第一節(jié)不等關(guān)系與不等式必備知識—基礎(chǔ)落實關(guān)鍵能力—考點突破·最新考綱·了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景．·考向預(yù)測·考情分析：不等式性質(zhì)在高考中單獨命題較少，多出現(xiàn)在解題過程中，其中不等式性質(zhì)與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合將是高考的熱點，題型以選擇題為主．學(xué)科素養(yǎng)：通過不等式性質(zhì)的應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實一、必記2個知識點1．實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?________．(2)a＝b?a－b＝0.(3)a<b?________．a(chǎn)－b>0a－b<0

b<aa>ca＋c>b＋dac>bd

√√×××××

答案：A

答案：A

答案：A

(－π，0)

(四)走進高考6．[2019·全國卷Ⅱ]若a>b，則(

)A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0D．|a|>|b|答案：C解析：由函數(shù)y＝lnx的圖象(圖略)知，當(dāng)0<a－b<1時，ln(a－b)<0，故A不正確；因為函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時，3a>3b，故B不正確；因為函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時，a3>b3，即a3－b3>0，故C正確；當(dāng)b<a<0時，|a|<|b|，故D不正確．故選C.關(guān)鍵能力—考點突破

答案：B

2．已知a1，a2∈(0，1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(

)A．M<NB．M>NC．M＝ND．不確定答案：B解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又因為a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.故選B.

答案：B

反思感悟

用作差法比較兩個實數(shù)大小的四步曲

答案：(1)D

答案：C

反思感悟不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的3大常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大小．熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．(2)與充要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用．(3)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法．

答案：D

考點三利用不等式性質(zhì)求范圍[應(yīng)用性][例2]

已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．(－4，2)(1，18)解析：∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.一題多變

1．(變條件)將本例的條件改為“－1<x<y<3”，則x－y的取值范圍為________．(－4，0)解析：∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4①又∵x<y，∴x－y<0，②由①②得－4<x－y<0，故x－y的取值范圍是(－4，0)．2．(變條件)將本例的條件改為“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，則3x＋2y的取值范圍為__________．

反思感悟利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的方法由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通過恒等變形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x，y)的取值范圍．

第二節(jié)一元二次不等式及其解法必備知識—基礎(chǔ)落實關(guān)鍵能力—考點突破微專題·最新考綱·1．會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系．3．會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖．·考向預(yù)測·考情分析：不等式解法是不等式中的重要內(nèi)容，且常考常新，“三個二次”之間的聯(lián)系的綜合應(yīng)用等問題是高考考查的熱點，題型多以選擇題、填空題為主，難度中等偏下．學(xué)科素養(yǎng)：通過一元二次不等式及恒成立問題的求解考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實一、必記1個知識點二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集________________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}??

√√××

答案：D

－14

(三)易錯易混4．(不等式變形必須等價)不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集為________．(－5，3)解析：原不等式等價于(x＋5)(x－3)<0，解得－5<x<3，即該不等式的解集為(－5，3)．5．(注意二次項系數(shù)的符號)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集為_____________．

答案：A

關(guān)鍵能力—考點突破

答案：C

答案：B

反思感悟

解一元二次不等式的4個步驟考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法[綜合性][例1]

解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

反思感悟含參數(shù)的一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項系數(shù)的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向．(2)討論判別式的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)．(3)當(dāng)Δ>0時，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大小．(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．

{x|x≥3或x≤2}

2．解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．

考點三一元二次不等式恒成立問題[綜合性]角度1在R上的恒成立問題[例2]

對于任意實數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2)

B．(－∞，2]C．(－2，2)D．(－2，2]答案：D

反思感悟

一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度2在給定區(qū)間上的恒成立問題[例3]

已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為___________．

角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問題[例4]

若mx2－mx－1<0對于m∈[1，2]恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為___________．

反思感悟給定參數(shù)范圍求x范圍的恒成立問題的解法解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．

答案：C

2．當(dāng)x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是(

)A.(－∞，4]B．(－∞，－5)C.(－∞，－5]D．(－5，－4)答案：C

微專題26轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達(dá)到解決問題的思想．

答案：D名師點評(1)本題的解法充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想；函數(shù)的值域和不等式的解集轉(zhuǎn)化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．(2)注意函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)與f(x)≥0的區(qū)別．[變式訓(xùn)練]

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實數(shù)c的值為________．9

第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題必備知識—基礎(chǔ)落實關(guān)鍵能力—考點突破·考向預(yù)測·考情分析：主要考查利用線性規(guī)劃知識求目標(biāo)函數(shù)的最值、取值范圍、參數(shù)的取值(范圍)以及實際應(yīng)用，目標(biāo)函數(shù)大多是線性的，偶爾也會出現(xiàn)斜率型和距離型的目標(biāo)函數(shù)，此部分內(nèi)容仍是高考的熱點，主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)．學(xué)科素養(yǎng)：通過線性規(guī)劃在求最值中的應(yīng)用問題考查直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．考向預(yù)測·考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域，分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識的綜合仍是高考的熱點，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度．學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)概念考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通常通過函數(shù)定義域、函數(shù)解析式及分段函數(shù)問題考查數(shù)學(xué)運算及直觀想象的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實一、必記3個知識點1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域,不包括________Ax＋By＋C≥0包括________不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的________邊界直線邊界直線公共部分2.二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的_______________，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的________________構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集．有序數(shù)對(x，y)有序數(shù)對(x，y)3．線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的________線性約束條件由x，y的________不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的________解析式可行解滿足線性約束條件的解________可行域所有可行解組成的________最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得________或________的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的________或________問題不等式(組)一次一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值二、必明2個常用結(jié)論1．畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0，1)或(1，0)來驗證．2．判斷二元一次不等式表示的區(qū)域(1)若B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；(2)當(dāng)B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集．(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(

)(3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)(4)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(

)√√××

答案：C解析：x－3y＋6<0表示直線x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式組表示的平面區(qū)域為選項C所示部分．

4

5

1解析：依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則直線z＝y(tǒng)－ax必平行于直線y－x＋1＝0，于是有a＝1.

答案：C

關(guān)鍵能力—考點突破

答案：C

答案：D

答案：B

反思感悟二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法(1)線定界：二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，不含邊界直線；(2)點定域：在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)，代入不等式檢驗，若滿足不等式，則包含此點的半平面為不等式所表示的平面區(qū)域，否則為另一側(cè)所表示的平面區(qū)域；(3)交定區(qū)：若平面區(qū)域是由不等式組決定的，則在確定了各個不等式所表示的區(qū)域后，求這些區(qū)域的公共部分，這個公共部分即為所求．

答案：C解析：(1)如圖，畫出可行域(如圖，陰影部分含邊界)，令z＝2x－y，y＝2x－z.當(dāng)z＝0時，畫出初始目標(biāo)函數(shù)表示的直線y＝2x，當(dāng)直線平移至點A(0，1)時，z＝2x－y取得最小值zmin＝2×0－1＝－1，根據(jù)可行域可知，無最大值，所以2x－y的取值范圍是[－1，＋∞)．

答案：B

2．求目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的常用方法如果可行域是一個多邊形，那么一般在某頂點處使目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解，到底哪個頂點為最優(yōu)解，可有兩種方法判斷：(1)將可行域各頂點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，通過比較各頂點函數(shù)值大小即可求得最優(yōu)解；(2)將目標(biāo)函數(shù)的直線平移，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解．

一題多變1．(變問題)若例2中條件不變，將“z＝x2＋y2”改為“z＝x2＋y2＋6x－4y＋13”，如何求解？

答案：D解析：(1)作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y可化為y＝－ax＋z，且目標(biāo)函數(shù)僅在點A(2，3)處取到最大值，所以－a<kAB，即－a<1，所以a>－1，故選D.(2)已知實數(shù)x，y滿足1≤y≤x＋y≤ax＋3，若y－2x的最大值是3，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，3]B．[1，3]C．(－∞，2)D．(2，＋∞)答案：A

反思感悟

由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的方法(1)把參數(shù)當(dāng)常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)求出最值，通過構(gòu)造方程或不等式求出參數(shù)的值或取值范圍．(2)先分離含有參數(shù)的式子，數(shù)形結(jié)合確定含參數(shù)的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．[提醒]

參數(shù)可能在表示可行域的不等式中(影響可行域的形狀)，也可能在目標(biāo)函數(shù)中(影響最優(yōu)解的位置)，求解時注意參數(shù)的影響，有時需要對參數(shù)進行分類討論．

－28

62

答案：C

考點三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用[應(yīng)用性][例4]

某校準(zhǔn)備采用導(dǎo)師制成立培養(yǎng)各學(xué)科全優(yōu)尖子生培優(yōu)小組A，B，設(shè)想培優(yōu)小組A中，每1名學(xué)生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導(dǎo)師；設(shè)想培優(yōu)小組B中，每1名學(xué)生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導(dǎo)師．若學(xué)校現(xiàn)有14名理科教師和9名文科教師積極支持，則兩培優(yōu)小組能夠成立的學(xué)生人數(shù)和最多是_____．5

反思感悟1．解線性規(guī)劃應(yīng)用題3步驟(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題．(2)求解——解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題．(3)作答——將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實際問題的答案．2．求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的3個注意點(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號．(2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負(fù)數(shù)等．(3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式．【對點訓(xùn)練】[2022·河北省“五個一名校聯(lián)盟”考試]某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為(

)A.15萬元

B．16萬元C．17萬元D．18萬元

甲乙原料限額A/噸3212B/噸128答案：D

第四節(jié)基本不等式必備知識—基礎(chǔ)落實關(guān)鍵能力—考點突破微專題

·考向預(yù)測·考情分析：利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等仍是高考熱點，多出現(xiàn)在解答題的運算中．學(xué)科素養(yǎng)：通過基本不等式求最值的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實

a>0，b>0a＝b

x＝y(tǒng)小x＝y(tǒng)大

×××√

3

3．[必修5·P100練習(xí)T2改編]若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是____m2.25

3

關(guān)鍵能力—考點突破

5

(2)已知0<x<1，則x(3－2x)的最大值為_____．

反思感悟配湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．

答案：A

反思感悟常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值.角度3消元法[例3]

已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則(1)x＋3y的最小值為_____；6

(2)xy的最大值為________．3

反思感悟消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決的方法是代入消元后利用基本不等式求解．但應(yīng)注意保留元的取值范圍．

答案：D