無錫市濱湖區2023屆初三第三次教學質量監測數學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖，CD是⊙O的弦，O是圓心，把⊙O的劣弧沿著CD對折，A是對折后劣弧上的一點，∠CAD=100°，則∠B的度數是（）A．100° B．80° C．60° D．50°2．如圖，將邊長為8㎝的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．一、單選題如圖：在中，平分，平分，且交于，若，則等于（）A．75 B．100 C．120 D．1254．如圖，直線l1∥l2，以直線l1上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于點B、C，連接AC、BC．若∠ABC=67°，則∠1=（）A．23° B．46° C．67° D．78°5．下列圖形中，哪一個是圓錐的側面展開圖？A． B． C． D．6．某班選舉班干部，全班有1名同學都有選舉權和被選舉權，他們的編號分別為1，2，…，1．老師規定：同意某同學當選的記“1”，不同意（含棄權）的記“0”．如果令其中i＝1，2，…，1；j＝1，2，…，1．則a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a1，1a1，2表示的實際意義是（）A．同意第1號或者第2號同學當選的人數B．同時同意第1號和第2號同學當選的人數C．不同意第1號或者第2號同學當選的人數D．不同意第1號和第2號同學當選的人數7．關于的不等式的解集如圖所示，則的取值是A．0 B． C． D．8．若⊙O的半徑為5cm，OA=4cm，則點A與⊙O的位置關系是（）A．點A在⊙O內 B．點A在⊙O上 C．點A在⊙O外 D．內含9．已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸相交于A、B兩點，其頂點為P，若S△APB=1，則b與c滿足的關系是（）A．b2-4c+1=0 B．b2-4c-1=0 C．b2-4c+4=0 D．b2-4c-4=010．已知x=1是方程x2+mx+n=0的一個根，則代數式m2+2mn+n2的值為（）A．–1B．2C．1D．–2二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一點D，使AD＝4，將線段AD繞點A按順時針方向旋轉，點D的對應點是點P，連接BP，取BP的中點F，連接CF，當點P旋轉至CA的延長線上時，CF的長是_____，在旋轉過程中，CF的最大長度是_____.12．分解因式：x2y﹣y＝_____．13．關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是_____．14．如圖，將一對直角三角形卡片的斜邊AC重合擺放，直角頂點B，D在AC的兩側，連接BD，交AC于點O，取AC，BD的中點E，F，連接EF．若AB＝12，BC＝5，且AD＝CD，則EF的長為_____．15．因式分解：x2﹣10x+24=_____．16．如圖，為了測量鐵塔AB高度，在離鐵塔底部（點B）60米的C處，測得塔頂A的仰角為30°，那么鐵塔的高度AB=________米．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，∠BAO=90°，AB=8，動點P在射線AO上，以PA為半徑的半圓P交射線AO于另一點C，CD∥BP交半圓P于另一點D，BE∥AO交射線PD于點E，EF⊥AO于點F，連接BD，設AP=m．（1）求證：∠BDP=90°．（2）若m=4，求BE的長．（3）在點P的整個運動過程中．①當AF=3CF時，求出所有符合條件的m的值．②當tan∠DBE=時，直接寫出△CDP與△BDP面積比．18．（8分）如圖，∠BCD＝90°，且BC＝DC，直線PQ經過點D．設∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于點A，將射線CA繞點C按逆時針方向旋轉90°，與直線PQ交于點E．當α＝125°時，∠ABC＝°；求證：AC＝CE；若△ABC的外心在其內部，直接寫出α的取值范圍．19．（8分）解方程：3x2﹣2x﹣2＝1．20．（8分）在□ABCD中，E為BC邊上一點，且AB=AE，求證：AC=DE。21．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）．（1）求拋物線的解析式；（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；（3）點M在對稱軸右側的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．22．（10分）某學校為增加體育館觀眾坐席數量，決定對體育館進行施工改造．如圖，為體育館改造的截面示意圖．已知原座位區最高點A到地面的鉛直高度AC長度為15米，原坡面AB的傾斜角∠ABC為45°，原坡腳B與場館中央的運動區邊界的安全距離BD為5米．如果按照施工方提供的設計方案施工，新座位區最高點E到地面的鉛直高度EG長度保持15米不變，使A、E兩點間距離為2米，使改造后坡面EF的傾斜角∠EFG為37°．若學校要求新坡腳F需與場館中央的運動區邊界的安全距離FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），請問施工方提供的設計方案是否滿足安全要求呢？請說明理由．（參考數據：sin37°≈，tan37°≈）23．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．求證：PD是⊙O的切線；求證：△ABD∽△DCP；當AB=5cm，AC=12cm時，求線段PC的長．24．如圖，反比例y=的圖象與一次函數y=kx﹣3的圖象在第一象限內交于A（4，a）．（1）求一次函數的解析式；（2）若直線x=n（0＜n＜4）與反比例函數和一次函數的圖象分別交于點B，C，連接AB，若△ABC是等腰直角三角形，求n的值．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、B【解析】試題分析：如圖，翻折△ACD，點A落在A′處，可知∠A=∠A′=100°，然后由圓內接四邊形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.故選：B2、A【解析】分析：根據折疊的性質，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設CN=x，則DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根據勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長．詳解：設CN=xcm，則DN=（8﹣x）cm，由折疊的性質知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=1．故選：A．點睛：此題主要考查了折疊問題，明確折疊問題其實質是軸對稱，對應線段相等，對應角相等，通常用勾股定理解決折疊問題．3、B【解析】

根據角平分線的定義推出△ECF為直角三角形，然后根據勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，進而可求出CE2+CF2的值．【詳解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC為直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，

∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．

故選：B．【點睛】本題考查角平分線的定義（從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線），直角三角形的判定（有一個角為90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的運用，解題的關鍵是首先證明出△ECF為直角三角形．4、B【解析】

根據圓的半徑相等可知AB=AC，由等邊對等角求出∠ACB，再由平行得內錯角相等，最后由平角180°可求出∠1.【詳解】根據題意得：AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，∵直線l1∥l2，∴∠2=∠ABC=67°，∵∠1+∠ACB+∠2=180°，∴∠ACB=180°-∠1-∠ACB=180°-67°-67°=46o．故選B．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練根據這些性質得到角之間的關系是關鍵.5、B【解析】

根據圓錐的側面展開圖的特點作答．【詳解】A選項：是長方體展開圖．B選項：是圓錐展開圖.C選項：是棱錐展開圖.D選項：是正方體展開圖.故選B.【點睛】考查了幾何體的展開圖，注意圓錐的側面展開圖是扇形．6、B【解析】

先寫出同意第1號同學當選的同學，再寫出同意第2號同學當選的同學，那么同時同意1，2號同學當選的人數是他們對應相乘再相加．【詳解】第1，2，3，……，1名同學是否同意第1號同學當選依次由a1，1，a2，1，a3，1，…，a1，1來確定，是否同意第2號同學當選依次由a1，2，a2，2，a3，2，…，a1，2來確定，∴a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a1，1a1，2表示的實際意義是同時同意第1號和第2號同學當選的人數，故選B．【點睛】本題考查了推理應用題，題目比較新穎，是基礎題．7、D【解析】

首先根據不等式的性質，解出x≤，由數軸可知，x≤-1，所以=-1，解出即可；【詳解】解：不等式，解得x<，由數軸可知，所以，解得；故選：．【點睛】本題主要考查了不等式的解法和在數軸上表示不等式的解集，在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．8、A【解析】

直接利用點與圓的位置關系進而得出答案．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5cm，OA=4cm，∴點A與⊙O的位置關系是：點A在⊙O內．故選A．【點睛】此題主要考查了點與圓的位置關系，正確①點P在圓外?d＞r，②點P在圓上?d=r，③點P在圓內?d＜r是解題關鍵．9、D【解析】

拋物線的頂點坐標為P（?，），設A、B兩點的坐標為A（，0）、B（，0）則AB＝，根據根與系數的關系把AB的長度用b、c表示，而S△APB＝1，然后根據三角形的面積公式就可以建立關于b、c的等式．【詳解】解：∵，∴AB＝＝，∵若S△APB＝1∴S△APB＝×AB×＝1，∴?××，∴，設＝s，則，故s＝2，∴＝2，∴．故選D．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點情況與判別式的關系、拋物線頂點坐標公式、三角形的面積公式等知識，綜合性比較強．10、C【解析】

把x=1代入x2+mx+n=0，可得m+n=-1，然后根據完全平方公式把m2+2mn+n2變形后代入計算即可.【詳解】把x=1代入x2+mx+n=0，代入1+m+n=0，∴m+n=-1，∴m2+2mn+n2=(m+n)2=1.故選C.【點睛】本題考查了方程的根和整體代入法求代數式的值，能使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的根.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、，+2．【解析】

當點P旋轉至CA的延長線上時，CP＝20，BC＝2，利用勾股定理求出BP，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CF的長；取AB的中點M，連接MF和CM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CM的長，利用三角形中位線定理，可得FM的長，再根據當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，即可得到結論．【詳解】當點P旋轉至CA的延長線上時，如圖2．∵在直角△BCP中，∠BCP＝90°，CP＝AC+AP＝6+4＝20，BC＝2，∴BP＝，∵BP的中點是F，∴CF＝BP＝．取AB的中點M，連接MF和CM，如圖2．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，∴AB＝2．∵M為AB中點，∴CM＝AB＝，∵將線段AD繞點A按順時針方向旋轉，點D的對應點是點P，∴AP＝AD＝4，∵M為AB中點，F為BP中點，∴FM＝AP＝2．當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF＝CM+FM＝+2．故答案為，+2．【點睛】考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及勾股定理．根據題意正確畫出對應圖形是解題的關鍵．12、y（x+1）（x﹣1）【解析】

觀察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后發現x2-1符合平方差公式，利用平方差公式繼續分解可得.【詳解】解：x2y﹣y＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1）．故答案為：y（x+1）（x﹣1）．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．13、k＞【解析】

由方程根的情況，根據根的判別式可得到關于k的不等式，則可求得k的取值范圍．【詳解】∵關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不相等的實根，∴△＞0，即（2k+1）2-4（k2+1）＞0，解得k＞，故答案為k＞．【點睛】本題主要考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數與根的判別式的關系是解題的關鍵．14、．【解析】

先求出BE的值，作DM⊥AB，DN⊥BC延長線，先證明△ADM≌△CDN（AAS），得出AM=CN，DM=DN，再根據正方形的性質得BM=BN，設AM=CN=x，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x，求出x=，BN=，根據BD為正方形的對角線可得出BD=，BF=BD=，EF==.【詳解】∵∠ABC=∠ADC，∴A,B,C,D四點共圓，∴AC為直徑，∵E為AC的中點，∴E為此圓圓心，∵F為弦BD中點，∴EF⊥BD，連接BE，∴BE=AC===；作DM⊥AB，DN⊥BC延長線，∠BAD=∠BCN,在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN（AAS），∴AM=CN，DM=DN，∵∠DMB=∠DNC=∠ABC=90°,∴四邊形BNDM為矩形，又∵DM=DN,∴矩形BNDM為正方形，∴BM=BN，設AM=CN=x，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x，∴12-x=5+x，x=,BN=，∵BD為正方形BNDM的對角線，∴BD=BN=，BF=BD=，∴EF===.故答案為.【點睛】本題考查了正方形的性質與全等三角形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握正方形與全等三角形的性質與應用.15、（x﹣4）（x﹣6）【解析】

因為(－4)×(－6)=24，(－4)+(－6)=－10，所以利用十字相乘法分解因式即可.【詳解】x2﹣10x+24=x2﹣10x+(－4)×(－6)=（x﹣4）（x﹣6）【點睛】本題考查的是因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.16、20【解析】

在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.【詳解】在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan30°==,BC=60，解得AB=20.故答案為20.【點睛】本題考查的知識點是解三角形的實際應用，解題的關鍵是熟練的掌握解三角形的實際應用.三、解答題（共8題，共72分）17、（1）詳見解析；（2）的長為1；（3）m的值為或；與面積比為或．【解析】

由知，再由知、，據此可得，證≌即可得；

易知四邊形ABEF是矩形，設，可得，證≌得，在中，由，列方程求解可得答案；

分點C在AF的左側和右側兩種情況求解：左側時由知、、，在中，由可得關于m的方程，解之可得；右側時，由知、、，利用勾股定理求解可得．作于點G，延長GD交BE于點H，由≌知，據此可得，再分點D在矩形內部和外部的情況求解可得．【詳解】如圖1，，，，、，，，≌，．，，，，，四邊形ABEF是矩形，設，則，，，，，≌，，≌，，在中，，即，解得：，的長為1．如圖1，當點C在AF的左側時，，則，，，，在中，由可得，解得：負值舍去；如圖2，當點C在AF的右側時，，，，，，在中，由可得，解得：負值舍去；綜上，m的值為或；如圖3，過點D作于點G，延長GD交BE于點H，≌，，又，且，，當點D在矩形ABEF的內部時，由可設、，則，，則；如圖4，當點D在矩形ABEF的外部時，由可設、，則，，則，綜上，與面積比為或．【點睛】本題考查了四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握矩形的判定與性質、全等三角形的判定和性質及勾股定理、三角形的面積等知識點．18、（1）125；（2）詳見解析；（3）45°＜α＜90°．【解析】

（1）利用四邊形內角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；（2）證明△ABC≌△EDC（AAS）即可求解；（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其直角邊上，∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，即可求解．【詳解】（1）在四邊形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ABC＝∠PDC＝α＝125°，故答案為125；（2）∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，又BC＝DC，由（1）知：∠ABC＝∠PDC，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AC＝CE；（3）當∠ABC＝α＝90°時，△ABC的外心在其斜邊上；∠ABC＝α＞90°時，△ABC的外心在其外部，而45°＜α＜135°，故：45°＜α＜90°．【點睛】本題考查圓的綜合運用，解題的關鍵是掌握三角形全等的判定和性質（AAS）、三角形外心．19、【解析】

先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根據公式即可求出答案．【詳解】解：x＝=即∴原方程的解為.【點睛】本題考查對解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知識點的理解和掌握，能熟練地運用公式法解一元二次方程是解此題的關鍵．20、見解析【解析】

在ABC和EAD中已經有一條邊和一個角分別相等，根據平行的性質和等邊對等角得出∠B＝∠DAE證得ABC≌EAD，繼而證得AC＝DE.【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠B＝∠DAE.∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△EAD(SAS)，∴AC=DE.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的基本性質和全等三角形的判定及性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.21、（1）y=﹣x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形；證明見解析；（3）（，2）或（，﹣2）．【解析】

（1）由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由B、D、E的坐標可分別求得DE、BD和BE的長，再利用勾股定理的逆定理可進行判斷；（3）由B、E的坐標可先求得直線BE的解析式，則可求得F點的坐標，當AF為邊時，則有FM∥AN且FM=AN，則可求得M點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標；當AF為對角線時，由A、F的坐標可求得平行四邊形的對稱中心，可設出M點坐標，則可表示出N點坐標，再由N點在x軸上可得到關于M點坐標的方程，可求得M點坐標．【詳解】解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴A（4，0），C（0，3），∵拋物線經過O、A兩點，∴拋物線頂點坐標為（2，3），∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，把A點坐標代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形．證明：由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，∴△EDB為等腰直角三角形；（3）存在．理由如下：設直線BE解析式為y=kx+b，把B、E坐標代入可得，解得，∴直線BE解析式為y=x+1，當x=2時，y=2，∴F（2，2），①當AF為平行四邊形的一邊時，則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等，即M到x軸的距離為2，∴點M的縱坐標為2或﹣2，在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，∵點M在拋物線對稱軸右側，∴x＞2，∴x=，∴M點坐標為（，2）；在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，∵點M在拋物線對稱軸右側，∴x＞2，∴x=，∴M點坐標為（，﹣2）；②當AF為平行四邊形的對角線時，∵A（4，0），F（2，2），∴線段AF的中點為（3，1），即平行四邊形的對稱中心為（3，1），設M（t，﹣t2+3t），N（x，0），則﹣t2+3t=2，解得t=，∵點M在拋物線對稱軸右側，∴x＞2，∵t＞2，∴t=，∴M點坐標為（，2）；綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（，2）或（，﹣2）．【點睛】本題為二次函數的綜合應用，涉及矩形的性質、待定系數法、勾股定理及其逆定理、平行四邊形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得拋物線的頂點坐標是解題的關鍵，注意拋物線頂點式的應用，在（2）中求得△EDB各邊的長度是解題的關鍵，在（3）中確定出M點的縱坐標是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．22、不滿足安全要求,理由見解析．【解析】

在Rt△ABC中，由∠ACB=90°，AC=15m，∠ABC=45°可求得BC=15m；在Rt△EGD中，由∠EGD=90°，EG=15m，∠EFG=37°，可解得GF=20m；通過已知條件可證得四邊形EACG是矩形，從而可得GC=AE=2m；這樣可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5，由此可知：“設計方案不滿足安全要求”.【詳解】解：施工方提供的設計方案不滿足安全要求，理由如下：在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°，∴BC==15m．在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°，∴GF=≈=20m．∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AC，∴四邊形EGCA是矩形，∴GC=EA=2m，∴DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5.∴施工方提供的設計方案不滿足安全要求．23、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CP=16.9cm．【解析】【分析】（1）先判斷出∠BAC=2∠BAD，進而判斷出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出結論；（2）先判斷出∠ADB=∠P，再判斷出∠DCP=∠ABD，即可得出結論；（3）先求出BC，再判斷出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=，最后用△ABD∽△DCP得出比例式