哈工程4系自控原理5五、線性系統的頻域分析法5-1引言第三章，時域分析，分析系統零、極點與系統時域指標的關系；典型二階系統極點或。和。n與時域指標tp、。和ts、tr及穩態誤差等的關系，及高階系統的近似指標計算；第四章，根軌跡分析，研究系統某一個參數變化對系統閉環極點的影響；本章討論系統零、極點與系統頻率域指標的關系，頻域指標又分開環頻域指標和閉環頻域指標，它們都是在頻域上評價系統性能的參數。頻域分析是控制理論的一個重要分析方法。5-2頻率特性1.頻率特性的基本概念理論依據定理。設穩定線性定常系統g（s）的輸入信號是正弦信號x（t）。xsin。t，在過度過程結束后，系統的穩態輸出是與輸入同頻率的正弦信號，其幅值和相角都是頻率。的函數，表示為c（t）。y（。）sin[。t。。（。）]。證明：為書寫簡便，不妨設g（s）無重極點，顯然所有極點均具有負實部。。。x1x1c（s）。xg（s）。g（j。）。g（。j。）。r（s）。x2；2222js。j。2js。j。s。。s。。即c（t）。g（j。）x2jej。tn。i。1ais。pi；。g（。j。）x2je。j。tn。。aiei。1pit；ba221/2。g（j。）。arctan記g（j。）。a。jb，則g（。j。）。a。jb，|g（j。）|。|g（。j。）|。（a。b），。在過度過程結束后，有2j2幅頻特性。|g（j。）|，輸出信號與輸入信號幅度的比值。描述幅度增益與頻率的關系；c（t）。x{aej。t。e。j。t。bej。t。e。j。t}。x|g（j。）|sin[。t。。g（j。）]。證畢。相頻特性：。g（j。），輸出信號的相角與輸入信號相角的差值。描述相移角與頻率的關系；頻率特性：g（j。），幅頻特性和相頻特性的統稱。傳遞函數g（s）。。|g（j。）|。。g（j。）頻率特性g（j。）。。2.頻率特性的幾何表示法（圖形表示方法）圖形表示的優點是，直觀，易于了解整體情況。a）幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線簡稱為幅相曲線或極坐標圖、nyquist曲線等。橫軸為實軸，縱軸為虛軸，當頻率。從零變到無窮大時，g（j。）點在復平面上留下頻率曲線。曲線上的箭頭表示頻率增大的方向；例典型一階系統g（s）。1ts。1（1。t。）1t。1。j，g（j。）。。參見圖5-5（p174）g（j。）。22221。jt。1。t。1。t。，|g（j。）|。1221/2，。g（j。）。。arctant。；幅相頻率特性曲線的缺點。不易觀察頻率與幅值和相角的對應關系。31b）對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線又稱伯德（bode）圖。伯德圖將幅頻特性和相頻特性分別繪制在上下對應的兩幅圖中；橫軸為頻率軸，單位是弧度，對數刻度；幅頻特性的縱軸為對數幅度增益軸，20log|g（j。）|，單位是分貝db，均勻刻度；相頻特性的縱坐標為相移軸，單位是度（也可以用弧度），均勻刻度。例典型一階系統。參見圖5-7（p175）c）對數幅相曲線對數幅相曲線又稱尼科爾斯圖。將幅頻特性和相頻特性繪制在同一幅圖中，縱軸為對數幅度增益軸，單位是分貝db，均勻刻度；橫軸為相移軸，單位是度，均勻刻度。5-3開環系統的典型環節分解和開環頻率特性曲線繪制反饋控制系統的開環傳遞函數通常易于分解成若干典型環節串聯，了解典型環節的頻率特性，有助于掌握系統的開環頻率特性。1典型環節：最小相位環節，幅值相同滯后相角最小的環節；1.1比例環節k（k。0）；1.2積分環節1/s；1.3慣性環節1/（ts。1）（t。0）；1.4振蕩環節1/（t2s2。2。ts。1）（t。0，0。。。1）；1.5一階微分環節ts。1（t。0）；1.6二階微分環節t2s2。2。ts。1（t。0，0。。。1）；1.7微分環節s非最小相位環節，環節的零點或極點在s平面的右半部。2典型環節的頻率特性及幅相曲線。k。0，t。0，0。。。1；2.1放大環節g（s）。k和對應的非最小相位環節gf（s）。。k；|g（j。）|。|gf（j。）|。k，。g（j。）。0，。gf（j。）。。180；。。1.1。1（反向環節）；1.21/（ts。1）（t。0）；1.31/（t2s2。2。ts。1）（t。0，0。。。1）；1.4ts。1（t。0）；1.5t2s2。2。ts。1（t。0，0。。。1）；2.2積分環節g（s）。1/s和微分環節g（s）。s；|g（j。）|。1/。，。g（j。）。。90；和|g（j。）|。。，。g（j。）。90；。。2.3慣性環節g（s）。1/（ts。1）和對應的非最小相位環節gf（s）。1/（ts。1）；11，gf（j。）。；g（j。）。。1。jt。1。jt。22。1/2。|g（j。）|。|gf（j。）|。（1。t。），。g（j。）。。arctant。，。gf（j。）。。180。arctant。；概略作圖：ω|g（jω）|∠g（jω）0∞jω10σ1/t32101/t010o1/t0.707-45o∞0-90oω01-180o1/t0.707-135ojω0∞σ∞0-90o|gf（jω）|∠g（jω）2.4振蕩環節g（s）。1/（t2s2。2。ts。1）和對應的非最小相位環節gf（s）。1/（t2s2。2。ts。1）；|g（j。）|。|gf（j。）|。{（1。t。）。（2。t。）}2222。1/22。t。。。arctan22。。1。t。。g（j。）。。2。t。。。180。。arctan22。t。。1。2。t。。。。360。arctan22。t。1。t。，。gf（j。）。。12。t。。。180。。arctan。。22t。t。。1。。。1。。。。1t；1t振蕩環節的幅值可能會大于1，由222dd。{（1。t。）。（2。t。）}。0，計算得，1t1。2。22222。4t。（1。t。）。4。t（2。t。）。0，→。r。。。n1。2。2，。。。2/2；將諧振頻率。r代入幅值計算式，（相對）諧振峰值mr。|g（j。r）|。振蕩環節的幅相曲線形狀隨阻尼比而改變。ω|g（jω）|∠g（jω）010o212。1。。21/t1/（2ζ）-90o21/2∞0-180oω|gf（jω）|01-360o1/t1/（2ζ）-270o∞0-180o∠gf（jω）2.5一階微分環節g（s）。ts。1和對應的非最小相位環節gf（s）。ts。1；|g（j。）|。|gf（j。）|。（1。t。），。g（j。）。arctant。，。gf（j。）。。1800。arctant。；∞∞90oω01-180o1/t1.414-225o21/2ω|g（jω）|∠g（jω）010o1/t1.41445o∞∞-270o|gf（jω）|∠g（jω）2222.6二階微分環節g（s）。t2s2。2。ts。1和對應的非最小相位環節gf（s）。ts2。2。ts。1；|g（j。）|。|gf（j。）|。{（1。t。）。（2。t。）}2。t。。arctan22。。1。t。。g（j。）。。2。t。。180。。arctan22。t。。1。2。t。。。arctan22。t。1。t。，。gf（j。）。。12。t。。。180。。arctan。。22t。t。。1。。。1。。。。1t；1tω|g（jω）|∠g（jω）3010o1/t2ζ90o∞∞180oω010o1/t2ζ-90o∞∞-180o|gf（jω）|∠g（jω）開環幅相曲線繪制：開環傳遞函數是若干典型環節串聯而成，開環幅頻特性的幅值是典型環節幅值的乘積，開環相頻特性的相移角是典型環節相角之和。繪制開環幅相曲線時，無法利用已知的典型環節的幅相曲線（曲線相乘和相加）。幅相曲線是為分析系統而作，不作計算用；一般只需概略繪制，但是，關鍵部位要準確：起點。。0；（。。1/ti）；與負實軸的交點位置；終點。。。。33例5-1g（s）。k（t1s。1）（t2s。1），k，t1，t2。0；g（j。）。kk（1。jt1。）（1。jt2。）；|g（j。）|。1。1。。。0：|g（j0）|。k，。g（j0）。0；。。。：|g（j。）|。0，。g（j。）。。180。；22t1。22t2。。；。g（j。）。。arctant1。。arctant2。；。：0。。；|g（j。）|從k單調遞減到0，。g（j。）從0o單調遞減到-180o；ks（t1s。1）（t2s。1）2與負實軸無交點。參見p183，圖5-18。例5-2g（s）。，k，t1，t2。0；g（j。）。k222kj。（1。jt1。）（1。jt2。）；|g（j。）|。。1。t1。1。t2。。。0：|g（j0）|。。，。g（j0）。。90。；。。。：|g（j。）|。0，。g（j。）。。270。；。：0。。；|g（j。）|從∞單調遞減到0，。g（j。）從-90o單調遞減到-270o；；。g（j。）。。90。。arctant1。。arctant2。；與負實軸有交點（g（j。）為實數），交點處。。（t1t2）。1/2，交點為（。kt1t2/（t1。t2），j0）。參見p184，圖5-19。k（。s。1）例5-3g（s）。|g（j。）|。s（t1s。1）（t2s。1），k，。，t1，t2。0；g（j。）。222k（1。j。。）。（t1。t2）。2。j（1。t1t2。）。2；k1。。。2。1。t1。。。221。t2。；。g（j。）。arctan。。。90。。arctant1。。arctant2。；。。0：|g（j0）|。。，。g（j0）。。90。；。。。：|g（j。）|。0，。g（j。）。。180。；0。。；|g（j。）|從∞變化到0，。g（j。）從-90o變化到-180o；與負實軸可能有交點（g（j。）為實數），令g（j。）的分子和分母同乘1。j。。，然后分母虛部為零，。1/2在。。t1t2/（t1。t2），幅相曲線與實軸有交點，交點處。x。{t1t2。。（t1。t2）}，（t1。t2）。。。（1。t1t2。）。。s。11。j。。1例5-4g（s）。，。。t。0；g（j。）。；。m。；ts。11。jt2。。t|g（j。）|。1。。。1。t。2222。；。g（j。）。arctan。。。arctant。。0；。g（j。m）。arctang（j。x）。。k（1。。。x）2x2x2x22。。。t2。t。0，。。0：|g（j0）|。1，。g（j0）。0。；。。。：|g（j。）|。。/t，。g（j。）。0。；。：0。。；|g（j。）|從1單調遞增到τ/t，。g（j。）從0o先增大到極值再減小到0o；與負實軸無交點。。s。11。j。。例5-5g（s）。，t。。。0；g（j。）。；。m。ts。11。jt2。|g（j。）|。1。。。1。t。22221。t；t。。2。t。；。g（j。）。arctan。。。arctant。。0；。g（j。m）。。arctan。0，。。0：|g（j0）|。1，。g（j0）。0。；。。。：|g（j。）|。。/t，。g（j。）。0。；34。：0。。；|g（j。）|從1單調遞減到τ/t，。g（j。）從0o先減小到極值再增大到0o；與負實軸無交點。關于開環幅相曲線的小結。g（s）。k（bmss（an。vsvm。bm。1sm。1。。b1s。1）。。。a1s。1）n。v。an。v。1sn。v。1；。。。kv。00v。0起點：|g（j0）|。。；。g（j0）。。；。v。0。。v。0。。v。90終點：|g（j。）|。0，n。m；。g（j。）。。（n。m）。90。；與負實軸的交點。n。2時，與負實軸無交點；k值變化僅改變幅相曲線的幅值和與負實軸交點的位置，不改變幅相曲線的形狀；開環傳遞函數其它參數的變化改變幅相曲線的形狀和與負實軸的交點位置。4開環對數頻率特性曲線：繪制開環幅相曲線很難利用已知的典型環節的幅相曲線，繪制對數開環頻率特性曲線能夠方便的利用已知的典型環節的對數頻率特性曲線。典型環節的對數頻率特性曲線比例環節；積分環節；慣性環節；振蕩環節；一階微分環節；二階微分環節；漸近幅頻特性曲線（對數幅頻漸近特性曲線）：相頻特性：轉折（交接）頻率：20logk90o45o0o200.1110ω0o-20-90odb20db-20/dec0.1110ωdb0.1/t1/t10/tω-200o-45o-90o-3db-20/decdb0.1/t1/t10/tω-400o-90o-180o-20log2ζ-40/decdb20/dec0.1/t1/t10/tω+3db40180o90o0odb40/dec0.1/t1/t10/tω20log2ζ對數開環頻率特性曲線繪制步驟：（1）將開環傳遞函數各典型環節從左向右按轉折頻率從小到大排列；（2）將轉折頻率在對