第1節方差分析(ANALYSISOFVARIANCE)方差分析用不同的生產方法生產同一種產品，比較各種生產方法對產品的影響是人們經常遇到的問題。比如，化工生產中，原料成份、劑量、順序、催化劑、反應溫度、壓力、時間、機器設備以及操作人員技術水平等因素對產品都會有影響，有的影響大些，有的影響小些。為此，需要找出對產品有顯著影響的因素。方差分析就是鑒別各因素效應的一種有效的統計方法。它的應用范圍十分廣闊，可以成功地應用在試驗工作的很多方面。補充內容:常用統計技術方差分析是統計檢驗的一種。由英國著名統計學家R.A.FISHER推導出來的，也叫F檢驗。一、方差分析的基本概念二、單因素方差分析三、重復數不等的單因素方差分析四、兩因素方差分析（多個樣本均數間的多重比較）主要內容一、方差分析的基本概念數據（）

數據和（T）方差()

離均差()1、幾個名詞和概念因素水平

F分布※因子（因素）有時會遇到需要比較多個總體均值的問題。

例1：現有甲、乙、丙三個工廠生產同一種零件。為了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差異，現分別從每一工廠隨機抽取四個零件測定其強度，數據如表1所示。試問三個工廠的零件強度是否相同（假定每一個總體都服從正態分布且各總體的方差相等）？工廠零件強度甲乙丙1031019811011310710811682928486三個工廠的零件的強度數據不同工廠的零件強度不同。因此可以將工廠看成是影響零件強度指標的一個因素。不同的工廠便是該因素的不同狀態。試驗中可改變（可控制）的試驗條件稱之為因子，常用大寫字母A、B、C等表示。※水平指的是因子所處的狀態，采用在因素的字母加下標表示。一般，一個因子會有幾個水平。例如因子A有4個水平，則表示為：A1、A2、A3。

※F分布若隨機變量，，則隨機變量的函數的分布規律稱為F(n1,n2)分布，其中參數n1、n2是兩個自由度，任意一個自由度不同就是另一個F分布，正如正態分布中均值或方差不同就是另一個正態分布一樣。

F分布在一象限內，呈正偏態，隨著兩個自由度的增大，趨近于正態分布。一般情況下，F分布的均值接近1，方差一般都小于1，且隨兩自由度的增大越來越小。-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4正態分布),(2smN密度函數：222)(21)(smsp--=xexp分布函數：dyexFyx222)(21)(smsp--￥-ò=其中：m為均值，2s為方差，+￥<<￥-x※標準正態分布N（0，1）密度函數:2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-￥-ò=Fp

分布函數:統計特征數（一）樣本平均值（二）樣本中位數（三）樣本方差（四）樣本標準偏差（五）樣本極差表示數據的集中位置表示數據的離散程度（一）樣本平均值如果從總體中抽取一個樣本，得到一批數據X1，X2，X3….Xn，則樣本的平均值：：樣本的算術平均值n：樣本大小（二）樣本中位數和樣本眾數把統計數據X1，X2，X3….Xn按大小順序重新排列，排在正中間的那個數就是樣本中位數，用符號表示。當n為奇數時，正中間的數只有一個；當n為偶數時，正中間的數有兩個，此時，中位數為正中兩個數的算術平均值。樣本眾數是將統計數據X1，X2，X3….Xn按大小順序重新排列，其中出現頻數最高的那個數用符號

表示。

（三）樣本方差——是衡量統計數據分散程度的一種特征數，其計算公式：S2：樣本方差；：某一數據與樣本平均值之間的偏差。樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大.

（四）樣本標準偏差國際標準化組織規定，把樣本方差的正平方根作為樣本標準偏差，用符號S來表示：（五）樣本極差——一組數據中最大值與最小值之差。用符號R表示：R=Xmax-Xmin例1、某校從甲、乙兩名優秀選手中選1名選手參加全市中學生田徑百米比賽，該校預先對這兩名選手測試了8次，測試成績如下表：根據測試成績，請判斷派哪一位選手參加比賽更好？解析：此題要用樣本的方差的大小來衡量甲、乙兩名選手百米賽成績的穩定性，方差較小的穩定性強些．

2、方差分析的含義

方差是描述變異的一種指標，方差分析是一種假設檢驗的方法,即是對變異的分析；方差分析是對總變異進行分析。考察總變異是由哪些部分組成的，這些部分間的關系如何。3、方差分析的基本思想根據變異的來源，將全部觀察值總的離均差平方和及自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某些特定因素的作用加以解釋。通過比較不同來源變異的方差（也叫均方MS），借助F分布做出統計推斷，從而判斷某因素對觀察指標有無影響。方差分析根據試驗中考察的因子的個數，可分為：

※

單因子方差分析

※

兩因子方差分析

※

多因子方差分析（試驗設計）4、方差分析的分類5、方差分析的假設及結論指標服從正態分布不同水平的方差和均方差相等相互獨立的隨機樣本（數據相互獨立）

方差分析是在相同方差假定下檢驗多個正態均值是否相等的一種統計分析方法。不全相等二、單因子方差分析

——試驗中所要考察的影響因素只有一個，則稱之為單因子試驗，其數據分析可采用單因子方差分析法。

設一個試驗中要考察的影響因子A，其有r個水平，在每一個水平下各進行m次重復試驗，結果用Yi1,Yi2,…,Yim表示。（一）、引起數據誤差的原因組間變異總變異組內變異

試驗的數據共有n=rm個。這n個數據的差異可以用總離散平方和（也簡稱為平方和）來表示。因子A的水平不同（組間平方和）隨機誤差（組內平方和）※各種變異的表示方法：※三者之間的關系：總變異處理變異誤差變異※總變異:

所有測量值之間總的變異程度。其自由度為：※組間變異：各組均數與總均數的離均差平方和。反映的是隨機誤差＋處理因素的共同影響。其自由度為：※組內變異：同一組內，雖每個對象接受的處理相同，但測量值不相同，這種變異稱為組內變異，也稱Se誤差。用各組內各測量值Yij與其所在組的均數差值的平方和來表示，反映隨機誤差的影響。其自由度為：

變異程度除與離均差平方和的大小有關外，還與其自由度有關。由于各部分自由度不相等，因此各部分離均差平方和不能直接比較，須：將各部分離均差平方和除以相應自由度，其比值稱為均方差，簡稱均方(meansquare，MS)。

均方差：組間均方和組內均方的計算公式為:

當MSA與MSe相差不大時，可以認為因子A的影響不顯著；反之，則認為A是顯著的。一般用兩者的比值來表示這種關系，稱之為F比：F比：注：公式是在H0成立的條件下進行的，即MSA與MSe差別應該很小(即F值應接近于1)。那么要接近到什么程度呢？Fisher計算出了F的分布規律（即標準的F值）。即認為因子A的影響顯著（或稱之為在顯著水平）※顯著性的具體判定方法：※簡便的計算方法：1、所考察的問題

為考察四種解毒藥的解毒效果，按完全隨機化方法將Ｎ＝24只大白鼠隨機等分成４組（將大白鼠編成1~24號，用計算機對每個大白鼠產生一個隨機數，然后按隨機數從小到大的順序排序，前面6個大白鼠分為第一組，緊接著的6個大白鼠分成第二組，…），每組大白鼠服用一種解毒藥。服用之后，考察大白鼠血中膽堿脂酶的含量

(μ/ml)。（二）、舉例2H0：即4個試驗組總體均數相等H1：4個試驗組總體均數不全相等

（1）

建立檢驗假設2、具體分析步驟（2）

確定顯著性水平檢驗水準：一個因素（factor）：解毒藥四個水平（level）（r=4·）：A、Ｂ、Ｃ、空白對照D，

i=1,2,3,4分別代表A、B、C、D每水平有m=６只大白鼠，分別表示為j=1,2,…,6注：顯著性檢驗的判斷是依據小概率事件原理進行的。小概率α在這里稱為顯著性水平，實際是判斷錯誤的概率（即風險度），與其相對應的β=1－α稱為置信度。（3）計算離均差平方、自由度、均方（4）計算F值，列方差分析表（5）下結論注意：即使是同一種解毒藥，其效果也是波動的。這種波動可以用方差來度量，即方差的估計。這里，方差的估計是MSe。因此，標準差的估計是：查附表F界值表，得F0.05(3,20)=3.10。由于F＞F0.05(3,20)，在0.05水平上不同的解毒藥物的效果顯著處理因素的4個水平中至少有一個組的總體平均值不同于其他各組。從表中所示的值可見，不同解毒藥物的效果是不同的。解毒藥物A和C與空白對照組D相近。B組血中膽堿脂酶含量較其他組高。三、重復數不等的單因子方差分析

——單因子試驗中，若每個水平下重復試驗的次數不同。

設一個試驗中要考察的影響因子A，在Ai水平下有mi次試驗（各不全相等），其計算方法需進行如下改變：四、雙因子方差分析

——試驗中所要考察的影響因素有A、B兩個，則稱之為雙因子試驗，可采用雙因子方差分析法進行數據分析，其目的是檢驗兩個因素對試驗結果有無影響。

對每一因子的每一水平都可取一個容量為nij的樣本（這里介紹無重復試驗的情況），因素A有r個水平，因素B有s個水平。對因素A、B的每一個水平的組合（Ai,Bj)，i=1,2,···,r;j=1,2,···,s）只進行一次試驗，得到n=r·s個結果Yij，將結果列表（如下頁表）。其中Yij表示因素A的第個水平與因素B的第個水平構成的一組配合（Ai,Bj）進行試驗的結果。※各種變異的表示方法：※三者之間的關系：總變異處理變異誤差變異區組變異

為了解3種不同配比的飼料對仔豬生長影響的差異，對3種不同品種的豬各選3頭進行試驗，測得在3個月內豬體重的增加量（如下表所示）。假定豬體重增加量服從正態分布，且各種配合的方差相等。試分析不同飼料和豬的品種對豬的生長有無顯著影響。例3：

1、將表中數據各減去50，其差計為Yij，列出方差計算表如下：解：

2、由上表數據可計算：

3、列出方差分析表如下：

4、得出結論：說明不同飼料對豬體重的增長無顯著影響；說明品種的差異對豬體重增長的影響相當顯著。作業1、某工廠從3個外協加工的機械鍛件，各任取4個鍛件，由同一臺試驗機