對應端點M1,N1的下方，故也有92第九十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二最佳一次逼近（之三）3.若M2N2與M1N1相交(如圖6.4)，且交點不在(a,b)內，可直接看出上式是成立的。93第九十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二現在，我們來求M1N1所在的直線方程，由前面的討論知，直線的方程為而MN的方程(6.5)即為94第九十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期二因M2N2平行M1N1與l(如圖)，且位