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期末總復習題

一、填空題rrrrrrrr、已知向量rr。ij2k，b2ijk，則ab=-11a2、曲線zx2繞z軸旋轉所得曲面方程為z=x2+y2。3、級數11的斂散性為發散。1n3nn4、設L是上半圓周x2y2a2（y0），則曲線積分Lx21y2ds=a022dx0f(x,y)dy5．交換二重積分的積分次序：dyf(x,y)dx＝111y1-x．級數1的和為1。61n(n1)n二、選擇題1、平面(x1)3y(z1)0和平面(x2)(y1)2z0的關系（B）A、重合B、平行但不重合C、一般斜交D、垂直下列曲面中為母線平行于z軸的柱面的是（C）

A、x22z21B、y22z21C、x22y21D、x22y2z213.設D:x2y24(y0),則x3ln(x2y21)dxdy（A）x2y21DA、2B、0C、1D、44、設D:x2y24(y0)，則dxdy（A）DA、16B、4C、8D、25、函數z50x24y2在點（1，-2）處取得最大方向導數的方向是（A）A、2i16jB、2i16jC、2i16jD、2i16j6、微分方程(y)2(y)2y20的階數為B）

A、1 B、2 C、4 D、6

7． 下 列 表 達 式中 ， 微 分 方 程 y 4y 3y 0 的 通 解 為墻溝瞞絹媽駐渦頌連澀瀝憐綴絲瓔。

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（D）A、yexe3xCB、yexCe3xC、yCexe3xD、yC1exC2e3x

8．limun0為無窮級數un收斂的nn1B）

A、充要條件 B、 必要條件 C、充分條件 D、什么也不是

三、已知a1，b3，ab，求ab與ab的夾角.P7解：abab0ab（a2(103)2b）a-b(ab)2(103)2(ab)(ab)132cos(ab)(ab)21aba-b42120O解：設平面方程為AxByCzD0依題可得，-2AB3C0D0又，，A-4B5C0n1-45故有：47x13yz0

四、一 平 面 垂 直 于 平 面

x 4y 5z 1 0且過原點和點

2,7,3，求該平面方程.（參考課

本P7例題）解：由全微分方程的不變性，得dzzduzdvuvevduuevdvexyd(x2y2)(x2y2)exyd(xy)exy(2xdx2ydy)(x2y2)exy(ydxxdy)exy(2xx2yy3)dxexy(x32yxy2)dy五、設zuev,ux2y2進而可得,vxy,求，zzxy23xy(x32)xe(2xxyy)ye2yxy.精品文檔

z zdz, , . P19

六、求由xyzsinz所確定的函數zzx,y的偏導數z,zxy解：由xyzsinz得xyzsinz0兩邊對求偏導數得：coszzyzxyz0xxx解得：zyzxcoszxy兩邊對求偏導數得：coszzxzxyz0yyy解得：zxzycoszxy七、求旋轉拋物面z2x22y2在點M01處的切平面和法線方程.1,,22解：令f(x,y)2x22y2,則：fx(x,y)4x,fy(x,y)4y所以：n4x,4y,1,nM04,2,1故曲面在點M0處的切面方程式為：4(x1)2(y1)(z2)02即：2yz304x法線方程式為：x1y1z22421x12y1z2即：44

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八、求函數fx,yxysin(x2y)在點P0,0處沿從點P0,0到點Q1,2的方向的解：這里的方向即向量PQ，的方向，12易知上單位向量01，2PQ55方向導數。又fx(x,y)ycos(x2y),fy(x,y)x2cos(x2y)fx(0,0)1,fy(0,0)2故ffx(0,0)?1fx(0,0)?2(0,0)551?12?2555九、計算二重積分xydxdy，其中D是由x軸，y軸與單位圓x2y21在第一象D限所圍的區域.

解：畫出微積分區域 D的草圖，如圖所示，從

D的草圖可判斷 D既是X型區域也是Y型區域，

把D看成Y型區域，則先對 x積分，后對y積分，駿禪賑絨閿飛慫祿駑瞼繅廢渾雞鐓。此時D可用不等式組表示：1xy,1y2y故x2yx12(y19dsdydy1dxy3)dy16Dy1yy21

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十、計算?yds，其中L是頂點為A1,0，B0,1和O0,0的三角形邊界.（參考LP79例2）解：的方程分別為：AB,OB,OAy1x,0x1,x，0y1,0y0,0x1,則：(xy)ds1x1x1(1)2dx0AB12dx20(xy)ds10)102dx1xdx1,OA(x002(xy)ds1y)021dy11,OB(00ydy02故得：(xy)ds(xy)dsAB(xy)ds(xy)ds21LOAOB十一、求微分方程sinxcosydxcosxsinydy0滿足初始條件yx0的特解.P1674解：將方程分離變量得：sinxdxsinydy,cosxcosy兩邊積分：sin