量子力學試題集量子力學期末試題及答案（A）選擇題（每題3分共36分）1.黑體輻射中的紫外災難表明：C黑體在紫外線部分輻射無限大的能量；黑體在紫外線部分不輻射能量；經典電磁場理論不適用于黑體輻射公式；黑體輻射在紫外線部分才適用于經典電磁場理論。關于波函數中的含義，正確的是：B中代表微觀粒子的幾率密度；中歸一化后，代表微觀粒子出現的幾率密度；中一定是實數；Do中一定不連續.對于偏振光通過偏振片，量子論的解釋是：D偏振光子的一部分通過偏振片；偏振光子先改變偏振方向，再通過偏振片；偏振光子通過偏振片的幾率是不可知的；每個光子以一定的幾率通過偏振片。對于一維的薛定諤方程，如果中是該方程的一個解，則:A一定也是該方程的一個解；Bo一定不是該方程的解；Co中與一定等價；Do無任何結論。對于一維方勢壘的穿透問題，關于粒子的運動，正確的是：CAo粒子在勢壘中有確定的軌跡；Bo粒子在勢壘中有負的動能；粒子以一定的幾率穿過勢壘；D粒子不能穿過勢壘。如果以表示角動量算符，則對易運算為：BAoihBoihCoih如果算符、對易，且=A，則：B一定不是的本征態；一定是的本征態；Co一定是的本征態；Do|中|一定是的本征態。如果一個力學量與對易，則意味著：CA。 一定處于其本征態；一定不處于本征態；C。 一定守恒；其本征值出現的幾率會變化。與空間平移對稱性相對應的是:BA。 能量守恒；B。 動量守恒；C。 角動量守恒；D。 宇稱守恒。如果巳知氫原子的n=2能級的能量值為一3。4ev，則n=5能級能量為：DA。 -1。51ev;—0。85ev;C。 -0。378ev;-0.544ev三維各向同性諧振子，其波函數可以寫為，且l=N—2n，則在一確定的能量（N+）h下，簡并度為:BA。 ；；C。 N（N+1）；（N+1）（n+2）判斷自旋波函數是什么性質：CA。自旋單態；8。自旋反對稱態；。.自旋三態；D。本征值為1.二填空題（每題4分共24分）如果巳知氫原子的電子能量為，則電子由n=5躍遷到n=4能級時，發出的光子能量為： — ，光的波長為 如果巳知初始三維波函數，不考慮波的歸一化，則粒子的動量分布函數為= 一一TOC\o"1-5"\h\z-—，任意時亥U的波函數為 。在一維勢阱（或勢壘）中，在x=x點波函數- （連續或不連續），它的導數一-一一-— -一（連續或不連續）。如果選用的函數空間基矢為，則某波函數處于態的幾率用Dirac符號表示為 ，某算符在態中的平均值的表示為- —-—。在量子力學中，波函數在算符操作下具有對稱性,含義是一一 -—-一一-一，與對應的守恒量一定是一一一一一一一一一一算符。金屬鈉光譜的雙線結構是一- 一一-一一-,產生的原因是一三計算題（40分）1.設粒子在一維無限深勢阱中，該勢阱為：V（x）=0,當0<x<a,V（x）*,當x〈0或x>0,求粒子的能量和波函數。（10分）設一維粒子的初態為，求.（10分）計算表象變換到表象的變換矩陣。（10分）4個玻色子占據3個單態，，，把所有滿足對稱性要求的態寫出來。（10分）B卷一、 （共25分）1、 厄密算符的本征值和本征矢有什么特點？（4分）2、 什么樣的狀態是束縛態、簡并態和偶宇稱態？（6分）3、 全同玻色子的波函數有什么特點?并寫出兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數。（4分）4、 在一維情況下，求宇稱算符和坐標的共同本征函數.（6分）5、 簡述測不準關系的主要內容，并寫出時間和能量的測不準關系。（5分）二、 （15分）巳知厄密算符，滿足，且，求1、 在A表象中算符、的矩陣表示；2、 在A表象中算符的本征值和本征函數；3、 從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、 （15分）線性諧振子在時處于狀態，其中，求1、 在時體系能量的取值幾率和平均值。2、時體系波函數和體系能量的取值幾率及平均值四、 （15分）當為一小量時，利用微擾論求矩陣的本征值至的二次項，本征矢至的一次項.五、 （10分）一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態.問體系可能的狀態有幾個？它們的波函數怎樣用單粒子波函數構成？一、1、厄密算符的本征值是實數，本征矢是正交、歸一和完備的.2、 在無窮遠處為零的狀態為束縛態；簡并態是指一個本征值對應一個以上本征函數的情況；將波函數中坐標變量改變符號，若得到的新函數與原來的波函數相同，則稱該波函數具有偶宇稱.3、 全同玻色子的波函數是對稱波函數。兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數為：4、 宇稱算符和坐標的對易關系是:，將其代入測不準關系知，只有當時的狀態才可能使和同時具有確定值，由知，波函數滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數。5、 設和的對易關系，是一個算符或普通的數.以、和依次表示、和在態中的平均值，令,，則有，這個關系式稱為測不準關系。時間和能量之間的測不準關系為：二、1、由于,所以算符的本征值是，因為在A表象中，算符的矩陣是對角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：設在A表象中算符的矩陣是，利用得:；由于，所以,；由于是厄密算符，，令，（為任意實常數）得在A表象中的矩陣表示式為：2、 在A表象中算符的本征方程為：即 和不同時為零的條件是上述方程的系數行列式為零，即對有：，對有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數為和3、 從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數按列排成的矩陣，即三、解:1、的情況：巳知線諧振子的能量本征解為：，當時有：，于是時的波函數可寫成：，容易驗證它是歸一化的波函數，于是時的能量取值幾率為：3/10，，能量取其他值的幾率皆為零。能量的平均值為：2、時體系波函數顯然，哈密頓量為守恒量，它的取值幾率和平均值不隨時間改變，故時體系能量的取值幾率和平均值與的結果完全相同.四、 解：將矩陣改寫成：能量的零級近似為:，，能量的一級修正為：，，能量的二級修正為：，，所以體系近似到二級的能量為：，，先求出屬于本征值1、2和3的本征函數分別為:，，，利用波函數的一級修正公式，可求出波函數的一級修正為:，，近似到一級的波函數為：，，五、 解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數應是對稱函數。以表示第個粒子的坐標，根據題設，體系可能的狀態有以下四個：（1）;（2）（3） ;（4）一、（20分）已知氫原子在時處于狀態其中，為該氫原子的第個能量本征態。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫出時的波函數。解巳知氫原子的本征值為， （1）將時的波函數寫成矩陣形式（2）利用歸一化條件（3）于是,歸一化后的波函數為（4）能量的可能取值為，相應的取值幾率為（5）能量平均值為（6）自旋分量的可能取值為，相應的取值幾率為（7）自旋分量的平均值為（8）時的波函數（9）（20分）質量為的粒子在如下一維勢阱中運動若已知該粒子在此勢阱中有一個能量的狀態，試確定此勢阱的寬度。解對于的情況,三個區域中的波函數分別為(1)其中，（2）利用波函數再處的連接條件知,，。在處，利用波函數及其一階導數連續的條件（3）得到（4）于是有（5）此即能量滿足的超越方程。當時，由于（6）故（7）最后得到勢阱的寬度（8）三、 （20分）證明如下關系式（1）任意角動量算符滿足。證明對分量有同理可知，對與分量亦有相應的結果，故欲證之式成立。投影算符是一個厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數系。證明在任意的兩個狀態與之下,投影算符的矩陣元為而投影算符的共眺算符的矩陣元為顯然，兩者的矩陣元是相同的,由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數系。證明四、 （20分）在與表象中，在軌道角動量量子數的子空間中，分別計算算符、與的矩陣元，進而求出它們的本征值與相應的本征矢。解在與表象下，當軌道角動量量子數時,，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對角矩陣，且其對角元為相應的本征值,于是有（1）相應的本征解為（2）對于算符、而言，需要用到升降算符,即（3）而（4）當時，顯然，算符、的對角元皆為零,并且，只有當量子數相差時矩陣元才不為零，即于是得到算符、的矩陣形式如下(7)滿足的本征方程為(8)相應的久期方程為(9)將其化為得到三個本征值分別為(11)將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為(12)滿足的本征方程為相應的久期方程為將其化為得到三個本征值分別為(16)將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為(17)五、(20分)由兩個質量皆為、角頻率皆為的線諧振子構成的體系，加上微擾項(分別為兩個線諧振子的坐標)后，用微擾論求體系基態能量至二級修正、第二激發態能量至一級修正。提示：線諧振子基底之下坐標算符的矩陣元為式中，。解體系的哈密頓算符為其中(2)已知的解為其中將前三個能量與波函數具體寫出來(5)對于基態而言，，體系無簡并。利用公式可知(7)顯然，求和號中不為零的矩陣元只有（8）于是得到基態能量的二級修正為（9）第二激發態為三度簡并，能量一級修正滿足的久期方程為（10）其中（11）將上式代入（10）式得到（12）整理之，滿足（13）于是得到第二激發態能量的一級修正為（14）微觀粒子具有 二象性.德布羅意關系是粒子能量E、動量P與頻率V、波長入之間的關系，其表達式為： E=,p=。根據波函數的統計解釋，的物理意義為：粒子在x—dx范圍內的幾率。量子力學中力學量用 —算符表示。坐標的分量算符和動量的分量算符的對易關系為：。量子力學關于測量的假設認為：當體系處于波函數w（x）所描寫的狀態時，測量某力學量F所得的數值，必定是算符的——。定態波函數的形式為：.一個力學量為守恒量的條件是: 根據全同性原理，全同粒子體系的波函數具有一定的交換對稱性，費米子體系的波函數是反對稱的，玻色子體系的波函數是 .每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數值為：。1、（10分）利用坐標和動量算符的對易關系，證明軌道角動量算符的對易關系：證明：2、（10分）由Schr6dinger方程證明幾率守恒：其中幾率密度幾率流密度證明：考慮Schrodinger方程及其共軛式:在空間閉區域t中將上式積分，則有：1、 （10分）設氫原子處于狀態求氫原子能量E、角動量平方L2、角動量Z分量LZ的可能值及這些可能值出現的幾率.解:在此狀態中，氫原子能量有確定值，幾率為1角動量平方有確定值為，幾率為1角動量Z分量的可能值為其相應的幾率分別為，2、（10分）求角動量z分量 的本征值和本征函數。解：波函數單值條件，要求當由轉過2n角回到原位時波函數值相等，即：求歸一化系數最后，得匕的本征函數3、 （20分）某量子體系Hamilton量的矩陣形式為：設c〈＜1,應用微擾論求H本征值到二級近似。解：c＜〈1,可取0級和微擾Hamilton量分別為：Ho是對角矩陣，是HamptonH°在自身表象中的形式。所以能量的0級近似為：E1（0）=1E2（0）=3E3（o）=-2由非簡并微擾公式得能量一級修正：能量二級修正為：二級近似下能量本征值為：量子力學期末試題及答案（B）一、 填空題：1、 波函數的標準條件：單值、連續性、有限性。2、|W（r,t）|A2的物理意義：t時刻粒子出現在r處的概率密度.3、 一個量的本征值對應多個本征態，這樣的態稱為簡并。4、 兩個力學量對應的算符對易，它們具有共同的確定值.二、 簡答題：1、簡述力學量對應的算符必須是線性厄米的。答：力學量的觀測值應為實數，力學量在任何狀態下的觀測值就是在該狀態下的平均值，量子力學中，可觀測的力學量所對應的算符必須為厄米算符量子力學中還必須滿足態疊加原理，而要滿足態疊加原理，算符必須是線性算符。綜上所述，在量子力學8/10中，能和可觀測的力學量相對應的算符必然是線性厄米算符。2、 一個量子態分為本征態和非本征態，這種說法確切嗎？答：不確切。針對某個特定的力學量，對應算符為A，它的本征態對另一個力學凰對應算符為B)就不是它的本征態，它們有各自的本征值，只有兩個算符彼此對易，它們才有共同的本征態。3、 輻射譜線的位置和譜線的強度各決定于什么因素？答:某一單色光輻射的話可能吸收，也可能受激躍遷。譜線的位置決定于躍遷的頻率和躍遷的速度；譜線強度取決于始末態的能量差.三、 證明題。2、證明概率流密度J不顯含時間。四、 計算題。1、第二題：如果類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球，計算這種效應對類氫原子基態能量的一級修正。解：這種分布只對的區域有影響，對的區域無影響。據題意知其中是不考慮這種效應的勢能分布，即為考慮這種效應后的勢能分布，在區域，在區域，可由下式得出，由于很小，所以，可視為一種微擾，由它引起一級修正為(基態)...，故。??第三題其相應的久期方程：即：由歸一化條件得：量子力學期末試題及答案(C)一、填空題1、 黑體輻射揭示了經典物理學的局限性。2、 索末非提出的廣義量子化條件是3、 一粒子有波函數由描寫，則=4、 粒子在勢場U(r)中運動，則粒子的哈密頓算符為5、 量子力學中，態和力學量的具體表示方式稱為表象。6、 氫原子的一級斯塔克效應中，對于n=2的能級由原來的一個能級分裂為3個子能級。7、 1925年,烏論貝克(Uhlenbeck)和歌德斯密脫(Goudsmit)提出每個電子具有自旋角動量S，它在任何方向的投影只能取兩個數值，即8、 Pauli算符的反對易關系式是9、 如果全同粒子體系的波函數是