指向核心素養培養的數學問題鏈教學目錄一、數學核心素養培養的意義與價值二、數學問題鏈教學的理性認識三、數學問題鏈教學實踐案例四、基于數學問題鏈的教學課例實證探索一、數學核心素養培養的意義與價值（一）回應時代的變化需求知識經濟、信息化時代對教育提出的新挑戰知識高更新率與高折舊率并存教育場域的泛在性喬.博勒（斯坦福教授）：現在和將來的社會已經不再需要快速演算的勞動者了，我們歡迎的是以下這些人：對自己的數學能力充滿自信；有能力開發數學模型以對社會生活某個領域的發展趨勢進行預測；善于進行數學推理、交流、闡述理由、解決問題的人。知識——能力——素養標準差：求標準差（知識）除學會外，會學、樂學變得越來越重要一、數學核心素養培養的意義與價值（一）時代的發展對人的素養提出了新要求知識經濟、信息化時代對教育提出的新挑戰知識高更新率與高折舊率并存教育場域的泛在性除學會外，會學、樂學變得越來越重要數學學習力（唐恒鈞，張維忠，陳碧芬，2016）：學會（知識與經驗層面）——會學（思維與方法層面）——樂學（興趣與價值層面）學會數學——會學數學——會經由數學學會思考我該吃什么您正和四個朋友坐在朋友家客廳聊天，主人泡了一壺茶，并拿出了一盤水果。水果共5個，其中有胡柚4個，桔子1個。并且您猜想大多數的朋友是喜歡吃胡柚的，我也喜歡！我該吃什么？數學的解釋我們假設有80%的人在胡柚和桔子之間會選擇胡柚。那么當第一個人吃胡柚時，剩下的四個人都會選胡柚的機會只有0.8*0.8*0.8*0.8，大約為40%，所以不好意思的感覺會比較少；而當第二個人吃胡柚時，剩下的三個人都會選胡柚的機會為0.8*0.8*0.8，接近50%，不好意思的感覺上升了一些；當第三個人吃胡柚時，剩下的兩個人都會選胡柚的機會為0.8*0.8，大約為65%，不好意思的感覺又強了一些；但當第四個人吃胡柚時，剩下的那個人會選胡柚的機會將上升到80%，不好意思的感覺就非常強了。

一、數學核心素養培養的意義與價值（二）對我國數學教育的反思學生在PISA、IMO中的卓越表現；學生的數學學習還是存在一些缺陷：學生在解決常規數學問題上有優勢，但在解決更富挑戰性的數學問題上并無優勢（范良火,朱雁，2005）；2013年新浪網發起的關于“數學是否應該滾出高考”的調查中，13萬網友參與調查，77%的網友投贊成票（南方周末，2013）什么樣的數學與數學教育是重要的？（唐恒鈞，張維忠,佘偉忠，課程教材教法，2016）21世紀以來的數學課程改革(2001-now)需要取得五大平衡(顧泠沅,易凌峰,聶必凱,2003)大量練習與理解具體多樣化與本質不變性指導與自我探索說明性地解釋與探究性的練習邏輯推理與歸納綜合如何適應現有教與學傳統的同時，推進教學改革，以更好地體現數學教學中各個對立面間的平衡？特別是高中數學課堂上，如何在教師指導下促進學生的自我探索，在探究性的練習中建構知識、積累經驗、體驗思想？數學課程標準中關于教與學方式的理念義務教育數學課程標準（實驗稿）（2001）：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性,向學生提供充分從事數學活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法,獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人,教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。其中的關鍵點：目標：四基；教學基礎：學生認知發展水平及已有知識經驗基礎；途徑：學生從事數學活動的機會、自主探索、合作交流師生關系：學生主體、教師為組織者、引導者與合作者。數學課程標準中關于教與學方式的理念義務教育數學課程標準（2011版）：教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。

數學課程標準中關于教與學方式的理念其中的關鍵點：目標：除四基外，興趣、積極性、數學學習習慣和學習方法；教與學活動基本認識：教學活動：積極參與、交往互動、共同發展學習活動：生動活潑、主動和富有個性教學基礎：學生認知基礎與已有的知識經驗；教學途徑：除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流；經歷做數學的全過程：觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證師生關系：教師主導&學生主體——講授&自主學習數學課程標準中關于教與學方式的理念普通高中數學課程標準（2006版）：倡導積極主動、勇于探索的學習方式。學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。同時，高中數學課程設立“數學探究”“數學建模”等學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造有利的條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣。高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識

。數學課程標準中關于教與學方式的理念普通高中數學課程標準（2017版）：把握數學本質，啟發思考，改進教學。高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性。不斷引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。關鍵點：目標：三維目標——數學核心素養（三會）途徑：接受、記憶、模仿和練習，自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學（2006）；獨立思考、自主學習、合作交流、信息技術的支持（2017）師生關系：教師引導下的數學再創造數學課程標準中關于教與學方式的理念目標：雙基—四基、四能、三維目標—學科核心素養（三會）；教與學特點：積極參與、交往互動、富有個性；倡導的途徑：講授&自主、探究、合作；做數學的全過程；師生關系：教師主導&學生主體——經歷教師引導下的數學再創造過程。課堂教學的改變比數學課程改革慢許多，也困難許多!數學教學及其改革是一種文化實踐(Stigler,&Hiebert1999).數學課堂教學的現狀盡管課程改革實驗區學生的學習成績不低于甚至好于非實驗區，但學生的學習方式依然以記憶和練習為主。(劉堅,2013);超過1/3的受訪教師教學主要采用“講授為主，講練結合”的方式，且分別有53.5%和65.2%的小學、初中受訪數學教師完全同意或基本同意“新課程倡導的學習方法（自主學習、合作學習、探究學習）會流于形式”(陳碧芬,張維忠,唐恒鈞,

2011);針對高中數學課程標準的實驗情況進行了全國性調研，表明盡管受訪者大都認同課程標準的基本理念和目標，但理念與目標的落實較為困難(王建磐,2013);

44.8%的高中受訪教師不注重新課程改革后教學方式的改變(李保臻,王偉銓,

2013)課堂教學的改變比數學課程改革慢許多，也困難許多!數學教學及其改革是一種文化實踐(Stigler,&Hiebert1999).課堂教學的改變比數學課程改革慢許多，也困難許多!數學教學及其改革是一種文化實踐(Stigler,&Hiebert1999).目前，考試成績仍然是社會對學校、數學教師最為主要的評價手段。因此，當教師認為并且實踐證明講授+練習的方式可以獲得高分的情況下，老師們在內心仍然愿意用這種方法，而不太關心教學方式的改革。二、數學問題鏈教學的理性認識

“問題鏈”是指在教師在課外預設，課堂上以多種方式呈現的、有序的主干問題序列。“問題鏈”教學為學生提供思考的問題，在內容上可以引導學生獲得較為深入的數學。問題與問題之間的跨度為學生多樣的思維與探索提供了可能性。（一）關于數學的基本認識（二）關于數學教學的基本認識（三）關于好的數學任務與數學問題的認識（四）數學問題鏈設計與實施的基本原則與方法請各位老師在自己的筆記本上回答以下問題當聽到“數學”這個詞時，您腦中首先浮現的是什么？您認為數學是被“發現”的，還是被“發明”的？為什么？您認為數學學習中最重要的是學習什么？為什么？您認為最有效的數學教學方法是什么？為什么？（一）關于數學的基本認識（數學觀）不同的數學觀念會導至不同的教學方式

(Skemp,2006).教師的數學觀念:問題解決、柏拉圖主義、工具主義

(Ernest,1991).黃毅英等,2002;蔡金法等,2009數學被視為人類的一項創造性活動，這些活動由多樣的數學問題所驅動，是研究現實世界與可能世界數量關系與空間形式的（數學）模式。強調一些特征:數學模式與建模過程；結構性的結論與過程性的情境數學主題三種關聯/數學推理四種思維教學:教學節奏是先慢后快的；學生的探索空間是先小后大的。不是所有的數學新知識需要作為新知識來教數學教學的典型特點：(紹光華等,2013;唐恒鈞等,2013;蔡金法等,

2009):新舊知識的關聯;累積性學習;

記憶通向理解，注重練習.一個典型的問題：學生會解一些題，但卻不知道為什么用這種方法解決這一問題，也不知道這個方法本身是如何想到的.面對問題，如何選擇適合的知識與方法，或如何建構新的知識與方法來解決這一問題，這是非常重要的能力。但這樣的能力靠“教”，效果是不好的，而要讓學生自己的經歷。一節有數學思維含量的數學課不一定是熱熱鬧鬧的，但一定是會為學生提供冷靜思考的時間與充分表達的機會。（二）關于數學教學的基本認識（數學教學觀）記憶型任務

包括對已學過的事實、法則、公式以及定義的記憶重現或者把事實、法則、公式和定義納入記憶系統。

這種任務包括對先前見過的材料的準確再現以及再現的內容可以明白而直接地陳述。

與隱含于已學過的或再現的事實的意義或概念無任何聯系。無聯系的程序型

成功完成任務需要的認知要求有限，對于應做什么和如何做幾乎是一目了然。

與隱含于程序之中的意義或概念無任何聯系。

更強調得出正確答案而不是發展對學科的理解。

不需要解釋或需要的解釋僅僅是對解題程序的描述。（三）關于好的數學問題（任務）的基本認識（Smith

&

Stein，1998）

有聯系的程序型

暗示有一條路徑可以遵循（顯性地或隱性地），這種路徑即是與隱含的觀念有密切聯系的、明晰的、一般性程序。

常用的呈現方式有多種（如可視圖表、學具、符號、問題情景）。在多種表現之間建立起有助于發展意義理解的聯系。

需要某種程度的認知努力。盡管有一般的程序可資遵循，但卻不能不加考慮地應用。為了成功完成任務和發展學科的理解，學生需要參與存在于這些程序中的觀念。做數學

需要復雜、非算法化的思維（即任務、任務講解、或已完成的例子沒有明顯建議一個可預料的、預演好的方法或路徑可借鑒）。

要求學生探索和理解學科、過程和關系的本質。

要求對自己的認知過程自我調控。

要求學生啟用相關知識和經驗，并在任務完成過程中恰當使用。

要求學生分析任務并積極檢查對可能的問題解決策略和解法起限制作用的因素。

需要相當大的認知努力，也許由于解決策略不可預期的性質，學生還會有某種程度的焦慮。數學任務分析—保持和降低高認知要求的因素

保持高認知要求的因素

給學生的思維和推理“搭腳手架”。

提供學生監控自己思維過程的方法。

教師或有能力的學生示范高水平的解答行為。

教師提問、評論或反饋以維持對解釋或意義的強調。

任務建立在學生已有的知識基礎上。

教師頻繁在概念之間建立聯系。

適當的探索時間（既不多也不少）。數學任務分析—保持和降低高認知要求的因素

降低高認知要求的因素

任務的問題方面已常規化（如學生迫切要求教師詳細指明操作程序或步驟，以降低任務的復雜程度；教師“包辦”學生的思維和推理，并告訴他們如何解答）。教師把重點從意義、概念、理解轉移到答案的正確性和完整性方面。沒有提供足夠時間讓學生去完成任務具有挑戰性的方面，或時間過多，學生們干起了與任務無關的事。課堂管理問題阻礙了學生持續參與高要求的認知活動。給予既定小組的任務不恰當（如，學生由于缺少興趣、動機或所需的已有知識而未參與到高認知要求的認知活動中；任務指向不明確，學生不能進入正確的認知空間）。學生對高水平結果或過程不必負有責任（如盡管教師要求學生解釋他們的思考過程，

但對學生不清晰或不正確的解釋卻加以接受；給予學生一種印象，即他們的工作不算是上到一個等級）。一節擁有高認知參與的數學課的數學任務（問題）往往是：情境性的——思考具有脈絡性，而非天馬行空；（半）開放性的——問題具有可探究性，而非一目了然；延展性的——問題之間應具有關聯性，而非散亂的。如何讓問題之間具有關聯？數學方法論可以為此提供依據：正向思維：一般化、特殊化、類比；逆向思維：化歸、條件與結論的（部分）互換；悖向思維；數學問題鏈的構建不僅要為學生提供高水平的數學內容，同時又展現問題鏈背后的數學思維與方法。（四）數學問題鏈設計與實施的原則與方法數學問題鏈設計的基本原則：指向數學并提供高水平的數學內容；問題之間關系要展現思考的合理脈絡；問題之間要提供思考跨度。數學問題鏈構建的步驟：教學重難點、關鍵點分析（與其他教學設計相同）；尋找所要教的教學主題與其他教學主題間的關系，并確定本節課的教學聯結點（三種關聯方式）；從數學知識結構角度構建核心問題；根據學生的認知特點，調整、補充核心問題鏈，形成教學設計中的數學問題鏈（三種功能、四個基本關系），并在課堂上引導學生探索性地學習。三、基于數學問題鏈的探究教學案例

三、基于數學問題鏈的探究教學案例

三、基于數學問題鏈的探究教學案例

陳碧文，數系的擴充與復數的概念，寧波，2019-3-15余晨光，等比數列概念，寧波，2019-3-15導入性問題：正三角形ABC內任意一點D，D到三邊的距離和有什么特點。（唐恒鈞，2004）▼學生可能有的解法：◆解法1：憑經驗猜測；◆解法2：利用計算機實驗；◆解法3：面積法。一般化思維：從特殊到一般探究性問題：還有哪些幾何體也有這種特點？●用正方形取代三角形，結果又如何？

▼學生除了上面3種方法還適用外，還可能有如圖的解法4。P還有什么樣的多邊形或多面體有如上性質，為什么？▼學生可能有的解法：◆原來用解法1或解法2的學生：正多邊形；◆原來用解法3的學生：正多邊形、正多面體、各側面面積相等的多面體。◆原來用解法4的學生：平行四邊形、對邊互相平行的六邊形、平行六面體等。特殊化思維：從一般到特殊一個數學游戲：3-6-9（徐元根等，2018）游戲規則：甲、乙兩人玩一種游戲：現有3列撲克牌，第1列3張，第2列6張，第3列9張。兩人依次輪流從中取走若干張撲克牌，每次只能在其中一列中取，至少取1張，至多取完該列的所有撲克牌。取到最后1張牌者為輸。問題：若甲先取牌，如何保證自己必贏？

特殊法：比如甲先將第3列的9張牌取完，即：甲（3,6,0）；乙：（3，3，0）……無解模式：只要給對方留下：（0,0,1），（0,2,2），（0,3,3）……甚至（0,n,n）(n是大于1的自然數)，都可以使對方必敗無疑，這里稱為己方的無解模式。逆推：還有哪些無解模式？（1,1,1）；（1,2,3）；（1,4,5）（2,4,6）；（3,5,6），（1,6,7），（2,5,7），（3,4,7）問題轉化：甲方只要通過取一定的牌，使（3，6，9）轉化為某個無解模式即可。唯一性：除此之外是否還有其它的取勝之道？一般化：無解模式有什么特殊性？（0,0,1）；（0，n，n）（1,1,1）；（1,2,3）；（1,4,5）（2,4,6）；（3,5,6），（1,6,7），（2,5,7），（3,4,7）平面向量的數量積（高三一輪復習）四、基于數學問題鏈的教學課例實證探索

（唐恒鈞等，2018）（一）研究問題：教師如何理解、設計數學課堂中的問題鏈，又如何實施的？問題鏈是否能為學生提供思考的空間，又能在數學上達到較高的水平？（二）研究對象和研究過程第一天介紹關討論QC的基本理念

師資培訓工程

學校數學教學改革項目(SERP)(17位教師)第二天教學設計

專家教師(ST)新手教師(NT)志愿者第三天文科班理科班

實施、觀察、討論NT/ST說課集體討論(1)教學設計的整體思路是什么?(2)整個問題鏈以及每一個問題的目的是什么?(3)你如何評價另一位老師的課?（三）課的主題及關系結構二次函數圖像(9年級)直線定義及方程(必修2)圓的方程(必修2)曲線與方程(選修2-1)橢圓定義與標準方程(選修2-1)雙曲線定義與標準方程(選修2-1)拋物線定義與標準方程(選修2-1)A班B班（四）問題鏈（專家教師）（四）問題鏈（新手教師）（五）研究結果1.關聯點2.問題間的關系及潛在邏輯3.教學設計與課堂上的對比4.課堂行為分析5.重點與教學節奏1.關聯點NTSTQ3-1,Q3-2NT:我想讓學生明白，這里是從解析幾何的角度重新認識拋物線，所以在課的一開始就應該激活學生已有經驗，然后才介紹新的主題。ST:因為學生之前沒有學習過曲線與方程的關系，也沒有學習過橢圓、雙曲線的方程，而且我覺得這里最重要的是讓學生理解解析幾何的一般方法：建系、設點、求方程、化簡。所以我從回顧方法開始我的課。內容關聯

versus

方法關聯二次函數圖像(Year9)直線定義與方程(compusorycourse2)橢圓的定義與標準方程(選修2-1)NTST2.問題間的關系及潛在邏輯