學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1.2.2函數的和、差、積、商的導數學習目標1。理解導數四則運算法則.2.能利用導數四則運算法則求導．知識點導數的四則運算思考1已知函數f(x)＝x2，g(x）＝x，試求f′(x）和g′（x）．思考2分別求函數f(x)＋g(x）,f(x）－g(x），f（x)·g（x），eq\f(fx，gx）的導數．思考3你能發現f(x)±g（x），f(x）·g（x)，eq\f(fx,gx）的導數與f′（x），g′（x)的關系嗎？設兩個函數分別為f(x)和g（x)，則有：兩個函數的和的導數［f（x)＋g（x）］′＝________兩個函數的差的導數[f（x)－g(x)］′＝________兩個函數的積的導數［f（x)·g(x)]′＝______________兩個函數的商的導數[eq\f（fx，gx)］′＝______________(g（x)≠0）類型一應用導數的運算法則求導例1求下列函數的導數：（1)y＝eq\f（\r（x5)＋\r（x7)＋\r（x9),\r（x）)；（2）y＝eq\f(x2＋1，x2＋3）；（3）y＝(x＋1)（x＋3)（x＋5）；（4)y＝xtanx.反思與感悟（1）解答此類問題時常因導數的四則運算法則不熟而失分．（2）對一個函數求導時，要緊扣導數運算法則，聯系基本初等函數的導數公式，當不易直接應用導數公式時，應先對函數進行化簡(恒等變形）,然后求導．這樣可以減少運算量，優化解題過程．（3)利用導數法則求導的原則是盡可能化為和、差，利用和、差的求導法則求導，盡量少用積、商的求導法則求導．跟蹤訓練1求下列函數的導數：(1)y＝(2x2＋3)（3x－2）；(2)y＝2xcosx－3xlnx；(3）y＝eq\f（x－1,x＋1).類型二導數運算法則的應用例2求曲線y＝eq\f(2x,x2＋1)在點(1，1)處的切線方程．反思與感悟求函數f（x)圖象上的點P(x0，f(x0））處的切線方程的步驟為：先求出函數在x0處的導數f′（x0)(即在點P處切線的斜率)，再用點斜式寫出切線方程，若切點未給出，可先設出，然后由題目所給條件列方程求出即可．跟蹤訓練2求過點P（1,3）且與曲線y＝x3－x＋3相切的切線方程．類型三知切線方程求參數例3已知函數f（x）＝eq\f（ax－6,x2＋b）的圖象在點M（－1，f(－1））處的切線方程為x＋2y＋5＝0,求函數y＝f（x）的解析式．反思與感悟（1）解答本題的關鍵是能正確根據條件進行求導運算、列出方程組．（2)解決與切線有關的問題時,要充分運用切點的坐標．特別是切點的橫坐標，因為切點的橫坐標與導數有著直接的聯系．跟蹤訓練3已知函數f（x)＝eq\f（alnx,x＋1）＋eq\f（b,x），曲線y＝f（x)在點（1，f（1））處的切線方程為x＋2y－3＝0。求a,b的值．1．設y＝－exsinx,則y′＝______________________.2．函數f（x）＝eq\f(cosx,1－x)的導數為__________________．3．設f(x）＝xlnx，若f′（x0)＝2，則x0＝________。4．設函數f（x）＝x3－3ax＋b(a≠0）．若曲線y＝f(x）在點(2，f（2)）處與直線y＝8相切，則ab＝________。5．已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx,且直線l與曲線C相切于點(x0,y0)(x0≠0），求直線l的方程及切點坐標．1．導數的求法對于函數求導，一般要遵循先化簡,再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用,而且要特別注意求導法則對求導的制約作用．首先,在化簡時,要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤；其次，利用導數公式求函數的導數時,一定要將函數化為八個基本初等函數中的某一個，再套用公式求導數．2．和與差的運算法則可以推廣[f（x1）±f（x2)±…±f(xn）］′＝f′(x1）±f′(x2)±…±f′（xn）．3．積商的求導法則（1)若c為常數，則［c·f（x)］′＝c·f′(x）；(2)類比[f(x）·g(x)］′＝f′(x)·g（x）＋f(x）·g′(x）記憶,[eq\f（fx,gx）]′＝eq\f(f′x·gx－fx·g′x,g2x）;(3)當f(x）＝1時有[eq\f(1，gx)]′＝－eq\f（g′x,g2x）.提醒：完成作業1.2。2

答案精析問題導學知識點思考1f′（x)＝2x,g′(x)＝1。思考2[f(x)＋g(x）]′＝2x＋1,［f(x）－g（x)］′＝2x－1，［f(x)·g(x)]′＝3x2，［eq\f（fx,gx)］′＝1.思考3[f(x）±g（x）]′＝f′(x)±g′(x），［f(x)·g(x）］′＝f′（x)g(x）＋f(x)g′(x)，[eq\f（fx，gx）]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x，g2x)。f′（x)＋g′(x）f′(x）－g′(x)f′（x)g(x）＋f（x）g′(x)eq\f（f′xgx－fxg′x，g2x）題型探究例1(1)∵y＝eq\f(\r（x5）＋\r（x7)＋\r(x9）,\r（x））＝x2＋x3＋x4，∴y′＝（x2）′＋（x3)′＋（x4）′＝2x＋3x2＋4x3.（2）方法一y′＝eq\f(x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′，x2＋32)＝eq\f（2xx2＋3－2xx2＋1,x2＋32）＝eq\f(4x，x2＋32).方法二y＝eq\f（x2＋1,x2＋3)＝eq\f(x2＋3－2，x2＋3)＝1－eq\f(2，x2＋3)，y′＝（1－eq\f（2,x2＋3））′＝(eq\f(－2,x2＋3))′＝eq\f(－2′x2＋3－－2x2＋3′,x2＋32）＝eq\f(4x，x2＋32).（3)方法一y′＝[(x＋1）（x＋3）]′(x＋5)＋（x＋1)（x＋3)(x＋5)′＝[（x＋1)′(x＋3）＋（x＋1）（x＋3)′］(x＋5)＋（x＋1)(x＋3）＝（2x＋4）（x＋5)＋(x＋1)（x＋3）＝3x2＋18x＋23.方法二y＝（x＋1）（x＋3）（x＋5)＝（x2＋4x＋3）(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，y′＝（x3＋9x2＋23x＋15）′＝3x2＋18x＋23。（4)f′(x)＝（xtanx）′＝(eq\f(xsinx,cosx））′＝eq\f（xsinx′cosx－xsinxcosx′，cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x，cos2x）＝eq\f(sinxcosx＋x，cos2x）.跟蹤訓練1解(1)方法一y′＝（2x2＋3）′(3x－2)＋（2x2＋3)(3x－2）′＝4x（3x－2)＋（2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9。方法二∵y＝（2x2＋3)（3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6,∴y′＝18x2－8x＋9。（2）y′＝(2xcosx－3xlnx）′＝(2x)′cosx＋2x（cosx）′－3·[x′lnx＋x（lnx）′］＝2xln2cosx－2xsinx－3（lnx＋x·eq\f(1,x)）＝2xln2cosx－2xsinx－3lnx－3.(3）y′＝（eq\f（x－1,x＋1）)′＝eq\f（x－1′x＋1－x－1x＋1′,x＋12）＝eq\f(x＋1－x－1，x＋12)＝eq\f(2，x＋12).例2解y′＝eq\f（2x2＋1－2x·2x，x2＋12)＝eq\f(2－2x2,x2＋12），∴當x＝1時，y′＝eq\f（2－2，4）＝0,即曲線在點（1，1）處的切線斜率k＝0。因此曲線y＝eq\f(2x，x2＋1)在點(1,1)處的切線方程為y＝1.跟蹤訓練2解設切點P0（x0，xeq\o\al（3，0）－x0＋3)．∵y′＝3x2－1,∴k＝3xeq\o\al(2,0）－1.故曲線在點P0處的切線方程為y－(xeq\o\al(3，0）－x0＋3）＝(3xeq\o\al(2，0)－1）(x－x0），將P(1，3）代入，得2x30－3xeq\o\al(2，0）＋1＝0，即2（xeq\o\al（3，0）－xeq\o\al（2,0））－(xeq\o\al（2,0）－1）＝0.分解因式得(x0－1）2(2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2），故切點為(1，3)或（－eq\f(1，2），eq\f(27，8）)．故切線方程為2x－y＋1＝0或x＋4y－13＝0。例3解由函數f（x）的圖象在點M(－1,f（－1））處的切線方程為x＋2y＋5＝0，知－1＋2f（－1）＋5＝0，即f(－1）＝－2，由切點為M得f′(－1)＝－eq\f(1,2).∵f′（x）＝eq\f（ax2＋b－2xax－6,x2＋b2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(－a－6,1＋b）＝－2，，\f(a1＋b－2a＋6,1＋b2）＝－\f（1，2），））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2b－4，，\f(a1＋b－2a＋6，1＋b2)＝－\f（1,2）,))解得a＝2,b＝3或a＝－6，b＝－1（由b＋1≠0，故b＝－1舍去）．∴所求函數解析式為f（x）＝eq\f(2x－6，x2＋3)。跟蹤訓練3解f′（x）＝eq\f（a\f（x＋1,x)－lnx，x＋12)－eq\f(b,x2).由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－eq\f（1,2)，且過點(1,1），故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（f1＝1，，f′1＝－\f(1,2)，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f（a,2）－b＝－\f（1,2）。)）解得a＝1，b＝1。達標檢測1．－ex(sinx＋cosx)2.eq\f（cosx－sinx＋xsinx，1－x2）3．e4．965．解∵直線l過原點，∴直線l的斜率k＝eq\f（y0，x0）（x0≠0),∵點（x0，y0）在曲線C上，∴y0＝xeq\o\al(3，0）－3xeq\o\al（2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0）－3x0＋2,又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3xeq\o\al（2，0）－6x0＋2，又k＝eq\f（y0,x0),∴3xeq\o\al(2，0)－6x0＋2＝eq\f(