.z.第一章集合§1．1集合基礎知識點：⒈集合的定義：一般地，我們把研究對象統稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，也簡稱集。2.表示方法：集合通常用大括號{}或大寫的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小寫的拉丁字母a,b,c…表示。3.集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。4.常用的數集及記法：非負整數集（或自然數集），記作N；正整數集，記作N*或N+；N內排除0的集.整數集，記作Z；有理數集，記作Q；實數集，記作R；5.關于集合的元素的特征⑴確定性：給定一個集合，則任何一個元素在不在這個集合中就確定了。如："地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。"中國古代四大發明”（造紙，印刷，火藥，指南針）可以構成集合，其元素具有確定性；而"比較大的數”，"平面點P周圍的點”一般不構成集合，因為組成它的元素是不確定的.⑵互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的。.如:方程(*-2)(*-1)2=0的解集表示為1,2,而不是1,1,2⑶無序性：即集合中的元素無順序,可以任意排列、調換。練1：判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：⑴大于3小于11的偶數；⑵我國的小河流；⑶非負奇數；⑷方程*2+1=0的解；⑸**藝校校2011級新生；⑹血壓很高的人；⑺著名的數學家；⑻平面直角坐標系內所有第三象限的點6.元素與集合的關系：(元素與集合的關系有"屬于”及"不屬于”兩種)⑴若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A，記作aA；⑵若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作aA。例如，（1）A表示"1~20以內的所有質數”組成的集合，則有3∈A，4A，等等。（2）A={2，4，8，16}，則4A，8A，典型例題例1．用"∈”或"”符號填空：⑴8N；⑵0N；⑶-3Z；⑷Q；⑸設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國A，美國A，印度A，英國A。例2．已知集合P的元素為,若2∈P且-1P，**數m的值。第二課時基礎知識點一、集合的表示方法⒈列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號"”括起來表示集合的方法叫列舉法。如：{1，2，3，4，5}，{*2，3*+2，5y3-*，*2+y2}，…；說明：⑴書寫時，元素與元素之間用逗號分開；⑵一般不必考慮元素之間的順序；⑶在表示數列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序；⑷集合中的元素可以為數，點，代數式等；⑸列舉法可表示有限集，也可以表示無限集。當元素個數比較少時用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現一定的規律性，在不發生誤解的情況下，也可以用列舉法表示。⑹對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規律顯示清楚后方能用省略號，象自然數集Ｎ用列舉法表示為例1．用列舉法表示下列集合：小于5的正奇數組成的集合；能被3整除而且大于4小于15的自然數組成的集合；從51到100的所有整數的集合；小于10的所有自然數組成的集合；方程的所有實數根組成的集合；⑹由1~20以內的所有質數組成的集合。⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法。。方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）*圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。一般格式：如：{*|*-3>2}，{(*,y)|y=*2+1}，{*|直角三角形}，…；說明:描述法表示集合應注意集合的代表元素，如{(*,y)|y=*2+3*+2}與{y|y=*2+3*+2}是不同的兩個集合，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：{整數}，即代表整數集Z。辨析：這里的{}已包含"所有”的意思，所以不必寫{全體整數}。寫法{實數集}，{R}也是錯誤的。用符號描述法表示集合時應注意：1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是數還是點、還是集合、還是其他形式？2、元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2．用描述法表示下列集合：由適合*2-*-2>0的所有解組成的集合;（2）方程的所有實數根組成的集合（3）由大于10小于20的所有整數組成的集合。說明：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。練習：1.由方程*2－2*－3＝0的所有實數根組成的集合；2.大于2且小于6的有理數；3.已知集合A＝{*|-3<*<3，*∈Z}，B＝{(*,y)|y＝*+1，*∈A}，則集合B用列舉法表示是3、文氏圖集合的表示除了上述兩種方法以外，還有文氏圖法，即3,9,27A畫一條封閉的曲線,用它的內部來表示一個集合，如下圖所示：3,9,27A表示{3，9，27}表示任意一個集合A表示{3，9，27}表示任意一個集合A二、集合的分類觀察下列三個集合的元素個數1.{4.8,7.3,3.1,-9};2.{*R∣0<*<3};3.{*R∣*2+1=0}由此可以得到集合的分類典型例題【題型一】元素與集合的關系1、設集合A＝｛１，｝,B=｛1,a２｝,且A=B，**數a的值。2、已知集合A＝｛a+2，（a+1)２｝若1∈A,**數a的值。【題型二】元素的特征1、已知集合M=｛*∈N∣∈Z｝,求M鞏固練習：一選擇題：1.給出下列四個關系式：①∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正確的個數是()A.1B.2C.3D.42.方程組的解組成的集合是()A.｛2,1｝B.｛-1,2｝C.（2,1）D.｛（2,1）｝把集合｛-3≤*≤3,*∈N｝用列舉法表示，正確的是()A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝4.已知A＝{*|3－3*>0}，則下列各式正確的是()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1?A二填空題：5．已知集合A＝{1，a2}，實數a不能取的值的集合是________．6．已知P＝{*|2＜*＜a，*∈N}，已知集合P中恰有3個元素，則整數a＝________.7.集合M=｛y∈Z∣y=,*∈Z｝,用列舉法表示是M＝。8.已知集合A＝｛2a,a2-a｝，則a的取值*圍是。三、解答題：9．已知集合A＝{*|a*2－3*－4＝0，*∈R}．(1)若A中有兩個元素，**數a的取值*圍；(2)若A中至多有一個元素，**數a的取值*圍．1.基礎知識點比較下面幾個例子，試發現兩個集合之間的關系：（1），；（2），；觀察可得：⒈子集：對于兩個集合A，B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集（subset）。記作：讀作：A包含于B，或B包含ABA表示：當集合A不包含于集合B時，記作A?B(或BBA表示：用Venn圖表示兩個集合間的"包含”關系：⒉集合相等定義：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B中的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，即若，則。如：A={*|*=2m+1，mZ}，B={*|*=2n-1，nZ}，此時有A=B。⒊真子集定義：若集合，但存在元素，則稱集合A是集合B的真子集。記作：AB（或BA）讀作：A真包含于B（或B真包含A）4.幾個重要的結論：⑴空集是任何集合的子集；對于任意一個集合A都有A。⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一個集合是它本身的子集；⑷對于集合A，B，C，如果，且，則。練習：填空：⑴2N；N；A;⑵已知集合A＝{*|*－3*＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{*|*<8,*∈N}，則AB；AC；{2}C；2C說明：⑴注意集合與元素是"屬于”"不屬于”的關系，集合與集合是"包含于”"不包含于”的關系；⑵在分析有關集合問題時，要注意空集的地位。典型例題【題型１】集合的子集問題1.寫出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。2.已知集合M滿足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求滿足條件的集合M。3.已知集合A＝｛*|*2-2*-3=0｝,B=｛*|a*=1｝，若BA，則實數a的值構成的集合是（）｛-1,0,｝B.｛-1,0｝C.｛-1,｝D.｛,0｝已知集合且，**數m的取值*圍。鞏固練習1、判斷下列集合的關系.(1)N_____Z;(2)N_____Q;(3)R_____Z;(4)R_____Q;(5)A={*|(*-1)2=0}，B={y|y2-3y+2=0};(6)A={1,3}，B={*|*2-3*+2=0};(7)A={-1,1}，B={*|*2-1=0};2、設A={0，1}，B={-1,0,1,2,3}，問A與B什么關系？3、已知集合，≥，且滿足，**數的取值*圍。4、若集合，且,**數的值.1.基礎知識點考察下列集合，說出集合C與集合A，B之間的關系：（1），；（2），；1.并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的并集，即A與B的所有部分，記作A∪B，讀作：A并B即A∪B={*|*∈A或*∈B}。Venn圖表示：說明：定義中要注意"所有”和"或”這兩個條件。討論：A∪B與集合A、B有什么特殊的關系？A∪A＝,A∪Ф＝,A∪BB∪AA∪B＝A,A∪B＝B.鞏固練習（口答）：①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，則A∪B＝;②．設A＝{銳角三角形}，B＝{鈍角三角形}，則A∪B＝;③．A＝{*|*>3}，B＝{*|*<6}，則A∪B＝。交集定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset），記作：A∩B讀作：A交B即：A∩B＝{*|*∈A，且*∈B}（陰影部分即為A與B的交集）（陰影部分即為A與B的交集）Venn圖表示：常見的五種交集的情況：ABA(B)BAAABA(B)BAABBA說明：當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集討論：A∩B與A、B、B∩A的關系？A∩A＝A∩＝A∩BB∩AA∩B＝AA∩B＝B鞏固練習（口答）：①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，則A∩B＝;②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，則A∩B＝;③．A＝{*|*>3}，B＝{*|*<6}，則A∩B＝。3.一些特殊結論⑴若A,則A∩B=A；⑵若B,則AB=A；⑶若A，B兩集合中，B=，,則A∩=,A=A。典型例題【題型一】并集與交集的運算【例1】-1123設A={*|-1<*<2},B={*|1<*<3},-1123解：A∪B={*|-1<*<2}∪{*|1<*<3}={*|-1<*<3}.【例2】設A={*|*>-2}，B={*|*<3},求A∩B。-23-23A∩B={*|*>-2}∩{*|*<3}={*|-2<*<3}。【例3】已知集合A＝｛y|y=*2-2*-3,*∈R｝,B=｛y|y=-*2+2*+13,*∈R｝求A∩B、A∪B【題型二】并集、交集的應用例：.已知｛3,4，m2-3m-1｝∩{2m，-3}=｛-3｝,則m＝。鞏固練習設A={*|*是等腰三角形}，B={*|*是直角三角形}，則A∩B＝。2、設A={*|*是銳角三角形}，B={*|*是鈍角三角形}，則A∪B＝。3、設A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，則A∪B＝。4、已知集合M＝{*|*-2<0},N={*|*+2>0},則M∩N等于。5、設A＝｛不大于20的質數｝，B＝{*|*＝2n+1,n∈N*}，用列舉法寫出集合A∩B＝。6、若集合A＝｛1，3，*｝,B=｛1,*2｝,A∪B＝｛1，3，*｝,則滿足條件的實數*=_____________7、滿足條件M∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M的個數是。已知集合A＝｛*|-1≤*≤2｝,B=｛*|2a＜*＜a+3｝,且滿足A∩B＝，則實數a的取值*圍是。集合的基本運算㈡基礎知識點思考1．U={全班同學}、A={全班參加足球隊的同學}、B={全班沒有參加足球隊的同學}，則U、A、B有何關系？集合B是集合U中除去集合A之后余下來的集合。（一）.全集、補集概念及性質：⒈全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，則就稱這個集合為全集,記作U，是相對于所研究問題而言的一個相對概念。⒉補集的定義：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集合A相對于全集U的補集,記作：，讀作：A在U中的補集，即Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補集）說明：補集的概念必須要有全集的限制討論：集合A與之間有什么關系？→借助Venn圖分析鞏固練習（口答）：①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，則=，=；②．設U＝{*|*<8，且*∈N}，A＝{*|(*-2)(*-4)(*-5)＝0}，則＝；③．設U＝{三角形}，A＝{銳角三角形}，則＝。典型例題【題型1】求補集【例1】．設全集，求，．【例2】設全集，求，，。（結論：）【例3】設全集U為R，，若，求。（答案：）【例4】設全集U＝｛*|-1≤*≤3｝,A=｛*|-1＜*＜3｝,B=｛*|*2-2*-3=0｝,求，并且判斷和集合B的關系。鞏固練習1.若S={2，3，4}，A={4，3}，則CSA=__________________；2.若S={三角形}，B={銳角三角形}，則CSB=__________________-；3.若S={1，2，4，8}，A=?，則CSA=___________；4.若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，則a=；5.已知全集U=R,集合A={*|0<*-15},求CUA=______________________;6.已知集合M{4,7,8},且M中至多有一個偶數,則這樣的集合為__________________提高內容：7.A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB={3，7}，求B.8.已知M={1}，N={1，2}，設A={（*，y）|*∈M，y∈N}，B={（*，y）|*∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.高一數學必修1集合單元綜合練習（Ⅰ）一、填空題(本大題包括14小題；每小題5分，滿分70分)1、U＝｛1，2，3，4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CUA)∩B＝｛4｝，(CUA)∩(CUB)＝｛1，5｝，則下列結論正確的是.1=SUM(2)①、3A且3B；②、3A且3B；③、3A且3B；④、3A且3B。2、設集合M=｛*｜－1≤*＜2｝，N=｛*｜*－k≤0｝，若M∩N≠，則k的取值*圍是3、已知全集I=｛*｜*R｝，集合A=｛*｜*≤1或*≥3｝，集合B=｛*｜k＜*＜k＋1，kR｝，且(CIA)∩B＝，則實數k的取值*圍是4、已知全集，，則為5、設，集合，則6、設集合M=，則MN。(選填、、、、＝、、)7、設集合,,則A∩B=8、設和是兩個集合，定義集合，如果，，則等于9、已知集合，．若，則實數的取值*圍是10、設集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定義運算為：A1A=Ab，其中k為I+j被4除的余數，I，j=0，1，2，3.滿足關系式=(**)A2=A0的*(*∈S)的個數為11、集合，的取值*圍是.12、定義集合運算：.設,,則集合的所有元素之和為13、設集合N}的真子集的個數是14、*班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有____人。二、解答題(本大題包括5小題；滿分90分)解答時要有答題過程！15、(13分)已知全集U=，若A=，，**數的a，b值。16、(14分)若集合S=，且S∩T=，P=S∪T，求集合P的所有子集17、(16分)已知集合A=，B={*|2<*<10}，C={*|*<a}，全集為實數集R.(1)求A∪B，(CRA)∩B；(2)如果A∩C≠，求a的取值*圍。18、(18分)已知集合的元素全為實數，且滿足：若，則。(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？請你設計一個實數，再求出中的所有元素？(3)根據(1)(2)，你能得出什么結論19、(14分)集合，，滿足，**數的值。高一數學必修