2023年中考?jí)狠S模型：阿氏圓1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，4個(gè)單位長度為半徑作圓，點(diǎn)C是⊙上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

） B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0），∴OA=12，OD=4，則AD=8，AC=4，取E（-10，0），則AE=2，DE=6，在△AEC和△ACD中，∠CAE=∠DAC，，∴△AEC∽△ACD，∴，即CE=CD，則BC+CD=BC+CE≥BE，即BC+CD的最小值為BE的長，即為=，2．在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O(shè)為圓心，4為半徑作圓O，交兩邊于點(diǎn)C，D，P為劣弧CD上一動(dòng)點(diǎn)，則最小值為______．【答案】【詳解】解：如圖所示，連接OP，取OC中點(diǎn)為M，連接PM，BM，∵圓O半徑為4，點(diǎn)P為劣弧CD上一動(dòng)點(diǎn)，∴OC＝OP＝4，又∵點(diǎn)M為OC中點(diǎn)，∴，∵，∠MOP＝∠POA，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，最小值為BM，∵∠AOB＝90°，∴，又OM＝2，OB＝10，∴，∴最小值為，3．在中，，，，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，分別交，于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【詳解】解：如圖所示，在上取一點(diǎn)，使得，連接∵，∴，又∴，∴，∴，∴∵，∴，4．如圖，在中，，，，半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值＝_____．【答案】【詳解】解：如圖，連接，在上取點(diǎn)D，使，連結(jié)，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，的值最小，在中，∵，，∴，∴的最小值為，5．在中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，寫出的最小值.【答案】.【詳解】的最小值為，提示：，，的最小值為.6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（I）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（II）以原點(diǎn)為圓心，長為半徑作，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，連接，，求的最小值．【詳解】（I）∵，，∴．∴拋物線的解析式為．∴，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

（II）如圖，連接，在上截取，使得，連接，，此時(shí)，．

∵，，∴．∴，即．∴．∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值即為的值．∴，∴的最小值為．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，y與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作的圓上，連接BP、CP，請你直接寫出的最小值．【詳解】解：如圖3，連接，，在軸截取，使，∵，∴，∴，∴，∴，上、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，在中，，即的最小值時(shí)．8．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在軸、軸上分別有點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【詳解】解：如解圖，在軸上取一點(diǎn)，連接，，．則，，，∴．又∵，∴．∴，即．∴，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長．∵．∴當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)，有最小值為．9．如圖，已知拋物線的解析式為與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接、，求的最小值．【詳解】解：∵拋物線的解析式為，∴，．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑在第一象限的圓弧．如解圖，在軸上取一點(diǎn)，連接，，．則∴，，，∴，又∵，∴，∴，即．∴．當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長．∵．∴當(dāng)為與圓弧的交點(diǎn)時(shí)，有最小值為．10．如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=-交y軸與點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)EF∥y軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為_______；（2）在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為圓E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM的最小值．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式可得：，解得，拋物線的解析式為（2）設(shè)直線解析式為將代入得，解得由題意可得：設(shè)，，則∵，，∴為直角三角形，結(jié)合圖形可得，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的矩形為矩形，為矩形的對角線由矩形的性質(zhì)可得，線段的中點(diǎn)重合則，解得，∴，由E點(diǎn)坐標(biāo)可知，E在x軸上（3）取的中點(diǎn)，如下圖：由（2）可知，，，∴∴連接交圓于點(diǎn)，連接∴∴又∵∴∴∴∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立設(shè)，化簡得解得或（舍去，在點(diǎn)的左邊）∴∴即的最小值為11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一拋物線頂點(diǎn)為，拋物線與軸交于點(diǎn)，交軸于兩點(diǎn)（在的左邊），（1）求出該拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)且不與重合，作軸交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，．當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，為線段上一點(diǎn)，連接，求出的最小值；（3）若直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，以為圓心1為半徑作圓，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；【詳解】解：（1）∵頂點(diǎn)∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解得故二次函數(shù)的解析式為（2）如圖∵軸∴∵是以為底的等腰三角形∴，，∴兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱∴，以為斜邊向外作，使得∴故當(dāng)三點(diǎn)共線，最短當(dāng)三點(diǎn)共線，∴設(shè)，則在中，，∴，解得∴，∴，∴（3）連接，，在上截取設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于∴∵拋物線的頂點(diǎn)為∴對稱軸為直線∴設(shè)直線的解析式為代入的坐標(biāo)得，解得∴直線的解析式為令則∴在中，，∴∴又∴∴∴∴∴當(dāng)三點(diǎn)共線，最短作軸于∵，∴∵∴∴∴，∴在中，，∴∴12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式以及直線的解析式；（2）以原點(diǎn)為圓心，OA長為半徑作⊙O，點(diǎn)為⊙O上的一點(diǎn)，連接、，求的最小值．【詳解】（1）由題意可知，，解得．∴拋物線的解析式為；令，即，解得，，∴，，令，則，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得解得∴直線的解析式為；（2）如解圖，連接，在上截取，使得，連接，．此時(shí)，．∵，，∴．∴，即．∴．當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值即為的值，∵，∴的最小值為．13．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)P是軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)直線為拋物線的對稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【詳解】（1）解：由題意，，，設(shè)拋物線的解析式為，把代入得到．故拋物線的解析式為．（2）∵，∴對稱軸是直線x=，∵是對稱軸，∴．∵，，∴AF=．∵tan∠OAC=，∴∠OAC=60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD=30°，∴OD=tan∠OAD×=1，∴D(0，-1)．設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，∴，∴，∴，當(dāng)x=時(shí)，，∴，∴AH=．∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，在上取一點(diǎn)，使得，則AK=．作KG⊥AB于點(diǎn)G，則，∴，∴，∴AG=，∴OG=-=，當(dāng)x=-時(shí)，=，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值．14．如圖，直線y=x+2與拋物線y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，拋物線的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)M．作點(diǎn)B關(guān)于直線MD的對稱點(diǎn)B'，以點(diǎn)M為圓心，MD為半徑作⊙M，點(diǎn)Q是⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，求QB'+QB的最小值．【詳解】∵拋物線對稱軸為x=m，當(dāng)x=m時(shí)，y=x+2=m+2，∴M（m，m+2），又∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AM=1×=，BM=2×=2，∵D（m，m），∴以MD為半徑的圓的半徑為（m+2）﹣m=2，取MB的中點(diǎn)N，連接QB、QN、QB'，∴MN=BN=，∵，∠QMN=∠BMQ，∴△MNQ∽△MQB，∴，∴，∴當(dāng)Q、N、B'三點(diǎn)共線時(shí)QB'+QB最小，∵直線AB的解析式為y=x+2，∴直線AB與對稱軸夾角為45°，∵點(diǎn)B、B'關(guān)于對稱軸對稱，∴∠BMB'=90°，由勾股定理得：QB'+QB的最小值為B'N==，即QB'+QB的最小值是．15．已知拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，1為半徑作⊙A，點(diǎn)為⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，求的最小值；（2）如圖2，若點(diǎn)是直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，以為圓心，以1為半徑作⊙H，點(diǎn)是⊙H上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（3）如圖3，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，求的最大值．【詳解】解：（1）令，則，解得，，∴，，∴，將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式為，∴，如圖，在軸上截取，則，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)，∵，且，∴，∴，∴，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，即取得最小值，最小值為的長，∵，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴，∴的最小值為；（2）由拋物線，可得拋物線對稱軸為直線，設(shè)直線的解析式為，將，代入，易得直線的解析式為，∵點(diǎn)為直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），如圖，連接，與交于點(diǎn)，在上截取，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，∵，∴，，∴，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，要使最小，則取最小值．即點(diǎn)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，值最小，最小值為的長，易得直線的解析式為，∵點(diǎn)在直線上，∴設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則其縱坐標(biāo)為，∵，∴，∵軸，軸，∴，∴，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），∴，∴的最小值為；（3）∵點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為2，∴，∵，∴軸，∵軸，∴易證四邊形為矩形，∴，如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接并延長交于點(diǎn)，連接，易得直線的解析式為，∴，∵，，且，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的值最大，最大值為的長，∵，，∴，，∴，∴的最大值為．16.在平面直角坐標(biāo)系