5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

1.最值一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值,最值反映的是這組數(shù)最極端的情況.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.2.平均數(shù)(1)定義:如果給定的一組數(shù)是x1,x2,…,xn,則這組數(shù)的平均數(shù)為

(x1+x2+…+xn).這一公式在數(shù)學(xué)中常簡(jiǎn)記為

(2)求和符號(hào)∑具有的性質(zhì)

(3)如果x1,x2,…,xn,的平均數(shù)為

,且a,b為常數(shù),則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均數(shù)是a

+b.【思考】(1)x5+x6+…+x15如何用符號(hào)∑表示?提示:x5+x6+…+x15=(2)如何證明

提示:=kx1+kx2+…+kxn=k(x1+x2+…+xn)=.3.中位數(shù)(1)如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù),且按照從小到大排列后為x1,x2,…,x2n+1,則稱xn+1為這組數(shù)的中位數(shù);(2)如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù),且按照從小到大排列后為x1,x2,…,x2n,則稱

為這組數(shù)的中位數(shù).4.百分位數(shù)(1)定義:一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值:至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值,且至少有

%的數(shù)據(jù)不小于該值.(2)計(jì)算方法:設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1,x2,…,xn,計(jì)算i=np%的值,如果i不是整數(shù),設(shè)i0為大于i的最小整數(shù),取

為p%分位數(shù);如果i是整數(shù),取

為p%分位數(shù).規(guī)定:0分位數(shù)是x1(即最小值),100%分位數(shù)是xn(即最大值)【思考】中位數(shù)和百分位數(shù)的關(guān)系是什么?提示:中位數(shù)是50%分位數(shù).5.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中,某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù),出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).6.極差一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.7.方差與標(biāo)準(zhǔn)差①如果x1,x2,…,xn,的平均數(shù)為

,則方差s2=,方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.②如果x1,x2,…,xn,的方差為s2,且a,b為常數(shù),則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差是a2s2.【思考】(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么?方差、標(biāo)準(zhǔn)差為0的含義是什么?提示:標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:[0,+∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度.(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差是如何反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的?提示:標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)對(duì)于一組數(shù)據(jù)來說,眾數(shù)是唯一的. (

)(2)中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中是唯一的,且一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù). (

)(3)x1,x2,x3的平均數(shù)為

,方差為s2,則2x1-1,2x2-1,2x3-1的平均數(shù)為2

-1,方差為4s2-1. (

)(4)方差、標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本波動(dòng)大小的特征數(shù).(

)提示:(1)×.眾數(shù)可能不唯一.(2)×.中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中是唯一的,可能是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù),也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù).(3)×.2x1-1,2x2-1,2x3-1的平均數(shù)為2-1,方差為4s2,故錯(cuò)誤.(4)√.2.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是 (

)A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù) B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù) D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)【解析】選D.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)皆為50.3.1,3,5,7,9,11,13,15,17,19的25%分位數(shù)是 (

)A.3 B.5 C.6 D.7【解析】選B.因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為10,而且10×25%=2.5,因此這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為5.4.樣本101,98,102,100,99的標(biāo)準(zhǔn)差為 (

)A.

B.0 C.1 D.2【解析】選A.樣本平均數(shù)=100,方差s2=2,所以標(biāo)準(zhǔn)差s=.類型一最值、平均數(shù)、眾數(shù)【典例】某公司員工的月工資情況如表所示:(1)分別計(jì)算該公司員工月工資的最值、平均數(shù)、和眾數(shù).(2)你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)來代表該公司員工的月工資更合理?月工資/元80005000400020001000800700員工/人125820122【思維·引】(1)依據(jù)最值、眾數(shù)的定義及平均數(shù)的計(jì)算公式求值.(2)根據(jù)第(1)問的計(jì)算結(jié)果和實(shí)際意義作答.【解析】(1)該公司員工月工資的最大值為8000元,最小值為700元,眾數(shù)為1000元.平均數(shù)為(8000×1+5000×2+4000×5+2000×8+1000×20+800×12+700×2)=1700(元),(2)用眾數(shù),因?yàn)樽畲笾禐?000元且只有一個(gè),無法代表該公司員工的月工資,平均數(shù)受到最大值的影響,也無法代表該公司員工的月工資,每月拿1000元的員工最多,眾數(shù)代表該公司員工的月工資最合理.【內(nèi)化·悟】眾數(shù)和平均數(shù)各有什么優(yōu)缺點(diǎn)?提示:數(shù)字特征優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使它無法客觀地反映總體特征平均數(shù)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān),可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的最值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低【類題·通】1.最值和眾數(shù)的求法在樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù),最大的數(shù)是最大值,最小的數(shù)是最小值.2.求平均數(shù)的步驟(1)求和:數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的和為x1+x2+…+xn.(2)求平均數(shù):和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n,即x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

(x1+x2+…+xn).【習(xí)練·破】某校在一次考試中,甲、乙兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:選用平均數(shù)與眾數(shù)評(píng)估這兩個(gè)班的成績(jī).分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲班161211155乙班351531311【解析】甲班平均數(shù)為(50×1+60×6+70×12+80×

11+90×15+100×5)=79.6(分),乙班平均數(shù)為(50×3+60×5+70×15+80×3+90×13+100×11)=80.2(分),從平均分看成績(jī)較好的是乙班;甲班眾數(shù)為90分,乙班眾數(shù)為70分,從眾數(shù)看成績(jī)較好的是甲班.【加練·固】1.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均數(shù)為a;x4,x5,…,x10的平均數(shù)為b,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

(

)A.

B.

C.

D.【解析】選A.因?yàn)閤1,x2,x3的平均數(shù)為a,所以x1,x2,x3的和為3a,因?yàn)閤4,x5,…,x10的平均數(shù)為b,所以x4,x5,…,x10的和為7b,則樣本數(shù)據(jù)的和為3a+7b,樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.2.某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練,兩群市民的年齡如下(單位:歲):甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征?(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征?【解析】(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為

=15(歲).中位數(shù)為15歲,眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為

=15(歲),中位數(shù)為6歲,眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,而平均數(shù)的可靠性較差.類型二中位數(shù)、百分位數(shù)的計(jì)算【典例】1.已知一組數(shù)據(jù)8,6,4,7,11,6,8,9,10,5,則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________.

2.甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在隨機(jī)抽取的12場(chǎng)比賽中的得分情況如下:甲運(yùn)動(dòng)員得分:12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.乙運(yùn)動(dòng)員得分:8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51.求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù),75%分位數(shù)和90%分位數(shù). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】1.排序并數(shù)出數(shù)據(jù)總數(shù),依據(jù)中位數(shù)的定義計(jì)算;2.依據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算.【解析】1.已知數(shù)據(jù)從小到大排列為:4,5,6,6,7,8,8,9,10,11,共10個(gè)數(shù),所以中位數(shù)是=7.5.答案:7.52.兩組數(shù)據(jù)都是12個(gè)數(shù),而且12×25%=3,12×75%=9,12×90%=10.8,因此,甲運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)為=22.5,甲運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為=38,甲運(yùn)動(dòng)員得分的90%分位數(shù)為x11=44.乙運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)為=15,乙運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為=34.5,乙運(yùn)動(dòng)員得分的90%分位數(shù)為x11=39.【內(nèi)化·悟】一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和百分位數(shù)一定在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)嗎?提示:當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí),中位數(shù)是中間兩數(shù)的平均數(shù),不一定在這些數(shù)據(jù)中出現(xiàn).求p%分位數(shù)時(shí),若i=np%是整數(shù),也是如此.【類題·通】1.求中位數(shù)的一般步驟(1)把數(shù)據(jù)按大小順序排列.(2)找出排列后位于中間位置的數(shù)據(jù),即為中位數(shù).若中間位置有兩個(gè)數(shù)據(jù),則求出這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).2.求百分位數(shù)的一般步驟(1)排序:按照從小到大排列:x1,x2,…,xn.(2)計(jì)算:求i=np%的值.(3)求值:【習(xí)練·破】在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭?成績(jī)(單位:m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的中位數(shù),25%分位數(shù),75%分位數(shù).【解析】這組數(shù)據(jù)有17個(gè)數(shù),17×25%=4.25,17×75%=12.75,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是x9=1.70,25%分位數(shù)是x5=1.60,75%分位數(shù)是x13=1.75.【加練·固】某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4則(1)命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)為________.

(2)命中環(huán)數(shù)的25%分位數(shù)為________.

(3)命中環(huán)數(shù)的75%分位數(shù)為________.

【解析】這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后為4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,所以命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)為=7.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為10,而且10×25%=2.5,10×75%=7.5,因此命中環(huán)數(shù)的25%分位數(shù)為x3=5,命中環(huán)數(shù)的75%分位數(shù)為x8=9.答案:(1)7

(2)5

(3)9類型三極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算和應(yīng)用角度1計(jì)算問題【典例】1.設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

,則其方差s2=

[

].若數(shù)據(jù)a1,a2,a3,a4的方差為3,則數(shù)據(jù)2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是(

)

A.6 B.8 C.10 D.122.甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:噸/公頃). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)則甲、乙兩種水稻產(chǎn)量的極差分別為________、________.

第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.83.(2019·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是________.

【思維·引】1.若變量x的方差為s2,y=ax+b,則變量y的方差為a2s2.2.依據(jù)極差的定義求值;3.首先求得平均數(shù),然后求解方差即可.【解析】1.選D.因?yàn)閿?shù)據(jù)a1,a2,a3,a4的方差s2=3,所以數(shù)據(jù)2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是22·s2=22×3=12.2.甲種水稻產(chǎn)量的極差為10.2-9.8=0.4,乙種水稻產(chǎn)量的極差為10.8-9.4=1.4.答案:0.4

1.43.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=8,所以該組數(shù)據(jù)的方差是

[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=.答案:

【素養(yǎng)·探】在與極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過對(duì)數(shù)據(jù)極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,提高運(yùn)算能力.將本例3的數(shù)據(jù)中增加一個(gè)數(shù)“8”,方差是多少?與原數(shù)據(jù)的方差相比有什么變化?【解析】由題意,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

=8,所以該組數(shù)據(jù)的方差是[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(8-8)2]=角度2應(yīng)用問題【典例】某廠準(zhǔn)備在甲、乙兩位工人中派一名工人參加省活動(dòng)技能大賽,為此安排甲、乙兩位工人在廠實(shí)習(xí)基地現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行加工直徑為30mm的零件測(cè)試,他倆各加工10個(gè)零件,甲、乙兩個(gè)人加工這10個(gè)零件的數(shù)據(jù)(單位:mm)用如下的數(shù)表所示:注:表格中第一列表示的意義是:甲、乙現(xiàn)場(chǎng)加工第一個(gè)零件的數(shù)據(jù)分別是30.0和30.2,第二列表示的意義是:甲、乙現(xiàn)場(chǎng)加工第二個(gè)零件的數(shù)據(jù)分別是30.0和29.8,…,其他列,以此類推. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)12345678910甲30.030.030.029.930.030.029.929.930.130.2乙30.229.830.230.229.829.830.129.930.030.0(1)若考慮平均數(shù)與完全符合要求的個(gè)數(shù),你認(rèn)為誰的成績(jī)好些?(2)計(jì)算甲、乙兩個(gè)人的方差,考慮平均數(shù)與方差,說明誰的成績(jī)好一些?【思維·引】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求出甲、乙的平均數(shù),分別確定甲、乙的完全符合要求的個(gè)數(shù).(2)分別求出甲和乙的方差,較小的成績(jī)好些.【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得:

所以兩人的平均數(shù)相等,但甲的完全符合要求的個(gè)數(shù)為5個(gè),而乙為2個(gè),所以甲的成績(jī)好些.(2)因?yàn)?

且=所以>,即在平均數(shù)相同的情況下,甲的波動(dòng)性小,所以甲的成績(jī)好些.【類題·通】1.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的五個(gè)步驟(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

.(2)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差:xi-

(i=1,2,3,…,n).(3)算出(2)中xi-

(i=1,2,3,…,n)的平方.(4)算出(3)中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差.(5)算出(4)中方差的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.2.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的兩個(gè)作用(1)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大,數(shù)據(jù)的離散程度較大;標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小,數(shù)據(jù)的離散程度較小.(2)在實(shí)際應(yīng)用中,常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策.在平均值相等的情況下,比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差來確定穩(wěn)定性.【習(xí)練·破】1.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,方差是2,則xy=________.

【解析】由平均數(shù)得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20,又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,把x+y=20代入,得xy=96.答案:962.某校高二年級(jí)在一次數(shù)學(xué)選拔賽中,由于甲、乙兩人的競(jìng)賽成績(jī)相同,