課堂教學設計【教學目標】使學生了解歸納法,理解數學歸納的原理與實質．掌握數學歸納法證題的兩個步驟；會用“數學歸納法”證明簡單的與自然數有關的命題．培養學生觀察,分析,論證的能力,進一步發展學生的抽象思維能力和創新能力，讓學生經歷知識的構建過程,體會類比的數學思想．努力創設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質疑氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率．通過對例題的探究，體會研究數學問題的一種方法(先猜想后證明),激發學生的學習熱情，使學生初步形成做數學的意識和科學精神．【教學重點】歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析【教學難點】數學歸納法中遞推思想的理解【教學方法】類比啟發探究式教學方法【教學手段】多媒體輔助課堂教學【教學程序】第一階段：輸入階段——創造學習情境，提供學習內容創設問題情境，啟動學生思維情景一：葫蘆里裝有10粒藥丸，不同顏色有不同的功效，一次只能取出一粒，問有幾種不同顏色的藥丸?這種通過研究全體對象得到某種結論的推理方法叫完全歸納推理.經過這種推理后所得結論是可靠的，但是如果葫蘆里裝有100粒藥丸，采用這種方法會變得費時費力.情景二：華羅庚曾給中學生講過這樣一個故事:“一位買主買了一只公雞回家.第一天,喂公雞一把米;第二天,又喂公雞一把米;……連續十天,每天都喂給公雞一把米.公雞就這十天的經驗,下了一個結論說:每天一定有一把米可吃.但是就在得出這個結論不久,家里來了一位客人,公雞就被宰殺成為盤中餐．公雞就這有限個特殊事例得到的結論顯然是不太可靠的.他把公雞得出這樣結論的方法叫公雞歸納法，數學上叫不完全歸納法.雖然不完全歸納法所得結論不一定完全正確，但是因為它的這種探索發現作用，在生活和生產實際中，也有廣泛應用．例如氣象工作者、水文工作者依據積累的歷史資料作出氣象預測，水文預報．情景三：已知＝（n∈N），(1)分別求；；；．(2)由此你能得到一個什么結論？這個結論正確嗎？那么，克服不完全歸納的局限，步向真理的階梯該是什么呢？這就是我們即將講述的一種科學方法——數學歸納法。感受使用歸納法的普遍性．同時引導學生進行思辨：在數學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結論，那么有沒有更好的歸納法呢？）（培養學生大膽猜想的意識和數學概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數學原理的遷移，我找的突破口就是學生的概括過程．）第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知結構搜索生活實例，激發學習興趣（在第一階段的基礎上，由生活實例出發，與學生一起解析歸納原理,揭示遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗．）實例：播放多米諾骨牌錄像問題1：怎樣才能使所有牌都倒下？關鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結論：多米諾骨牌會全部倒下．問題2：兩個關鍵點分別發揮了什么作用？（先感受多米諾骨現象，通過播放一段影片并且聯系生活中的事物和現象，比較這些現象之間的相似之處，感受多米諾骨牌的原理，并在引導他們類比到數學的證明題中，引出數學歸納法，分析三個步驟間的邏輯推理關系．。）搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車,早操排隊對齊等．類比數學問題,激起思維浪花問題3類比多米諾骨牌過程,證明等差數列通項公式：(1)當n＝1時等式成立；(2)假設當n＝k時等式成立,即,則=,即n＝k＋1時等式也成立．于是,我們可以下結論：等差數列的通項公式對任何n∈都成立．（布魯納的發現學習理論認為，“有指導的發現學習”強調知識發生發展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發現數學歸納法的雛形，是一種再創造的發現性學習．）引導學生概括,形成科學方法證明一個與正整數有關的命題關鍵步驟如下：(1)證明當n取第一個值時結論正確；(2)假設當n＝k(k∈，k≥)時結論正確,證明當n＝k＋1時結論也正確．完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從開始的所有正整數n都正確．這種證明方法叫做數學歸納法．第三階段：操作階段——鞏固認知結構，充實認知過程蘊含猜想證明,培養研究意識（本例要求學生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數學歸納法，也能教給學生做數學的方法，培養學生獨立研究數學問題的意識和能力．）例題在數列{}中,＝1,(n∈),先計算，，的值，再推測通項的公式,最后證明你的結論．基礎反饋練習,鞏固方法應用（課本例題與等差數列通項公式的證明差不多，套用數學歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習，這樣既考慮到學生的能力水平，也不沖淡本節課的重點．練習第3題恰好是等比數列通項公式的證明，與前者是一個對比與補充．通過這兩個練習能看到學生對數學歸納法證題步驟的掌握情況．）(1)1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．(2)首項是，公比是q的等比數列的通項公式是．師生共同小結,完成概括提升(1)本節課的中心內容是歸納法和數學歸納法；(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性，數學歸納法屬于完全歸納法；(3)數學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉；(4)本節課所涉及到的數學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．布置課后作業,鞏固延伸鋪墊(1)課本第72頁練習A第1,2題；第73頁習題A2.1第2題．(2)在數學歸納法證明的第二步中，證明n＝k＋1時命題成立,必須要用到n＝k時命題成立這個假設．這里留一個辨析題給學生課后討論思考：用數學歸納法證明：(n∈)時,其中第二步采用下面的證法：設n＝k時等式成立,即,則當n＝k＋1時,．你認為上面的證明正確嗎？為什么？【板書設計】2.1數學歸納法及其應用舉例問題1例題(猜想,證明過程的板書)問題2數學歸納法定義練習1練習2證明步驟:(練習請兩位同學上黑板板演)(1)(2)【教學設計說明】1．數學歸納法是一種用于證明與自然數n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點不應該是方法的應用．我認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設想強化數學歸納法產生過程的教學，把數學歸納法的產生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數學歸納法產生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發展創新能力的良機．2．在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強學生對教學過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，本節課按照思維次序編排了一系列問題，讓學生投入到思維活動中來，把本節課的研究內容置于問題之中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展．3．運用數學歸納法證明與正整數有關的數學命題，兩個步驟缺一不可．理解數學歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時必須要用到n＝k時命題成立這個條件．這些內容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認識數學歸納法的原理與本質，也為證明過程中第二步的設計指明了思維方向．《數學歸納法》的學情分析1．學生已有的知識準備(1)學生已有數學歸納法的思想和基礎．如：初中找一列數的規律、高中等差數列和等比數列通項公式的推導和歸納推理等知識，都蘊含著數學歸納法的思想和基礎，認識到用不完全歸納法得出的結論和猜想有待證明．(2)學生已能用具有代表性的元素來代替任意的的元素．如在討論函數奇偶性時，用定義域內任意來代表定義域內的所有數．學生具有一定的數學思維和一定的學習能力和探索意識。2．學生可能遇到的困難(1)對數學歸納法產生的源頭及所要證明的問題的特征規律分析不到位。(2)形成和得到數學歸納法原理時，如何把無窮的遞推過程用有限的、一般的步驟來代替會有困難。(3)數學歸納法第二個步驟的作用，尤其是為什么可以根據歸納假設進行證明、如何利用歸納假設進行證明，學生難以理解。(4)由于數學思想的形成需要經歷一定的過程，因此學生難以在一兩節課內深刻理解數學歸納法的精神實質。(5)學生初學數學歸納法時容易把注意力集中到第二步歸納推理上，而忽略了第一步歸納奠基．數學歸納法教學的重心應是讓學生體味到方法的“精髓”，而不是記住解題的程序與步驟，揭示數學歸納法的本質是難點．學生當堂學習效果評測結果及分析多維度評價表B評析學生學習活動的5個維度60分B1參與狀態14分參與形式參與學習活動的形式多樣、恰當，如師生談話、合作交流、動手實踐、自主探索等411學生無精打采或只有少數學生在按老師要求學習，只重視練習階段時學生的參與，學生參與學習的方式單一投入學生是否積極參與教學的全過程3展開不同層次的學生是否都能積極參與2深入學生在參與學習中，師生、生生能進行深層次的思考和交流，即能進行實質性參與3拓展學生不僅參與學，還參與教；不僅課內，而且延伸到課外2B2情緒狀態10分氣氛活躍學生是否具有適度的緊張感和愉悅感68課堂氣氛沉悶，學生情緒較低落，學生注意力分散，課堂秩序較混亂及時反饋學生能否善于自我控制，調節學習情緒，保持良好的注意狀態4B3交往狀態14分交流充分能否構建師生、生生及媒體之間信息交流的立體結構，信息交流充分611師生配合不夠，缺少民主，師生或生生之間，討論的內容屬淺層次、低水平或沒有經過個體精思就忽忙展開合作討論，或合作討論不充分，剛一開鑼就草草收場，只追求表面形式，而無視實際效果有效合作合作討論的內容是否有思考性，有價值；是否有明確分工，每人都有事可做；是否注重合作前的獨立思考（多少時間？）；是否有足夠的時間和空間展開合作討論（多少時間？）8B4思維狀態12分主動積極參與思考能否引發大多數學生積極思考，展現出解決問題的強烈愿望，舉手答題率80%以上，學生是否敢于提出問題，發表見解（這樣的人次有多少？）68學生舉手答題率較低，學生很少有發表見解的機會或對學生的質疑缺乏及時、深入的研討，學生自主獨立思考的時間很少思維得到深層次發展學生提出的問題與見解具有挑戰性與獨創性（引發了學生主動創造？）（這樣的人次有多少？）學生能否把握經過猜想和探索發現的結論作為新的思維素材，去努力探索新的發現（這樣的人次有多少？）6B5生成狀態10分成就感學生是否都能各盡所能，感到踏實和滿足；學生是否保持一種積極進取的心態，有強烈的成功欲望，對學習更有信心和興趣5學生學習態度很被動或緊張；缺乏上進心，自信心；不積極參與思考或分析問題思路狹窄，不靈活；易受不良情緒干擾嚴謹感學生能否調控自己學習的消極心理，調整不利于積極思維的思維定勢，惰性、畏懼、自卑、閉鎖等不良心理5綜合評價優點及特色優良中差問題及建議90-10075-8961-7460以下《數學歸納法》的課標分析本節課是選自普通高中課程標準實驗教科書數學人教B版選修2-2第二章《推理與證明》中的第三節《數學歸納法》，本節內容共2課時，這是第1課時,主要內容是數學歸納法理解與簡單應用．前面學生已經通過數列一章內容和其它相關內容的學習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法它是研究數學問題，猜想或發現數學規律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹的科學的論證方法─數學歸納法。數學歸納法安排在推理與證明一章中，是培養學生嚴密的推理能力、訓練學生的抽象思維能力、體驗數學內在美的好素材．對數學歸納法的學習是數列知識的深入與擴展,也是一種重要的數學方法,可以使學生學會一種研究數學的科學方法．在人教A版教材中，本節以多米諾骨牌為例，啟發學生探索數學歸納法的兩個關鍵步驟，形象生動，很容易開啟學生思維的大門.在B版教材中本節先由具體例子引出數學歸納法，然后舉例說明數學歸納法的應用.這種數學例子的引入有可能不會激發學生的學習興趣，因此在本課教學過程中，我以多米多骨牌為例，引領學生探究兩個步驟的作用，明確數學歸納法的實質所在，培養學生發現問題的能力.教學重點：歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析．教學難點：數學歸納法中遞推思想的理解．本部分內容的教學分為兩課時，第一課時為概念課，主要是對歸納法意義的認識和對數學歸納法產生過程的分析，起到承上啟下的作用，第二課時為習題課，對數學歸納法進行簡單應用.《數學歸納法》學生當堂學習效果評測結果及分析評價內容評價方式評價等級自評小組評議教師評價1.知識技能掌握情況。BAB掌握相關知識，并能熟練應用初步理解，可以應用解決簡單題目尚未理解，但會解決簡單問題2.同學間的合作交流情況。AAA具備良好的合作交流能力能分享自己的見解不能發表自己的看法，交流稍顯困難3.個人的學習態度。AAB好中差4.學習的創造性、發展性思維情況BBB好中差本節課留給學生的練習題目是：用數學歸納法證明：(1)1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．(2)首項是，公比是q的等比數列的通項公式是．這副圖片是一位學生對練習1的解答.在第二個步驟的解答中可以看出該生還沒有感受到數學歸納法的實質所在，或許是不會書寫格式，或許還不知道這種遞推關系是如何體現的，老師及時發現了他存在的問題，給予了糾正和完善.這幅圖片是學生對練習2的板演，雖然有一點瑕疵，但是基本上掌握了數學歸納法的證明步驟，理解了數學歸納法的推理實質，為其他學生做了很好的示范.《數學歸納法》課后反思“數學歸納法”（第一課時）如何上才能上出要求來？如何上才能充分實現其教學價值，仍然值得研究與實踐。如果僅以能不能用數學歸納法解決一些簡單問題為標準，那么，本節課的教學是容易完成的，因為，在這一標準下的教學，只要讓學生通過各種題型的操練，學會第一步證什么，如何證；第二步證什么，如何證，就可以了。這樣訓練出來的學生，能知道數學歸納法的步驟，也會套用數學歸納法證明一些數學命題，但不一定知道，為什么要這樣做？這樣做可行的理由、依據是什么？這樣的教學看似容易完成，但被動地訓練使學生可能會增添的是：數學是機械的、枯糙的感受；一定會丟失的是：對數學以及數學方法、思想的進一步認識與理解。在授課后暴漏出來的問題是教師對數學歸納法認識上的不到位，對數學歸納法教學難點的認識與解決方法的研究不足，以及對教材使用研究的重視程度不夠。本次授課后我對“數學歸納法”教學有了新的認識。一、數學歸納法是一種證明方法數學歸納法一般來講，是證明具備了條件與結論，且與正整數有關的問題的方法。由于該方法適用領域具體，因此，沒有必要提升為數學歸納法思想，但它作為一種數學方法決定了它的教學要求：必需要明確引入它的必要性、必需要明確它適用的領域，必需要明確它是如何使用的（操作步驟）。同時，作為一種證明方法，會按步驟證明問題并不難，難的是對其正確性的依據的理解，因此，數學歸納法的教學要追求，不僅要能用此法證明問題，而且要知道此法可行、可靠的理由。二、數學歸納法的教學難點是什么？在數學歸納法的學習中，對數學歸納法的作用不難理解，對方法的操作步驟也不難掌握，但對其真實可靠的原因卻不一定能理解到位，不理解原理的學習是機械的，獲得的知識只是表層的。從數學知識角度看，數學歸納法以“歸納公理”為理論基礎，得到的結論是真實可靠的。而高中數學教學對數學歸納法是從應用角度組織教學的，要求的是“會用數學歸納法證明一些簡單的與正整數有關的命題”，并不需要構建其數學體系，因此，教學是在脫離“歸納公理”的條件下進行的，教學的難點會發生在對數學歸納法實質的理解，具體表現在：不了解第二個步驟的作用，不會根據歸納假設作出證明，不能真正理解該步驟需要完成的證明的作用．原理揭示要以學生的參與活動為前提，僅靠大量題的訓練是認識不了原理的，因此，數學歸納法的教學中，例題可以少些，學生的參與活動要先行，問題鏈設計要精干，能使學生通過體驗，概括出新知，從而認識理解原理。當然，教學中也需要教師在學生活動后給予指導、點撥，起到畫龍點睛，舉一反三的作用。數學歸納法作為一種數學證明方法，其得出的結論是正確的，認識到為什么是正確的，即認識其原理十分重要，也是克服難點標準，教學的關鍵是能揭示其原理，達到對原理的認識與理解，對方法操作的理解與掌握。三、用好教材能夠體現教學要求在評課和反思后，獲得了上面新認識，此時，再來看教材，發現用好教材是能夠體現教學要求的，也是能夠有效地解決教學難點的。沒有認識，沒有想法時去僅看教材，可能