因數和倍數難題因數和倍數難題/NUMPAGES9因數和倍數難題因數和倍數難題第二講約數與倍數基礎知識分解質因數的方法，掌握約數個數和約數和的求法和具體意義。設自然數n的質因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的約數個數：d(n)=(a1+1)(a2+1)(ak+1)n的所有約數和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）最大公約數和最小公倍數的求法。短除法，分解質因數法，輾轉相除法。分數最小公倍數和最大公約數的求法。約數與倍數的相關性質：兩（多）個數的公約數是它們最大公約數的約數；兩（多）個數的公倍數是它們最小公倍數的倍數；；。例題求；；；。

分析與解答：＝2，＝4828＝4＝15364640

分數、、的最大公約數是________；最小公倍數是________；。

分析與解答：（、、）＝[、、]＝

180一共有________個約數；這些約數的和是________；720有________個奇約數；這些奇約數的和是________；

分析與解答：因為180＝22×32×5180的約數個數為：（2＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝18個。180的約數的和為：（1＋2＋4）×（1＋3＋9）×（1＋5）＝546因為720＝24×32×5

720的奇約數的個數為：（2＋1）×（1＋1）＝6720的奇約數的和為：（1＋3＋9）×（1＋5）＝78

1~20中，有________個數的約數之和是4的倍數；分析與解答：3，（1+3）；6，（1+2）×（1+3）；12，（1+3）×（1+2+4）7，（1+7）；14，（1+7）×（1+2）；11，（1+11）；19，（1+19）15，（1+3）×（1+5）共有8個。

7663和81的最大公約數最大是________，最小公倍數最小是________；

分析與解答：7663＝79×978148＝97×84.所以最大公約數最大是97.因為79×103＝81378148＝97×84，所以最小公倍數最小是79×97×84＝643692兩個自然數的最大公約數是6，最小公倍數是540。這樣的自然數一共有________組；

分析與解答：設這兩個數是6a，6b，且（a,b）=1.那么6ab＝540，可得ab=90.a=1,b=90或a=2,b=45或a=5,b=18或a=9,b=10.共四組。兩個自然數的和是99，它們最大公約數和最小公倍數的和是231，那么這兩個數分別是________、________；

分析與解答：設這兩數的最大公約數是m,這兩數分別為ma,mb.最小公倍數是mab，那么ma＋mb＝m(a+b)=99m+mab=m(1+ab)=231從以上式子可看出：m為99與231的公約數，且m必為奇數。所以m=1,3,5,9,231.（99，231）＝33，所以m為33的約數，m=33，11，3.這樣就可以得到：當m=33時，a+b=3,1+ab=7，不成立。當m=11時，a+b=9,1+ab=21,此時a=4,b=5.所以這兩個數分別是44，55.

8.5位同學,每位同學都有編號,他們是1號到15號,1號同學寫了一個自然數,2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被他的編號數整除.1號作了檢驗:只有編號連續的二位同學說得不對,其余同學都對,問:(1)說的不對的兩位同學,他們的編號是哪兩個連續自然數?(2)如果告訴你,1號寫的數是五位數,請找出這個數.分析與解答：(1)根據2號~15號同學所述結論同學所述結論,將合數學4,6,…，15分解質因數后，由1號同學驗證結果，進行分析推理得出問題的結論.4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=223,14=27,15=35由此不難斷定說得不對的兩個同學的編號是8與9兩個連續自然數(可逐次排除,只有8與9滿足要求).(2)1號同學所寫的自然數能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15這12個數整除,也就是它們的公倍數.它們的最小公倍數是223571113=60060因為60060是一位五位數,而這12個數的其他公倍數均不是五位數,所以1號同學寫的五位數是60060.9.已知a與b的最大公約數是12,a與c的最小公倍數是300,b與c的最小公倍數也是300,那么滿足上述條件的自然數a,b,c共有多少組?(例如:a=12、b=300、c=300，與a=300、b=12、c=300是不同的兩個自然數組)分析與解答：先將12、300分別進行質因數分解：12=223300=22352(1)確定a的值.依題意a只能取12或125(=60)或1225(=300).(2)確定b的值.當a=12時,b可取12,或125,或1225；當a=60,300時，b都只能取12.所以,滿足條件的a、b共有5組：a=12a=12a=12a=60a=300b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.(3)確定a,b,c的組數.對于上面a、b的每種取值，依題意，c均有6個不同的值：52，522，5222，523，5223，52223，即25，50，100，75，150，300.所以滿足條件的自然數a、b、c共有56=30（組）習題：用長是9厘米、寬是6厘米、高是7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要這種長方體木塊_____塊.分析與解答：依題意，正方體的棱長應是9，6，7的最小公倍數，9，6，7的最小公倍數是126.所以,至少需要這種長方體木塊=142118=5292(塊)一個公共汽車站,發出五路車,這五路車分別為每隔3、5、9、15、10分鐘發一次，第一次同時發車以后，_____分鐘又同時發第二次車.分析與解答：依題意知,從第一次同時發車到第二次同時發車的時間是3,5,9,15和10的最小公倍數.因為3,5,9,15和10的最小公倍數是90,所以從第一次同時發車后90分鐘又同時發第二次車.動物園的飼養員給三群猴子分花生,如只分給第一群,則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒.那么平均給三群猴子,每只可得_____粒.分析與解答：依題意得花生總粒數=12第一群猴子只數=15第二群猴子只數=20第三群猴子只數由此可知,花生