7.設4為mxn矩陣，齊次線性方程組4x=0有非零解的充分必要條件是()

全國2007年4月高等教育自學考試線性代數(經管類)試題

A.4的列向量組線性相關B.A的列向量組線性無關

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

C.A的行向量組線性相關D.A的行向量組線性無關

1.設4為3階方陣，且⑷=2,則124」=()

8.設3元非齊次線性方程組Ar*的兩個解為。=(1,0,2)。￡=(1,一1,3)T,且系數

A.-4B.-IC.1D.4

矩陣4的秩r(A)=2,則對于任意常數"，鬲，心，方程組的通解可表為()

2.設矩陣4=(1,2),5=卜2|,C=[123、A.%(1,0,2)T+心(1,-1,39B.(l,0,2)T+it(l,-l,3)T

,則下列矩陣運算中有意義的是()

34456)C.(l,0,2)T+il(0,l,-l)TD.(l,0,2)T+/l(2,-1,5)T

A.ACRB.ABCC.BACD.CBA’11r

3.設4為任意”階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是()9.矩陣A=1Ii的非零特征值為()

A.A+A7B.A-ArC.AArD.4。JI

(08]*A.4B.3C.2D.1

4.設2階矩陣A=則A=()

"d)

10.4元二次型/1型1，必，修,-4)="+2占》2+2*/3+2》/4的秩為()

A.4B.3C.2D.1

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

(33、

。向amah

5.矩陣oj的逆矩陣是()}3

11.若。也#0,i=l,2,3,則行列式a2bla2b2a2b3=_____________

。3仇?3^2a3b3

<0-1>J

c.1I

一13

(3)I-'oj12.設矩陣4=(；則行列式n7i=.

'10-10

6.設矩陣4=0-234則4中()

對的+anx2+a13x3=0

00513.若齊次線性方程組,2|X1+。22苫2+。23與=0有非零解，則其系數行列式的值為

、°7

A.所有2階子式都不為零B.所有2階子式都為零,a31Xl+a32X2+''33X3=0

C.所有3階子式都不為零D.存在一個3階子式不為零

（1）求向量組的一個極大線性無關組：

（2）將其余向量表為該極大線性無關組的線性組合.

jl01]

,矩陣?則矩陣的秩「伊）=_

14.設矩陣4=0205=AE,bX1+x2+x5=0

求齊次線性方程組［x+x-x的基礎解系及通解.

[001J24.123=0

X3+X4+%=0

15.向量空間丫={4（.1］局,0）屈而為實數}的維數為.

16.設向量。=（1,2,3）,P=（3,2,1）,則向量a,￡的內積（a,尸）=.

25.設矩陣A=（；求正交矩陣P,使P」4P為對角矩陣.

17.設4是4X3矩陣，若齊次線性方程組4x=0只有零解,則矩陣4的秩r（4）=.

18.已知某個3元非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣彳經初等行變換化為：

26.利用施密特正交化方法，將卜.列向量組化為正交的單位向量組：

-23_［、

Xf02-I2,若方程組無解，則。的取值為.

、00a（a—1）a—1.

19.設3元實二次型/（X1,X2，X3）的秩為3,正慣性指數為2,則此二次型的規范形是

四、證明題（本大題6分）

27.證明：若4為3階可逆的上三角矩陣，則4」也是上三角矩陣.

<110]

全國2007年7月高等教育自學考試線性代數（經管類）試題

2（）.設矩陣4=12-a0為正定矩陣，則。的取值范圍是一

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

03,

1.設A是3階方陣，且⑷=-2，則IA"l=（）

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）2

123233'101、A.-2B.?一C.-D.2

22

21.計算3階行列式249499.22.設4=210，求人

2.設A為〃階方陣，4為實數，則"方修（)

367677<-32-5,

A.4141B.MIL4IC.小伙1D.UPIAI

T

23.設向量組。產(1,-1,2,1尸,32,-2,4,-2)T,a3=(3,0,6,-l),3.設A為〃階方陣，令方陣BM+A'則必有（)

4=(0,3,0,-4)T.A.BT=BB.B=2AC.BT=-BD.B=0

矩陣A=1]111

4.的伴隨矩陣A*=（)

12.行列式234中（3,2）元素的代數余子式A32=____________.

4916

1

C.D.

、-1-1

5.下列矩陣中，是初等矩陣的為（)

14.已知%-5a2+2。3=￡,其中a尸(3,4,-1),a=(1,0,3),￡=(0,2,-5),則a

,01-1、'100、'010、2

10

A.B.-101C.0I0D.0033=------------------------

00

I001,J0bJ。/'-10、

15.矩陣A=13的行向量組的秩=.

2

6.若向量組。尸(1,1+1,0),a2=(1,2,0),。3=（0,0,t+l）線性相關，則實數1=

J6,

()

A.0B.1C.2D.316.已知向量組a尸(1,],1),a2=(1,2,0),a3=(3,0,0)是￡*的一組基，則向

7.設A是4X5矩陣，秩（A）=3,則（）量B=(8,7,3)在這組基下的坐標是.

A.A中的4階子式都不為0B.A中存在不為0的4階子式

fx,1—x,=0

C.A中的3階子式都不為0D.A中存在不為0的3階子式17.已知方程組《*存在非零解，則常數t=____________.

[-2x1+tx2=0

8.設3階實對稱矩陣A的特征值為人戶入2=0，入3=2，則秩G4）=（）

A.0B.1C.2D.318.已知3維向量(1,3,-1)'￡=(-1,2,4)、則內積(*￡)=.

9.設A為n階正交矩陣，則行列式讀抽（）

(\01]

A.-2B.-1C.1D.2

19.已知矩陣4=010的?個特征值為0,則x=_

10.二次型/（x,y,z）=X2-/的正慣性指數?為（）J。X,

A.0B.1C.2D.3

2

20.二次型/(X1,X2,X3)=2X1+3X；+5X；+2jjX2-2x,x3+Sx2x3的矩陣是

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

11.設矩陣4=,則行列式L4A乍.

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

210

21.計算行列式D=121的值.a\\a\2a\3ci115。[]+2。[243

0121.設行列式D=a〃〃=3?D[=a，則D的值為（)

2l2223a2\5a2]+2。2223

a31a32a33〃315〃3]+2。32a33

(2nfi3、

22.設矩陣A=，求矩陣方程必=3的解X.A.15B.-6C.6D.15

(53)[2O>

(a+bb}

2.設矩陣L則()

」2-13)103

23.設矩陣A=48-412問。為何值時，

A.i=3,b=-l,c=l,d=3B.a=-l,b=3,c=Ld=3Ca=3,b=-1,c=0,d=3

、36-3a)

D.i=-l,b=3,c=0.d=3

(1)秩(A)=1；3.設3階方陣A的秩為2,則與A等價的矩陣為()

(2)秩(4)=2.、

Cii、<111)11'1ir

-1'[6(~2\A.000B.01c.222D.222

3

24.求向量組a尸1，a=‘°3=2,。4=4的秩與?個極大線性無關組.100o;1000,00033,

213

4.設A為n階方陣，n》2,貝U-5A=()

X]+2X2+4X3=3

求線性方程組《一5同C.5klD.5nH

25.2X2+2xy=3的通解.A.-5)"|A|B.

2x,+2X2+6鼻=3

5?設A=(；4)■

則川*=（)

'-4-100、

26.設矩陣A=130,求可逆矩陣P及對角矩陣"使得PlP=D

A.4B.-2C.2D.4

、361,

6.向量組a1，a2,as，（s>2）線性無關的充分必要條件是（)

四、證明題（本大題6分）A.a1，a2，*,■，as均不為零向量

27.設向量組線性無關，證明向量組？產。1+。2，戶尸a2也線性無關.B.apa2,??as中任意兩個向量不成比例

全國2008年4月高等教育自學考試C.a],a2,??>a,中任意s-1個向量線性無關

D.a中任意一個向量均不能由其余s-l個向量線性表示

p2?(122、

7.設3元線性方程組Ax=b,A的秩為2,，%,外為方程組的解，+〃2=(2,0,4)T14.設矩陣A=23,若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數t=_____________.

1345,

/+%=(1,-2,1)\則對任意常數k,方程組人*=1)的通解為()

r1]<1、

A.(l,0,2)T+k(l,-2,l)TB.(l,-2,l)T+k(2,0,4)Tr

15.已知向量組a尸1a2=-2，。3=的秩為2,則數t=_______________.

C.(2,0,4)T+k(l,-2,l)TD.(1,0,2)T+k(1,2,3)T

、-2,k1>

8.設3階方陣A的特征值為I,-1,2,則下列矩陣中為可逆矩陣的是()

A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A16.已知向量a=(2,1,0,3)T,p=(1,-2,1,La與8的內積為2,則數k=_____________.

9.設2=2是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣(A?)“必有一個特征值等于()

17.設向量￡1=他一T為單位向量，則數b=_______________.

11

A.-B.-C.2D.4

42

(0-2-2、

10.二次型f(X|,X2,X3，X4)=X：+X；+X；+X：+2X3X4的秩為()18.已知2=0為矩陣/22-2的2重特征值，則A的另一特征值為

「2-22

A.1B.2C.3D.4J

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

19.二次型f(X|,X2,X3)=X:+2xI-5x；-4X|X2+2X2X3的矩陣為.

。也a}h2他

11.行列式a2bla2b2a2b320.已知二次型f(X|,X2，X3)=(k+l)x&+(k-l)x；+(k-2)x；正定，則數k的取值范圍為

。34a3b2a3b3

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

12.設矩陣A=[P=P則ApT=.

1111

1200

21.計算行列式D=的值.

’00r1030

13.設矩陣人=01I則A'=1004

'10'301、1.設A為3階方陣，且--A=—,則1A1=()

n33

22.已知矩陣A=1-10,B=110

A.-9B.-3c.-1D.9

12J、014,

2.設A、8為”階方陣，滿足屋=必，則必有()

(1)求A的逆矩陣A4A./1=3B.A=-BC.⑷二131D.L4I2=IBI2

(2)解矩陣方程AX=B.3.已知矩陣4=(1(；則"-&4=

,B=()

23.設向量＜1=(1,-1,-1,1),6=(-1,1,1,-1),求(1)矩陣A=aT—(2)A2.

T

24.設向量組a1=(1,-1,2,4),，a2=(0,3,1,2)。a3=(3,0,7,14),a4=(],「2-1)B.c.(J?D

A.(0)-(o9

-1,2,0)T,求向量組的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線

性表示.4.設A是2階可逆矩陣,則卜列矩陣中與A等價的矩陣是()

25.已知線性方程組<0.(4

A.tOojloojC-[oojD，(0

為+2x3=-1

5.設向量。]=(%,仇,C]),=(。1，仿,C],4),尸2=(。2，“2，。2，42)，下列

--+x2-3X3=2

23-x+5X=a

23命題中正確的是()

(1)求當a為何值時，方程組無解、有解.

A.若4,線性相關，則必有￡|,￡?線性相關

(2)當方程組有解時，求出其全部解(要求用其個特解和導出組的基礎解系表示).

B.若明,內線性無關，則必有月，外線性無關

26.設矩陣A=]2,

C.若回，色線性相關，則必有4,用線性無關

(1)求矩陣A的特征值與對應的全部特征向量.

(2)判定A是否可以與對角矩陣相似，若可以，求可逆矩陣P和對角矩陣A，使得P'AP=A.

D.若耳，力2線性無關，則必有4,線性相關

四、證明題(本題6分)

2

27.設n階矩陣A滿足A=A,證明E-2A可逆，且(E-2A)"=E-2A.(1]⑶

全國2008年10月高等教育自學考試6.已知2,3是齊次線性方程組4x=0的兩個解，則矩陣4可為()

線性代數(經管類)試題

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

(1

(5一32f2、

A.(5,-3,-1)B.D.-1=|；|'。3=(+2的秩為2，則數a

(21(2-1-2

、-5114.已知向量組。

㈤[4,

7.設〃zX〃矩陣A的秩r(A)=n-3(n>3),a,B,y是齊次線性方程組Ax=o的三個線性無關

的解向量，則方程組A*=0的基礎解系為(15.設向量。=(2,-1」,1),則。的長度為.

A.a,￡,a+BB.B,丫，丫-B2

C.a-B,B-Y,Y-aD.a,a+fi,a+fi+y16.設向量組a尸(1,2,3),a2=(4,5,6),a3=(3,3,3)與向量組Py

fl00)等價，則向量組閉，￡”￡,的秩為.

8.已知矩陣A與對角矩陣。=0-10相似，則42=()17.已知3階矩陣A的3個特征值為1,2,3,則IA*匕.

[00-1J

18.設3階實對稱矩陣A的特征值為人戶入2=3，A3=0,則r[A)=.

A.AB.DC.ED.-E<124、

19.矩陣A=22-1對應的二次型/=_________.

(00n(4-13J

9.設矩陣4=010，則A的特征值為()

100

20.設矩陣4=(才，)，則二次型PAX的規范形是.

A.I,I,0B.-1,1,1C.1,1.1D.1,-1,-1

10.設4為〃("》2)階矩陣，且4:E,則必有()

A.A的行列式等B.A的逆矩陣等于EC.A的秩等于”D.A的特征值均為1三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)1234

1012

a2121.計算行列式。=的值.

11.已知行列式230=0,則數〃=.3-1-10

1-11120-5

22.已知4=(]撲B=(1C=(j1]),矩陣x滿足AX5=C,求解X.

[xi+2X=0

12.設方程組《I7-C有非零解，則數&=__________.

[2x+kx=0

12T

23.求向量￡=(3,-1,2)T在基4=<1,1,2)T，a尸(-1,3,1),a,=(1,1,1)1下

13.設矩陣4=(I?5=(22卯則4%=_________.的坐標，并將？用此基線性表示.

\—11-3)IJJ/)24.設向量組aI,a2，。3線性無關，令￡i=-可i+a3,，2=2a?-2a3,￡3=2a「5a?+3。3.試

確定向量組32，尸3的線性相關性.