例設一底面為矩形的柱體被一平面所截，如果截面a截面的面積A與底面面積s有如下的關系：zQPRLxoNzQPRLxoNMPRQy將點P的xy坐標0,y0z=cosax

0,y

zQPRLxozQPRLxo0 點R的坐標為x0cosby cosg0

,MR=y00,

kkcosgcoscos cosacosbMP·MR=x0

=x0y0

cos

cos

,1 A

=

=

cosg

個小區域?D1，?D2，…?Dn。在曲面上有相應的小曲面塊?i，"(i,hi?DDi，在曲面S上有相應的點i,hi,zi,hi在 記作?Ti，對應的面積分別記為?Si，及?Ti，則當分割很小時，可用?Ti 近似代替?Si，xicosa

iDT=i

ii而cos

1+1+x(x,hii2+zy(x,hii21+1+x(xihi2+y(x,hii2i

Dsi1+x(1+x(xii2+zy(x,hii2lfi 1+1+x(x,2+y(x,2D

y?D，D22A 1+z(x,y)

+z(x,y)Ds D

例

,az=2a2-x2-

解兩曲面的交線在xoy

-

-

x2+y2=a2, z=0z介于0￡z￡之間的部分，S2az=2a2-x2y2y介于a￡z￡2a之間的部分， oDyA z￠(

+z￠(x,y) D

1 2 1+z￠(x,y)2

+

(x,y)2 2D

2 a=a

2ds+

+4(x2

+y2

ds=2pa

+I2 +4(x2++4(x2+y2 a1+4raI=D

rda=

2 pa 2 a1+ rdr pa 2 a a

3

a =pa6A

5-

+

=2pa +I=

5-例

即1+1+x(x,2+z(x,y2

4-4-D 2-4-=2-4-

dz.

y 例 求球面x2+y2+(z-a)2=t2(0<t<2a)位于球x2y2z2a2t取何值時，面積最

+

z2 a2t2-x2-t2-x2-zbtoyx在xoy2D=x,y)x2+y2￡b2}2

=a2-b2,b2=t

1+z2+zx1+z2+zxyt2-x2-y

=

tr t2-r2bt2-r2b

trt2t2-r2

bbt2-t2-t2-t2-)0 =2ptt-=t2a-t p

4at-3t

=0,t

43即當t43

=32pa2 27若n個質點構成的質點系，第i個質點的坐標為(xiyi)， M

x=yM

..

,y=yM

r(x,y)在D上連續，則平面薄片對x軸和y軸的靜矩Mx=yr(x,y)ds,My=xr(x,y)ds xyx=M =1xr(x,y)ds,y=Mx =1yr(x,y)ds M M x=M =1xds,y=Mx =1yds S SMx=1xr(x,y,MWMy=1yr(x,y,MWMz=1zr(x,y,MWWy2=2-x,2y2=x+1y0=2-

1S 2-y21

-2y21dy=213-3y2dy=yoyox0My=D

dy2

12=012

2

dy=

-y22-2y2

-122y- =13-3y

dy=3-

=12 \x=3 即，形心坐標為3,0 設平面薄片所占區域由直線x=0,y=0,x+y=1確定，密度函數為r=x2+y2,求重心坐標。xyM=x2+y2s=2x2 1- = dx

x2dy=21

=21-1= =x

s

1dx1-

xx

+y2 D

1-

= xy+ dx x(1-x)+x(1-x) =1x(1-x)3+x(1- dx x(1-

=3

x(1-x)dx

1. 5xy=22 5 例z=1-x2-y2與z=0所圍成立體的形心。解由區域的對稱性，知重心坐標在z軸上，即x=y=0xyV=x2-y21D1

=2pdq11-

2 M=

dqdrz

r22 W

6 =my

mx Ix=y2r(x,y)ds, =x2r(x,y)dsy IxIyIz

WWW

(x,(x,(x,例 設平面薄片所占區域D=x,y)0￡x￡1,x2￡y￡密度函數為r=x，求對x軸，y軸及y=-1的轉動慣量。解由計算 I =D

xy2ds

0dxx

03=11x03

-x dx=140 =x3ds

3 xdy3

1

-x5x=1 D

=xy2ds=1 xy2xx=3

Dxx -

x=x+x-x

=1+1-1-1= 例 平面薄片的形狀由擺y=a(1-x=a(t-sint) y=a(1-y=y(x)2pa y(xIx

cy2ds=

cy2dy D =3c

y3(x)dx

1ca4

(1-cost)4=1ca42p(1-4cost+6cos2t-4cos3t+cos4 =1ca42p(1+6cos2t+cos43=43

p2(1+6cos2t+cos40=4ca4p+61p+31p=35pca4. 2 422 例 設平面薄片所占區域D=x,y)x2+y2￡2,x?0,y?x+y-2(x,x+y-2d

x+y-2Ix y =2

+ 2 +=5+

r2cos2q+r2cosqsinq-4rcosq+-2 -2 1.設過球心的直線為zx2+y2+z2=a2aI=+y2v=2pdfpd 4a q0W a a

2.x2y2z2a2L:x=ay=則

v

+y2+a2 W例 設平面薄片所占區域由y=lnx,y=0,x=e圍成 解I(t=dx(x-tdy=xt e23 3e

1

1x2n =t-et+

)=2t-e=e 42+4

24e8e+92e2 =-122+e z=x2+y2z=2x圍成，密度r=x,求Iz 投影區域為,x2+y2￡I=y22+y2v= y22+2 =y22+2x2-2D =22

2qq 64 =22 8q0q= 7 設一單位質量的質點位于空間的點P0(x0y0z0)處，另有一的質量為m質點位于點P(x,y,z)，則該點對單位質kmF

=km=

k(x-x0)m,k(y-y0)m,k(z-z0)mr

r=P0P=x-x0,y-y0,z-z0 kmF=Fi=r3 = k(xi-x0)mi,k(yi-y0)mi,k(zi-z0)mi. r r r 由此得到：空間一物體對物體外一點P0(x0,y0,z0)的引力 F=x,Fy,Fz其中FxF

W

kr(x,y,z)(x-kr(x,y,z)(y-yFz

WW

kr(x,y,z)(z-z0r

xyyzz 22 22例求半徑為Rx2y2z2￡R2(密度函數為常數m)對位于(0,0,a)處單位質點的引力(a>R)。zFoyx3解x=FyzFoyx3Fz