比例式和等積式的證明 從一道課本題的解題反思和探究中提高解題能力關鍵詞：比例式反思探究規律內容提要：比例式和等積式的證明中，如何找比例式是難點。利用A型圖和X型圖尋找比例式比較容易比例式和等積式的證明是初中平面幾何題型中一類重要題型。其中等積式可以轉化成比例式，因此主要是比例式的證明。許多學生看到題后都不知道從何入手，用什么方法證明。筆者從一道課本上的習題的反思和探究中總結出了一些方法。如何提高數學解題能力，有許多因素。不少的學生采用“題海戰術”來提高解題能力。“題海戰術”固然在一定程度上可以提高解題能力，但這是“事倍功半”。而解題過程中和解題后的“反思和探究”能達到“事半功倍”的效果。那什么是“解題的反思和探究”呢？也就是解答一道題的前后，進行如下一些思考：命題是考查我們哪些知識點？哪些概念、公式、定理，以及它們的應用？命題有無其他的思路和其他的解法？能否一題多解？哪一種更簡捷？命題能否有規律可循？能否舉一反三？多題一解？許多學生是單純地做題，不會過多地去思考和分析。再加上老師在指導和訓練上的欠缺，沒能形成良好的解題習慣。在農村中學中，這種情況尤為突出。分析過程是解數學題的一個必要環節，解題的反思和探究包含了分析過程。分析就是人們在思維活動中把研究對象由統一整體分解為它的各個組成部分，即把一個復雜的事物分解成簡單的部分或要素，并對它的各個部分或各種要素分別進行研究，揭示出它的屬性和本質，從未知追述到已知的思維過程和研究方法。對于解數學題不僅僅是這種逆行過程。解數學題的分析還可以從已知到未知順勢分析。也可以從兩邊同時分析，從中找到共同點。另外，分析應把以前的經驗和方法應用到解題過程中。九年義務教育三年制初中〈〈幾何〉〉第二冊第222頁B組第一題：AABC中，作直線DN平行于中線AM，設這條直線交邊AB于點D，交邊CA的延長AD線于點E，父邊BC于點N，求證：——ABAE一ACE/\解題過程：/Z\A一.作圖：（圖1）//7\二.分析：%''\1.平時做題不能簡單地做出來了事，而應該多思b/ ； \C考多分析。把此類題型的思路和方法再想一遍。N M比例式的證明方法和步驟有口訣可依：“一現二找三代四輔” （圖1）⑴.“一現”：現成的等積式分兩種：?直接用等積式來證明。如射影定理、相交弦定理、切割線定理及推論、面積法。把等積式轉變成比例式。⑵.“找”：

.利用“三點定位法”找三角形相似。.利用平行線分線段成比例。⑶.“三代”：（分四種）①等量代換，②等比代換，③等積代換，④綜合性代換。⑷.“四輔”：利用輔助線，構造出“一現二找三代”，其中輔助線以平行線居多。本題是比例式，其中口訣“一現”不是，用“二找”需證明△ADE-AABC，而兩個三角形一個是鈍角三角形，一個是銳角三角形，很明顯不相似。那只有用“三代”，如何代換是許多同學都感到很棘手。我們來反思：⑴.本題有中點，那么可能有等量代換或中位線可以討論。⑵.本題有平行線，那么可能有平行線的性質，有三角形相似或平行線分線段成比例問題。⑶.本題證明比例式，那么很有可能是考查相似和平行線分線段成比例。打草稿：（基礎好的可以打腹稿，一般的同學應寫在草稿上）AD AE七 ?-? TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"AB ACII II卜只需證BM=MC，而這是已知，此題得證。MN MN ? BM MC」ND//AM證明（略）歸納總結是解題后的反思和探究的必然結果。是從個別到一般總結規律的過程。歸納總結就是通過對一些個別的經驗事實和感性材料進行概括和總結，從中抽象出一般性結論、原理、公式或原則的一種邏輯思維和推理方法，從一些個別性的前提推出一般性結論。在等比代換中，如何快速羅列比例式，然后從中代換？本題的線段少，容易想到。如果線段多了呢？證明比例式有口訣，那么找比例式有沒有什么特殊的方法？經過反思和探究，找比例式有如下圖形作為比例式的基本圖形：1.A型（或者叫重三角型）：條件DE//BC。（圖2）⑴.DE//BCn△ADEs^ABCn小三角形=竺=竺=DE大三角形ABACBC⑵.平行線分線段成比例（口訣）:DE~AE上上—AD_AE下_下_DB下一下一~D^~Ec；±=±=~ADDE~AE上_上_A^_AE全_全_AB_AC全=全=~AB—AC；±=上=AD—~AE

下下—DBEC全_全_A^AC全一全一~AB—AC；下一下—DB—EC上全下全 —::—:—上全下全2.X型（或者叫叉叉型）：條件是DE//BC。（圖3）（1）.同1.（1）（圖2）（圖2）（圖3）. . AD上題如果用這兩種類型的圖形，很容易找到比例式。求證的左邊AD屬于AAB型（圖4），右邊也屬于A型（圖5）。（圖（圖5）MN MN ?-? BM MC把歸納總結出的一般性結論加以演繹應用，由一般到個別，從而解決一系列的數學題。這種找比例式所用的A型和X型，能否作為一種思路和解法或規律？舉一反三，多題一解？下面我們用這種尋找比例式的方法來證明其他題。例如九年義務教育三年制《幾何》第255頁的18題：如圖，BD=CE，求證AC*EF=AB*DF（提示：過點D作。6//人。，交BC于G）（圖6）1.⑴分析：已經提示了，因此很簡單。但是沒有提示那么又怎么辦？我們用A型和X型來找比例式，看能否較快地解決問題？

C（圖6）（圖8）（圖7）用“一現”行不通，再化成比例式￥ABEF用“三代”就要找左右兩邊的比例式。這里沒有平行線，因此不可能有AC（圖6）（圖8）（圖7）用“一現”行不通，再化成比例式￥ABEF用“三代”就要找左右兩邊的比例式。這里沒有平行線，因此不可能有A型和X型。嗎？但構造又要盡量與已知所求證的線段相聯系。AC④.從左邊的一一不好構造，因為AC和AB不在同一條線上，而DF和EFAB在同一條線上，所以從右邊構造。線段EC是已知"BD=EC”中的，而EC又和DF右邊虬中的線段DF和EF直接相聯接，所以我們作線段EC的平行線DG父EFDF用“二找”也行不通。那么，我們不可以構造BC于點G，構造出A型（圖8）：得到大三角形=DF=竺。同時得到另一小三角形EFEC個A型（圖7）：得到大三角形=一一=四n一一DG

小三角形DGBDABBD⑤.要證AC=竺只需證DG=DG，只需再證明BD=EC了。而BD=ECABEFECBD是已知，所以可以得證。⑵.草稿:AC*EF—AB*DFIYJAC?）DFABEFAC//DGW大=AC=AB5

小DGBD大IIu大uAC//DG小竺?絲BDECJ這是已知，此題得證。2.證明（略）。題多解？難道本題只有構造A題多解？難道本題只有構造A型了嗎？能構造X型DF，同樣從左邊不好構造，那么我們從右邊試一試。DF，同樣從左邊不好構造，那么我們從右邊試一試。先化成比例式^^ ABEF同樣DF和EF在同一線上，又與已知中的EC直接相聯接，因此，我們作CF的平行線交AC于點H,構造出X型（圖10）：得到全=D-=竺，同時得到A下EFEC型（圖11）:得到全=下nAC=匹，因此只需證竺=匹，再需證明全下ABBD ECBDBD=EC，這是已知，所以得證。（圖9） （圖10） （圖11）因此，在比例式和等積式的證明中，利用口訣“一現二找三代四輔”來分析就有了切入點。其中，要代換的比例式的尋找，用A型和X型（現