..[2018高三數學各地優質二模試題分項精品]一、單選題1．[2018XXXX高三二模]已知分別是雙曲線的左、右焦點,為雙曲線右支上一點,若,,則雙曲線的離心率為<>A.B.C.D.2[答案]A點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質——離心率的求解,其中根據條件轉化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關鍵．求雙曲線的離心率<或離心率的取值范圍>,常見有兩種方法：①求出,代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式,轉化為的齊次式,然后轉化為關于的方程<不等式>,解方程<不等式>,即可得<的取值范圍>．2．[2018XXXX高三4月模擬]已知是拋物線的焦點,為拋物線上的動點,且點的坐標為,則的最小值是〔A.B.C.D.[答案]C設切點,由的導數為,則的斜率為.∴,則.∴,∴故選C．點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質,與焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關,解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉化,這樣可利用三角形相似,直角三角形中的銳角三角函數或是平行線段比例關系可求得距離弦長以及相關的最值等問題.3．[2018XXXX高三二模]如圖,已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點在軸上,且過點,圓,過圓心的直線與拋物線和圓分別交于,則的最小值為<>A.23B.42C.12D.52[答案]A[點睛]當拋物線方程為,過焦點的直線與拋物線交于,則有,拋物線的極坐標方程為,所以,,所以,即證。4．[2018XXXX高三二模]雙曲線的一條漸近線與直線平行,則它的離心率為〔A.B.C.D.[答案]A[解析]由雙曲線的漸近線方程可得雙曲線的漸近線方程為：,其斜率為：,其中一條漸近線與直線平行,則：,則雙曲線的離心率：.本題選擇A選項.點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質,求雙曲線的離心率<或離心率的取值范圍>,常見有兩種方法：①求出a,c,代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式,結合b2＝c2－a2轉化為a,c的齊次式,然后等式<不等式>兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程<不等式>,解方程<不等式>即可得e<e的取值范圍>．5．[2018XXXX高三二模]已知雙曲線的兩個焦點為是此雙曲線上的一點,且滿足,則該雙曲線的焦點到它的一條漸近線的距離為<>A.3B.C.D.1[答案]D6．[2018XX高三二模]已知點分別為雙曲線的左、右兩個焦點,點是雙曲線右支上一點,若點的橫坐標時,有,則該雙曲線的離心率為<>A.B.C.2D.[答案]A7．[2018XX高三二模]已知,點是外一點,則過點的圓的切線的方程是<>A.B.C.D.[答案]C[解析],即〔故圓心是,半徑是4,點

點是外一點,顯然是過點的圓的一條切線,設另一條切線和圓相切于則的斜率是直線的方程是：故解得：故切線方程是故選C．[點睛]本題考查了圓的切線方程問題,考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離,解題時應注意切線斜率不存在的情況.8．[2018XXXX高三二模]已知點分別是雙曲線的左、右焦點,為坐標原點,在雙曲線的右支上存在點,且滿足,,則雙曲線的離心率的取值范圍為〔A.B.C.D.[答案]D點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式,再根據的關系消掉得到的關系式,而建立關于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.9．[2018XX德陽高三二診]如圖,過拋物線的焦點作傾斜角為的直線,與拋物線及其準線從上到下依次交于、、點,令,,則當時,的值為〔A.3B.4C.5D.6[答案]C[解析]設,則由過拋物線的焦點的直線的性質可得又,可得分別過點A,B作準線的垂線,分別交準線于點E,D,則同理可得,故選B.10．[2018XXXX高三二模]已知橢圓的左、右焦點分別為,直線與橢圓相切,記到直線的距離分別為,則的值為〔A.1B.2C.3D.4[答案]B11．[2018XX德陽高三二診]已知雙曲線的離心率為,其一條漸近線被圓截得的線段長為,則實數的值為〔A.3B.1C.D.2[答案]D[解析]雙曲線的離心率為,則故其一條漸近線不妨為,圓的圓心,半徑為2,雙曲線的一條漸近線被圓截得的線段長為,可得圓心到直線的距離為：故選D．12．[2018XX高三4月二診]已知雙曲線〔,的左右焦點分別為,,點在雙曲線的左支上,與雙曲線的右支交于點,若為等邊三角形,則該雙曲線的離心率是〔A.B.C.D.[答案]D點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質——離心率的求解,其中根據條件轉化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關鍵．求雙曲線的離心率<或離心率的取值范圍>,常見有兩種方法：①求出,代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式,轉化為的齊次式,然后轉化為關于的方程<不等式>,解方程<不等式>,即可得<的取值范圍>．13．[2018XXXX高三二模]在平面直角坐標系中,拋物線的焦點為,準線為為拋物線上一點,為垂足,若直線的斜率,則線段的長為〔A.B.C.D.[答案]C14．[2018XX馬XX高三二模]已知為橢圓上關于長軸對稱的兩點,分別為橢圓的左、右頂點,設分別為直線的斜率,則的最小值為〔A.B.C.D.[答案]C[解析]設,由題得,所以,故選C.點睛：本題的難點在于計算出要觀察變形,再聯想到基本不等式解答.觀察和數學想象是數學能力中的一個重要組成部分,所以平時要有意識地培養自己的數學觀察想象力.15．[2018XX馬XX高三二模]如圖所示的一個算法的程序框圖,則輸出的最大值為〔A.B.2C.D.[答案]C16．[2018XX茂名高三二模]以為圓心,為半徑的圓與雙曲線的漸近線相離,則的離心率的取值范圍是〔A.B.C.D.[答案]B[解析]由條件可得,,∴,即,∴故選：B點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方程或不等式,再根據a,b,c的關系消掉b得到a,c的關系式,建立關于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.17．[2018XXXX高三二模]橢圓右焦點為,存在直線與橢圓交于兩點,使得為等腰直角三角形,則橢圓的離心率〔A.B.C.D.[答案]B18．[2018XXXX高三一模]設雙曲線：的左頂點與右焦點分別為,,以線段為底邊作一個等腰,且邊上的高.若的垂心恰好在的一條漸近線上,且的離心率為,則下列判斷正確的是〔A.存在唯一的,且B.存在兩個不同的,且一個在區間內,另一個在區間內C.存在唯一的,且D.存在兩個不同的,且一個在區間內,另一個在區間內[答案]A[解析]由題意可設,可得的垂心H,因為的垂心恰好在的一條漸近線上,所以,所以存在唯一的,且,當時無零點,選A.點睛：判斷函數零點<方程的根>所在區間的方法<1>解方程法：當對應方程易解時,可通過解方程確定方程是否有根落在給定區間上．<2>定理法：利用零點存在性定理進行判斷．<3>數形結合法：畫出相應的函數圖象,通過觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷,或者轉化為兩個函數圖象在給定區間上是否有交點來判斷．19．[2018XXXX高三質檢二]已知雙曲線的左,右焦點分別為,,,是雙曲線上的兩點,且,,則該雙曲線的離心率為〔A.B.C.D.[答案]B[解析]如圖,設,是雙曲線左支上的兩點,點睛：<1>求雙曲線的離心率時,將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量的方程或不等式,利用和轉化為關于e的方程或不等式,通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．〔2對于焦點三角形,要注意雙曲線定義的應用,運用整體代換的方法可以減少計算量．20．[2018XXXX高三二模]如圖,是拋物線<>的焦點,直線過點且與拋物線及其準線交于,,三點,若,,則拋物線的標準方程是〔A.B.C.D.[答案]C[解析]分別過點A,B作準線的垂線,分別交準線于點E,D,設|BF|=a,則|BC|=3a,|BD|=a,∴,在直角三角形ACE中,∵|AB|=9,|AC|=9+3a,∴3|AE|=|AC|,∴=9+3a,即a=3,∵BD∥FG,∴,即,解得p=4,∴拋物線的方程為y2=8x．故選：C．二、填空題21．[2018XXXX高三質檢二]已知點及拋物線的焦點,若拋物線上的點滿足,則__________．[答案].點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎,它能將兩種距離<拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離>進行等量轉化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線,又能與距離聯系起來,那么用拋物線定義就能解決問題．因此,涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題,可以優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離,這樣就可以使問題簡單化．22．[2018XXXX高三二模]已知橢圓的右焦點為,且離心率為,的三個頂點都在橢圓上,設三條邊的中點分別為,且三條邊所在直線的斜率分別為,且均不為0.為坐標原點,若直線的斜率之和為1.則__________．[答案][點睛]點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法,適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程為例,設直線與橢圓交于兩點,則該兩點滿足橢圓方程,有：考慮兩個方程左右分別作差,并利用平方差公式進行分解,則可得到兩個量之間的__①②由等式可知：其中直線的斜率,中點的坐標為,這些要素均在②式中有所體現。所以通過"點差法"可得到關于直線的斜率與中點的聯系,從而能夠處理涉及到弦與中點問題時。同時由①可得在涉及坐標的平方差問題中也可使用點差法。23．[2018XXXX高三二模]具有公共軸的兩個直角坐標平面和所成的二面角軸大小為,已知在內的曲線的方程是,曲線在平面內射影的方程,則的值是__________．[答案]24．[2018XXXX高三二模]已知拋物線的焦點為,過點的直線與拋物線交于兩點,且直線與圓交于兩點,若,則直線的斜率為__________．[答案][解析]由題意得,,由,配方為,可得,所以直線過圓心,可設直線的方程為,聯立,化為,,,由,可得,故答案為.25．[2018上海普陀區高三二模]點,分別是橢圓的左、右兩焦點,點為橢圓的上頂點,若動點滿足：,則的最大值為__________.[答案][方法點睛]本題主要考查橢圓的簡單性質,平面向量的數量積公式,以及三角函數求最值問題,屬于難題.求最值問題常見方法有①配方法：若函數為一元二次函數,常采用配方法求函數求最值；②圖象法；③不等式法；④單調性法；⑤換元法：常用代數或三角代換法,用換元法求值域時需認真分析換元參數的范圍變化,利用三角換元后往往利用輔助角公式結合三角函數的單調性求解.26．[2018XXXX高三4月質檢]設點是拋物線的焦點,過拋物線上一點作其準線的垂線,垂足為,已知直線交軸于點且的面積為,則該拋物線的方程為__________．[答案]或[解析]根據題意作出如圖所示的圖象：其中,,為雙曲線的準線,且準線方程為,,.點睛：解答本題的關鍵是借助題設條件,解答本題的關鍵是利用三角形中位線的性質得點的縱坐標,再根據三角形面積,數形結合求得,然后再依據已知條件建立方程求出,使得問題獲解.三、解答題27．[2018XXXX高三二模]已知圓,點為平面內一動點,以線段為直徑的圓內切于圓,設動點的軌跡為曲線.<Ⅰ>求曲線的方程；<Ⅱ>是曲線上的動點,且直線經過定點,問在軸上是否存在定點,使得,若存在,請求出定點,若不存在,請說明理由.[答案]〔Ⅰ；<Ⅱ>存在定點.試題解析：〔Ⅰ設的中點為,切點為,連,則,取關于軸的對稱點,連,故．所以點的軌跡是以,為焦點,長軸長為4的橢圓．其中,曲線方程為.<Ⅱ>假設存在滿足題意的定點,設設直線的方程為,．由消去,得由直線過橢圓內一點作直線故,由求根公式得：由得,得直線得與斜率和為零.故存在定點,當斜率不存在時定點也符合題意．[點睛]求曲線方程常見有定義法、幾何轉化法、相關點法、參數法等,本題是幾何法,對于有明顯幾何意義關系的,如本題兩圓內切,可先寫出幾何關系,再轉化為所求點的幾何關系,即可求出軌跡方程。28．[2018XXXX高三二模]已知,,點是動點,且直線和直線的斜率之積為.〔1求動點的軌跡方程；〔2設直線與〔1中軌跡相切于點,與直線相交于點,判斷以為直徑的圓是否過軸上一定點？[答案]〔1；〔2.法2：設,則曲線在點處切線方程為,令,得,據此可得圓的方程為,討論可得為直徑的圓過軸上一定點.試題解析：〔1設,則依題意得,又,,所以有,整理得,即為所求軌跡方程.設為以為直線的圓上一點,則由,得,整理得,由的任意性得且,解得,綜上知,以為直徑的圓過軸上一定點.法2：設,則曲線在點處切線：,令,得,設,則由得,即,由的任意性得且,解得,綜上知,以為直徑的圓過軸上一定點.點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時,要注意：<1>注意觀察應用題設中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件；<2>強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．29．[2018北京順義高三二模]已知橢圓的左焦點為,左頂點為,離心率為,點滿足條件.〔Ⅰ求實數的值；〔Ⅱ設過點的直線與橢圓交于兩點,記和的面積分別為,證明：.[答案]<1>;<2>見解析.試題解析：〔Ⅰ橢圓的標準方程為：∴,則,∵,解得〔Ⅱ方法一：①若直線的斜率不存在,則,,符合題意∴∵,∴方法二：依題意可設直線的方程為：,并設.—5分聯立方程組,消去,得∴,∵[點睛]本題考查橢圓方程與性質,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理,三角形面積公式,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題．30．[2018XXXX高三二模]已知橢圓的離心率為,傾斜角為的直線經過橢圓的右焦點且與圓相切.<1>求橢圓的方程；<2>若直線與圓相切于點,且交橢圓于兩點,射線于橢圓交于點,設的面積于的面積分別為.①求的最大值；②當取得最大值時,求的值.[答案]〔1；〔2.[解析]試題分析：〔1根據離心率為、圓心到直線距離等于半徑,結合性質,列出關于、、的方程組,求出、、,即可得橢圓的方程；<2>直線與圓相切得：,將直線代入橢圓的方程得：①根據點到直線距離公式、弦長公式結合韋達定理及三角形面積公式可得,利用基本不等式可得結果；②當取得最大值時,,.<2>由直線與圓相切得：.設.將直線代入橢圓的方程得：,且.設點到直線的距離為,故的面積為：,當.等號成立.故的最大值為1.[方法點晴]本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決,非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題,然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法,本題〔2就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形面積最值的.31．[2018XX德陽高三二診]已知長度為的線段的兩個端點、分別在軸和軸上運動,動點滿足,設動點的軌跡為曲線.〔1求曲線的方程；〔2過點且斜率不為零的直線與曲線交于兩點、,在軸上是否存在定點,使得直線與的斜率之積為常數.若存在,求出定點的坐標以及此常數；若不存在,請說明理由.[答案]〔1.〔2見解析.[解析]試題分析：〔1設,,,由,可得由,所以代入即可求得橢圓方程；〔2由題意設直線的方程為：,,,將直線方程代入橢圓方程,利用韋達定理及直線的斜率公式求得則,因此存在兩個定點,,使得直線與的斜率之積為常數,使得與的斜率之積為常數．〔2由題意設直線的方程為：,,,由得：,所以.故,,假設存在定點,使得直線與的斜率之積為常數,則.當,且時,為常數,解得.顯然當時,常數為；當時,常數為,所以存在兩個定點,,使得直線與的斜率之積為常數,當定點為時,常數為；當定點為時,常數為.32．[2018上海黃浦高三二模]已知動點到點的距離為,動點到直線的距離為,且.<1>求動點的軌跡的方程；<2>過點作直線交曲線于兩點,若的面積<是坐標系原點>,求直線的方程.[答案]〔1；〔2.試題解析：<1>結合題意,可得.又,于是,,化簡得.因此,所求動點的軌跡的方程是.<2>聯立方程組得.設點,則于是,弦,點到直線的距離.由,得,化簡得,解得,且滿足,即都符合題意.因此,所求直線的方程為.33．[2018XX高三二診]橢圓：的左右焦點分別為,,左右頂點分別為,,為橢圓上的動點〔不與,重合,且直線與的斜率的乘積為．〔1求橢圓的方程；〔2過作兩條互相垂直的直線與〔均不與軸重合分別與橢圓交于,,,四點,線段、的中點分別為、,求證：直線過定點,并求出該定點坐標．[答案]<1><2>見解析,經過定點為試題解析：〔1設,由題,整理得,,整理得,結合,得,,所求橢圓方程為．點睛：本題主要考查橢圓的方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系,解答此類題目,通常利用的關系,確定橢圓〔圓錐曲線方程是基礎,通過聯立直線方程與橢圓〔圓錐曲線方程的方程組,應用一元二次方程根與系數的關系,得到"目標函數"的解析式,確定函數的性質進行求解,此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足,導致錯漏百出,本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．34．[2018XX馬XX高三質監二]直線與拋物線交于兩點,且,其中為原點.〔1求此拋物線的方程；〔2當時,過分別作的切線相交于點,點是拋物線上在之間的任意一點,拋物線在點處的切線分別交直線和于點,求與的面積比.[答案]〔1〔22[解析]試題分析：〔1第〔1問,利用韋達定理和數量積公式把轉化成p的方程,再解方程得解.<2>第〔2問,分別計算出與的面積,再計算出它們的面積比.〔2當時,,易得拋物線在處的切線方程分別為和.從而得.設,則拋物線在處的切線