關于可測函數的定義及其簡單性質第1頁，課件共51頁，創作于2023年2月新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1

用

mEi表示

Ei的“長度”

問題：怎樣的函數可使Ei都有“長度”(測度)?第2頁，課件共51頁，創作于2023年2月1可測函數定義例

(1)零集上的任何函數都是可測函數。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數并仍為零集定義：設f(x)是可測集E上的實函數(可取

)，若

可測，則稱f(x)是E上的可測函數

第3頁，課件共51頁，創作于2023年2月(2)簡單函數是可測函數可測函數注：Dirichlet函數是簡單函數01若

(Ei可測且兩兩不交），f(x)在每個Ei上取常值

ci，則稱f(x)是E上的簡單函數；第4頁，課件共51頁，創作于2023年2月（3）可測集E上的連續函數f(x)必為可測函數

對比：設f(x)為(a,b)上有限實函數，

()()()f(x)在

處連續(對閉區間端點則用左或右連續)設f(x)為E上有限實函數，稱f(x)在

處連續第5頁，課件共51頁，創作于2023年2月可測集E上的連續函數f(x)定為可測函數

證明：任取x∈E[f>a],則f(x)>a,由連續性假設知，()x０

f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa則G為開集，當然為可測集，且第6頁，課件共51頁，創作于2023年2月⑷

R中的可測子集E上的單調函數f(x)必為可測函數。aIax1x2由f單調增知下面的集合為可測集證明：不妨設f單調增，對任意a∈R第7頁，課件共51頁，創作于2023年2月⒊可測函數的等價描述證明：利用（1）與（4），（2）與（3）互為余集，以及⒈定義：設f(x)是可測集E上的實函數，則

f(x)在E上可測第8頁，課件共51頁，創作于2023年2月

對前面等式的說明

([a-1/na([aa+1/n第9頁，課件共51頁，創作于2023年2月⒋可測函數的性質⑴可測函數關于子集、并集的性質反之，若

,f(x)限制在En上是可測函數，則f(x)在E上也是可測函數。即:若f(x)是E上的可測函數,可測，則f(x)限制在E1上也是可測函數；第10頁，課件共51頁，創作于2023年2月若m(E[f≠g])=0,則稱f(x)=g(x)在E上幾乎處處成立,記作f(x)=g(x)a.e.于E。（almosteverywhere）注：在一零測度集上改變函數的取值不影響函數的可測性證明：令E1=E[f≠g]，

E2=E[f=g]，則mE1=0從而

g(x)在E1上可測

，即：

設f(x)=g(x)a.e.于E，

f(x)在E上可測，則g(x)在E上也可測

注：用到了可測函數關于子集、并集的性質另外f(x)在E2上可測，從而

g(x)在E2上也可測

，進一步g(x)在E=E1

∪E2上也可測

。第11頁，課件共51頁，創作于2023年2月⑵可測函數類關于四則運算封閉

即:若f(x),g(x)是E上的可測函數,則f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍為E上的可測函數。a-g(x)rf(x)第12頁，課件共51頁，創作于2023年2月⑵可測函數類關于四則運算封閉

即:若f(x),g(x)是E上的可測函數,則f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍為E上的可測函數。a-g(x)rf(x)第13頁，課件共51頁，創作于2023年2月類似可證：設f(x),g(x)是E上可測函數，則

為可測集。證明中利用了Q是可數集和R中的稠密集兩個性質a-g(x)rf(x)第14頁，課件共51頁，創作于2023年2月類似可證：設f(x),g(x)是E上可測函數，則

為可測集。證明中利用了Q是可數集和R中的稠密集兩個性質a-g(x)rf(x)第15頁，課件共51頁，創作于2023年2月⑶可測函數類關于確界運算和極限運算封閉。

推論：可測函數列的極限函數仍為可測函數（連續函數列的極限函數不一定為連續函數）。若fn(x)是E上的可測函數,則下列函數仍為E上的可測函數。第16頁，課件共51頁，創作于2023年2月對上式的說明：下確界：

([a-1/na第17頁，課件共51頁，創作于2023年2月例：

R1上的可微函數f(x)的導函數f`(x)是可測函數

利用了可測函數列的極限函數仍為可測函數.從而f`(x)是一列連續函數（當然是可測函數）的極限，故f`(x)是可測函數.

證明：由于gn(x)第18頁，課件共51頁，創作于2023年2月例

設{fn}是可測函數列，則它的收斂點全體和發散點全體是可測集.注意：函數列收斂與函數列收斂于f之間的不同.證明：發散點全體為

收斂點全體為再第19頁，課件共51頁，創作于2023年2月⒌可測函數與簡單函數的關系

可測函數f(x)總可表示成一列簡單函數的極限MmMmMmn0第20頁，課件共51頁，創作于2023年2月例：設f(x)是R上連續函數，g(x)是E上可測函數，則f(g(x))是可測函數。

證明：要證f(g(x))是可測函數，只要證對任意a，E[fg>a]={x|f(g(x))>a}可測即可,g可測f連續{x|f(g(x))>a}=(fg)-1((a,+∞))

=g-1(f-1((a,+∞)))f-1((a,+∞))=第21頁，課件共51頁，創作于2023年2月第二節

可測函數的收斂性第三章

可測函數

第22頁，課件共51頁，創作于2023年2月⒈函數列的幾種收斂定義

⑵一致收斂:注：近似地說一致收斂是函數列收斂慢的程度能有個控制

近似地說一致連續是函數圖象陡的程度能有個控制fn(x)=xn⑴點點收斂:記作第23頁，課件共51頁，創作于2023年2月1-δ例：函數列fn(x)=xn,n=1,2,…

在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂fn(x)=xn第24頁，課件共51頁，創作于2023年2月⑶幾乎處處收斂:記作

(almosteverywhere）即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂

即：去掉某個小（任意小）測度集，在留下的集合上一致收斂

⑷幾乎一致收斂:記作

(almostuniformly)第25頁，課件共51頁，創作于2023年2月⑸依測度收斂:記作注：從定義可看出，幾乎處處收斂強調的是在點上函數值的收斂（除一零測度集外）依測度收斂并不

指出函數列在哪個點上的收斂，其要點在于誤差超過σ的點所成的集的測度應隨n趨于無窮而趨于零，而不論點集的位置狀態如何第26頁，課件共51頁，創作于2023年2月不依測度收斂依測度收斂第27頁，課件共51頁，創作于2023年2月⒉幾種收斂的區別

說明：當n越大，取1的點越多，故{fn(x)}在R+上處處收斂于1

（1）處處收斂但不依測度收斂n

在R+上處處收斂于

f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依測度收斂于1，另外{fn}不幾乎一致收斂于1第28頁，課件共51頁，創作于2023年2月fn不幾乎一致收斂于f幾乎一致收斂:記作

(almostuniformly)即：去掉某個小（任意小）測度集，在留下的集合上一致收斂

即：去掉

測度集，在留下的集合上仍不一致收斂

任意

（

）適當小小第29頁，課件共51頁，創作于2023年2月fn不幾乎一致收斂于f即：去掉任意小（適當小）測度集，在留下的集合上仍不一致收斂

不幾乎一致收斂于f(x)=1n第30頁，課件共51頁，創作于2023年2月（2）依測度收斂但處處不收斂01f1f601/4?3/4101/4?3/4101/4?3/4101/4?3/41f7f5f40?1f30?1f201/81/4?1f8第31頁，課件共51頁，創作于2023年2月依測度收斂但處處不收斂⑵

取E=(0,1],n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…

說明：對任何x∈(0,1],{fn(x)}有兩個子列，一個恒為1，一個恒為0，所以{fn(x)}在(0,1]上處處不收斂；第32頁，課件共51頁，創作于2023年2月例：函數列fn(x)=xn在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂收斂的聯系（葉果洛夫定理的引入）1-δfn(x)=xn第33頁，課件共51頁，創作于2023年2月⒊三種收斂的聯系

即：去掉某個小（任意小）測度集，在留下的集合上一致收斂

⑴幾乎處處收斂與幾乎一致收斂（葉果洛夫定理）

設mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，

（即：可測函數列的收斂“基本上”是一致收斂）即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂

第34頁，課件共51頁，創作于2023年2月第35頁，課件共51頁，創作于2023年2月引理：設mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，證明：由于

為零測度集，故不妨令

fn

，f在E上處處有限，從而有：關于N單調減小第36頁，課件共51頁，創作于2023年2月幾乎處處收斂與依測度收斂（Lebesgue定理）設mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，第37頁，課件共51頁，創作于2023年2月第三節

可測函數結構

Lusin定理

第三章

可測函數

第38頁，課件共51頁，創作于2023年2月可測函數簡單函數是可測函數

可測函數總可表示成一列簡單函數的極限（當可測函數有界時，可作到一致收斂）問：可測函數是否可表示成一列連續函數的極限？可測集E上的連續函數定為可測函數

第39頁，課件共51頁，創作于2023年2月魯津定理實變函數的三條原理（J.E.Littlewood）（1）任一可測集差不多就是開集（至多可數個開區間的并）設f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數，則

使得

m(E-F)<ε且f(x)在F上連續。

（去掉一小測度集，在留下的集合上成為連續函數）即：可測函數“基本上”是連續函數（3）任一點點收斂的可測函數列集差不多就是一致收斂列（2）任一可測函數差不多就是連續函數第40頁，課件共51頁，創作于2023年2月魯津定理的證明證明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)為有限函數(1)當f(x)為簡單函數時，

當x∈Ei時，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在

上連續顯然F為閉集，且有第41頁，課件共51頁，創作于2023年2月對f(x)在F連續的說明

若f(x)在Fi上連續，而

Fi為兩兩不交閉集，則f(x)在

上連續故對任意x`∈O(x,δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f連續

Fi0()x證明：任取則存在

i0，使得x∈Fi0，f(x)=ci0，又Fi為兩兩不交閉集，從而x在開集

中所以存在δ>0,使得第42頁，課件共51頁，創作于2023年2月對f(x)在F連續的說明說明：取閉集的原因在于閉集的余集為開集，開集中的點為內點，從而可取x∈Fi足夠小的鄰域不含其他Fi

中的點函數在每一塊上為常值，故在每一塊上都連續，但函數在R上處處不連續

條件Fi為兩兩不交閉集必不可少，如：第43頁，課件共51頁，創作于2023年2月魯津定理的證明(2)當f(x)為有界可測函數時，存在簡單函數列{φn(x)}在E上一致收斂于f(x)，由{φn(x)}在F連續及一致收斂于f(x)

，易知f(x)在閉集F上連續。利用(1)的結果知第44頁，課件共51頁，創作于2023年2月魯津定理的證明則g(x)為有界可測函數，應用(2)即得我們的結果（連續函數類關于四則運算封閉）(3)當f(x)為一般可測函數時，作變換第45頁，課件共51頁，創作于2023年2月注：(1)魯津定理推論魯津定理（限制定義域）（即：去掉某個小測度集，在留下的集合上連續）（在某個小測度集上改變取值并補充定義變成連續函數）若f(x)為

上幾乎處處有限的可測函數，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（對n維空間也成立）則

及R上的連續函數g(x)第46頁，課件共51頁，創作于2023年2月開集的余集是閉集閉集的余集是開集aibi直線上的開集構造

直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個或可數個互不相交的開區間的并魯津定理推論證明的說明

魯津定理：設f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數，則

使