O.CAEBD垂徑定理垂徑定理推論觀察并回答

（1）兩條直徑AB、CD，CD平分AB嗎？（2）若把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦，弦AB是否一定被直徑CD平分？思考：當非直徑的弦AB與直徑CD有什么位置關系時，弦AB有可能被直徑CD平分？垂徑定理推論·OABCDE?思考如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E.條件CD為直徑CD⊥AB垂徑定理的幾何語言敘述:CD為直徑，AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴（2）你能發現圖中有哪些相等的線段和弧？為什么？（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？結論AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．CD⊥AB垂徑定理推論垂徑定理如圖,小明的理由是:連接OA,OB,●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點A和點B關于CD對稱.∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂徑定理推論夯實基礎判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？注意：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！我學習，我快樂Rammingfoundation

垂徑定理推論判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？定理辨析×√×√√√垂徑定理推論垂徑定理三種語言定理:

垂直于弦的直徑平分弦,

并且平分弦所對的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個重要的結論,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂徑定理推論雙基訓練判斷：()(1)垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.

()(2)經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.

()(3)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.√垂徑定理推論

如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。E.ABO練一練：試金石解：連結OA。過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根據勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半徑為5厘米。垂徑定理推論O·ABE?思考變形2、CE=8,DE=2,則AB=

。DC變形1、AB=8,CD=10,則圓心O到AB的距離是

。變形3、CD=10,AB=8,則DE=

。382若CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點E,∟到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，這三者之間有怎樣的關系？垂徑定理推論如圖，兩個圓都以點O為圓心，求證:AC=BD．O·AB·CD?練練一活動4垂徑定理推論垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。題設結論（1）過圓心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所對的優弧（5）平分弦所對的劣弧垂徑定理推論你可以寫出相應的命題嗎?垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.知二推三垂徑定理推論垂徑定理及逆定理●OABCDM└條件結論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,并且平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,并且垂直平分弦.①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂徑定理推論填空：如圖，在⊙O中

（1）若MN⊥AB，MN為直徑；則（ ），（ ），（ ）；（2）若AC＝BC，MN為直徑；AB不是直徑，則（ ），（ ），（ ）；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則（ ），（ ），（ ）；（4）若弧AM＝弧BM，MN為直徑，則（ ），（ ），（ ）。COBAMN我能行！更上層樓Upperformationbuilding

垂徑定理推論判斷⑴垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧()⑵弦所對的兩弧中點的連線,垂直于弦,并且經過圓心()⑶圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分()⑷平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧()⑸圓內兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√直徑兩條直徑不是直徑垂徑定理推論（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2）平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)不是直徑直徑垂徑定理推論1.平分弧的直線，平分這條弧所對的弦.2.弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分.ABCDO(5)ABCDO(6)E垂徑定理推論1、如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點，且AC＝BD求證：△OCD為等腰三角形。E垂徑定理推論2、如圖，兩個圓都以點O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認為AC與BD的大小有什么關系？為什么？G垂徑定理推論變式1.已知：如圖，線段AB與⊙O交于C、D兩點，且OA=OB．求證：AC=BD．．BOACD證明圓中與弦有關的線段相等時,常借助垂徑定理,利用其平分弦的性質來解決問題.

M垂徑定理推論如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長.·ABCD0EFGHMN3452垂徑定理推論如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA=10m，拱高為4m，求拱橋跨度AB的長。

1046816垂徑定理推論

變式2

連接OC，OD，設OC=OD，求證：AC=BD．DOCAB垂徑定理推論練習1:如圖，CD為圓O的直徑，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長。OABCDEF垂徑定理推論2:在圓O中，直徑CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圓O的半徑。

ABCDEO垂徑定理推論試一試挑戰自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.（）⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧.（）⑶經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.（）垂徑定理推論2.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.圖中相等的線段有

:

.圖中相等的劣弧有:

.垂徑定理推論D1.P為⊙O內一點,且OP=2cm,若⊙O的半徑為3cm,則過P點的最短弦長等于()A.1cmB.2cmC.CmD.2.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm,⊙O的直徑為15cm,則弦AB,CD間的距離為()A.1.5cmB.10.5cm;C.1.5cm或10.5cmD.都不對;COP23垂徑定理推論解：（1）OAB+AOC=90AC=CB，OC是半徑（已知）OCAB(如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑垂直這條弧所對的弦）ADO=90OAB=90-35=55ABCDO如圖，在扇形OAB中，C是AB的中點，OC交AB于點DAOC=35,AD=16cm求（1）OAB的度數（2）AB的長垂徑定理推論已知：如圖，⊙O中，AB為弦，C為弧AB的中點，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半徑OA.xx-13垂徑定理推論課堂學習檢測一、基礎知識填空1．圓是______對稱圖形，它的對稱軸是______________________；圓又是______對稱圖形，它的對稱中心是____________________．2．垂直于弦的直徑的性質定理是____________________________________________．3．平分________的直徑________于弦，并且平分________________________________．垂徑定理推論二、填空題4．圓的半徑為5cm，圓心到弦AB的距離為4cm，則AB=______cm．5．如圖，CD為⊙O的直徑，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，則AB=______cm．垂徑定理推論6．如圖，⊙O的半徑OC為6cm，弦AB垂直平分OC，則AB=______cm，∠AOB=______．7．如圖，AB為⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a