高等數(shù)學(xué)無窮級數(shù)第1頁/共315頁重點(diǎn)級數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法，冪級數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier展開式；難點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級數(shù)的直接法和間接法，F(xiàn)ourier展開，級數(shù)求和；基本要求①掌握級數(shù)斂散性概念和性質(zhì)②掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法③掌握交錯級數(shù)的Leibniz審斂法第2頁/共315頁④掌握絕對收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級數(shù)及主要性質(zhì)，會求收斂半徑和收斂區(qū)間，會求簡單的冪級數(shù)的和函數(shù)⑥熟記五個基本初等函數(shù)的Taylor級數(shù)展開式及其收斂半徑⑦掌握Fourier級數(shù)概念，會熟練地求出各種形式的Fourier系數(shù)⑧掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級數(shù)的特點(diǎn)及如何將函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)第3頁/共315頁一、問題的提出1.計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第4頁/共315頁二、級數(shù)的概念1.級數(shù)的定義:一般項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù)級數(shù)的部分和部分和數(shù)列第5頁/共315頁2.級數(shù)的收斂與發(fā)散:第6頁/共315頁余項(xiàng)無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．第7頁/共315頁觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第8頁/共315頁第次分叉：周長為面積為第9頁/共315頁于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．第10頁/共315頁解

收斂

發(fā)散第11頁/共315頁

發(fā)散

發(fā)散

綜上第12頁/共315頁解第13頁/共315頁三、基本性質(zhì)結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.第14頁/共315頁證明

類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性.第15頁/共315頁證明注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散第16頁/共315頁事實(shí)上，對級數(shù)任意加括號若記則加括號后級數(shù)成為記的部分和為的部分和記為則由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知存在，必定存在存在未必存在第17頁/共315頁四、收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:證明第18頁/共315頁注意1.如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.第19頁/共315頁討論第20頁/共315頁2項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)

項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.第21頁/共315頁由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩形面積把每一項(xiàng)看成是以為高就是圖中

n

個矩形的面積之和即故調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)的部分和第22頁/共315頁五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念基本審斂法思考題第23頁/共315頁思考題解答能．由柯西審斂原理即知．第24頁/共315頁觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第25頁/共315頁1第26頁/共315頁2第27頁/共315頁3第28頁/共315頁4第29頁/共315頁5第30頁/共315頁練習(xí)題第31頁/共315頁第32頁/共315頁練習(xí)題答案第33頁/共315頁常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法

在研究級數(shù)時，中心問題是判定級數(shù)的斂散性，如果級數(shù)是收斂的，就可以對它進(jìn)行某些運(yùn)算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個特殊的級數(shù)，在一般情況下，直接考察級數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法

對常數(shù)項(xiàng)級數(shù)將分為正項(xiàng)級數(shù)和任意項(xiàng)級數(shù)來討論第34頁/共315頁一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).這種級數(shù)非常重要，以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級數(shù)的收斂性問題2.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.定理第35頁/共315頁3.比較審斂法證明即部分和數(shù)列有界第36頁/共315頁不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).第37頁/共315頁解由圖可知第38頁/共315頁重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).第39頁/共315頁

比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁剑@種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法證明第40頁/共315頁4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;第41頁/共315頁證明由比較審斂法的推論,得證.第42頁/共315頁第43頁/共315頁解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.第44頁/共315頁證明第45頁/共315頁收斂發(fā)散第46頁/共315頁比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級數(shù).直接從級數(shù)本身的構(gòu)成——即通項(xiàng)來判定其斂散性兩點(diǎn)注意:第47頁/共315頁第48頁/共315頁解第49頁/共315頁比值審斂法失效,改用比較審斂法第50頁/共315頁例5解由于不存在，檢比法失效而對由檢比法得收斂故由比較審斂法知收斂第51頁/共315頁例6解由檢比法得級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散第52頁/共315頁檢比法失效，但即后項(xiàng)大于前項(xiàng)故級數(shù)發(fā)散第53頁/共315頁證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂第54頁/共315頁由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散第55頁/共315頁級數(shù)收斂.第56頁/共315頁二、交錯級數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).第57頁/共315頁證明第58頁/共315頁滿足收斂的兩個條件,定理證畢.第59頁/共315頁解原級數(shù)收斂.證明

un

單調(diào)減的方法？？？第60頁/共315頁三、絕對收斂與條件收斂定義:

正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù).證明第61頁/共315頁上定理的作用：任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)第62頁/共315頁解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.將正項(xiàng)級數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性可得到如下定理第63頁/共315頁定理設(shè)有級數(shù)

則絕對收斂發(fā)散可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如第64頁/共315頁注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出發(fā)散如發(fā)散但收斂如果發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定則必定發(fā)散這是因?yàn)闄z比法與檢根法審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于0由第65頁/共315頁四、小結(jié)正項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);第66頁/共315頁思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.第67頁/共315頁練習(xí)題第68頁/共315頁第69頁/共315頁第70頁/共315頁練習(xí)題答案第71頁/共315頁1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂一、主要內(nèi)容第72頁/共315頁常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法正項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級數(shù)4.絕對收斂第73頁/共315頁2、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式是同階無窮小特別（等價無窮小）第74頁/共315頁3、交錯級數(shù)及其審斂法4、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法Leibniz定理絕對收斂，條件收斂附：正項(xiàng)級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)審斂程序第75頁/共315頁發(fā)散NYYNN改用它法Y收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散第76頁/共315頁N

發(fā)散YY

收斂N用檢比法用比較法用L—準(zhǔn)則或考察部分和NNY條件收斂第77頁/共315頁例1求極限解考察正項(xiàng)級數(shù)由檢比法收斂由級數(shù)收斂的必要條件得二、典型例題第78頁/共315頁例2設(shè)試證發(fā)散證不妨設(shè)a>0

由極限保號性知由于故由比較法的極限形式得發(fā)散例3若都發(fā)散則A必發(fā)散B必發(fā)散C必發(fā)散D以上說法都不對第79頁/共315頁例3解第80頁/共315頁根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散．解從而有第81頁/共315頁原級數(shù)收斂；原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)也發(fā)散．第82頁/共315頁例4解即原級數(shù)非絕對收斂．由萊布尼茨定理：第83頁/共315頁所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．第84頁/共315頁都收斂且例5設(shè)試證收斂證由知因都收斂故正項(xiàng)級數(shù)收斂再由比較審斂法知正項(xiàng)級數(shù)收斂而即可表為兩個收斂級數(shù)之和故收斂第85頁/共315頁例6設(shè)且若收斂則也收斂證由題設(shè)知而收斂由比較法得收斂Cauchy積分審斂法設(shè)單調(diào)減少則與同斂散例7第86頁/共315頁證由f(x)單調(diào)減少知即故與同斂散例8設(shè)是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明收斂第87頁/共315頁證記則且而正項(xiàng)級數(shù)的部分和又單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知存在即收斂進(jìn)而收斂由比較法得收斂第88頁/共315頁設(shè)正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，級數(shù)發(fā)散考察的斂散性證

記由單調(diào)減少故由單調(diào)有界原理知存在且若由Leibniz審斂法得交錯級數(shù)收斂與題設(shè)矛盾由檢根法知收斂例9第89頁/共315頁已知證明⑴⑵⑶由知對有證⑴例10第90頁/共315頁而收斂故由比較法知收斂⑵由知有而發(fā)散故由比較法知發(fā)散第91頁/共315頁⑶如但第92頁/共315頁

討論的斂散性解對級數(shù)收斂絕對收斂發(fā)散發(fā)散分情況說明例11第93頁/共315頁級數(shù)成為收斂發(fā)散級數(shù)成為絕對收斂條件收斂第94頁/共315頁例12對的值，研究一般項(xiàng)為的級數(shù)的斂散性解由于當(dāng)n

充分大時，定號故級數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯級數(shù)總有級數(shù)發(fā)散第95頁/共315頁非增地趨于0由Leibniz審斂法知收斂但而發(fā)散故由比較法的極限形式發(fā)散第96頁/共315頁條件收斂級數(shù)顯然收斂第97頁/共315頁正項(xiàng)級數(shù)

由級數(shù)收斂的必要條件要使收斂必須但在一般項(xiàng)趨于0的級數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來也更有效的階問題的實(shí)質(zhì)是級數(shù)收斂與否取決于關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂第98頁/共315頁和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級數(shù)與某一幾何級數(shù)作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到“失效”的情況。這一結(jié)論將許多級數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判定注①比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對正項(xiàng)級數(shù)方可使用的一種估計第99頁/共315頁②檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件③L—準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件④通項(xiàng)中含等常用檢比法⑤通項(xiàng)中含有以n

為指數(shù)冪的因子時常用檢根法⑥使用比較法的極限形式時，關(guān)鍵在于找出與同階或等價的無窮小如記則⑦當(dāng)所討論的級數(shù)中含有參數(shù)時，一般都要對參數(shù)的取值加以討論第100頁/共315頁1.定義:冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念第101頁/共315頁2.收斂點(diǎn)與收斂域:3.和函數(shù):第102頁/共315頁(定義域是?)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)注意(x在收斂域上)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.第103頁/共315頁解由達(dá)朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.原級數(shù)發(fā)散.第104頁/共315頁收斂;發(fā)散;二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:第105頁/共315頁2.收斂性:第106頁/共315頁證明第107頁/共315頁由(1)結(jié)論幾何說明發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域收斂區(qū)域這是冪級數(shù)收斂的特性第108頁/共315頁推論定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.第109頁/共315頁稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，收斂域

=

收斂區(qū)間

+

收斂的端點(diǎn)可能是規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?第110頁/共315頁證明第111頁/共315頁由比值審斂法,第112頁/共315頁定理證畢.第113頁/共315頁①若在

x0

處收斂則②在x0

處發(fā)散若則③若在x0

處條件收斂則這是冪級數(shù)收斂的特性注利用該定理求收斂半徑要求所有的或只有有限個第114頁/共315頁例2

求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散第115頁/共315頁第116頁/共315頁發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].第117頁/共315頁如缺項(xiàng)，則必不存在，但冪級數(shù)并不是沒有收斂半徑，此時不能套用定理，可考慮直接用比值法或根值法求收斂半徑例3已知冪級數(shù)的收斂半徑R=1求的收斂半徑解任取由收斂知注：第118頁/共315頁由檢比法易得收斂故由比較審斂法知在故收斂半徑內(nèi)絕對收斂注意收斂半徑為1，并不意味著`第119頁/共315頁三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中第120頁/共315頁(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)第121頁/共315頁2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):(收斂半徑不變)第122頁/共315頁(收斂半徑不變)解第123頁/共315頁兩邊積分得第124頁/共315頁例5求和函數(shù)解收斂域?yàn)橛泟t并求的和第125頁/共315頁故故第126頁/共315頁常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)第127頁/共315頁記住幾個常見級數(shù)的和常數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的一種重要方法冪級數(shù)法或Abel法第128頁/共315頁四、小結(jié)1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念:2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)思考題

冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？第129頁/共315頁思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是第130頁/共315頁練習(xí)題第131頁/共315頁第132頁/共315頁練習(xí)題答案第133頁/共315頁函數(shù)展開成冪級數(shù)

由于冪級數(shù)在收斂域內(nèi)確定了一個和函數(shù)，因此我們就有可能利用冪級數(shù)來表示函數(shù)。如果一個函數(shù)已經(jīng)表示為冪級數(shù)，那末該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等問題就迎刃而解。第134頁/共315頁一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?第135頁/共315頁證明第136頁/共315頁逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的,第137頁/共315頁問題泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.定義第138頁/共315頁在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),第139頁/共315頁證明必要性第140頁/共315頁充分性第141頁/共315頁證明第142頁/共315頁二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:第143頁/共315頁例1解由于M的任意性,即得第144頁/共315頁例2解第145頁/共315頁例3解第146頁/共315頁第147頁/共315頁兩邊積分得第148頁/共315頁即注意:牛頓二項(xiàng)式展開式第149頁/共315頁雙階乘第150頁/共315頁2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分,復(fù)合等方法,求展開式.例如第151頁/共315頁例4第152頁/共315頁解第153頁/共315頁三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？第154頁/共315頁思考題解答

從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)展開式的方法稱之.第155頁/共315頁練習(xí)題第156頁/共315頁練習(xí)題答案第157頁/共315頁第158頁/共315頁冪級數(shù)習(xí)題課第159頁/共315頁一、主要內(nèi)容函數(shù)項(xiàng)級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑R收斂域Taylor級數(shù)Taylor展開式第160頁/共315頁１．冪級數(shù)(1)定義(2)收斂性對總存在正數(shù)Ｒ使得第161頁/共315頁Ｒ－－收斂半徑（－Ｒ，Ｒ）－－收斂區(qū)間注①形如的級數(shù)，求收斂域的收斂半徑Ｒ－－原級數(shù)的收斂點(diǎn)應(yīng)先求出第162頁/共315頁－－原級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)再研究②用公式求收斂半徑應(yīng)是的系數(shù)，否則可作代換或直接利用檢比法或檢根法來確定③求出收斂半徑后必須用常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法判定端點(diǎn)處的斂散性的點(diǎn)的斂散性第163頁/共315頁(3)冪級數(shù)的運(yùn)算a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):和函數(shù)連續(xù)，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分收斂半徑不變第164頁/共315頁⑷冪級數(shù)求和函數(shù)利用幾個已知的展開式，如通過某些簡單運(yùn)算而求得ⅰ．化成兩個冪級數(shù)的和，差，積，商ⅱ．作變量代換ⅲ．求導(dǎo)或積分通項(xiàng)形如先微后積通項(xiàng)形如先積后微第165頁/共315頁步驟：①求收斂域②對進(jìn)行運(yùn)算保留所有的運(yùn)算記號的運(yùn)算結(jié)果要具體算出化成易求和的形式③再進(jìn)行上述運(yùn)算的逆運(yùn)算得第166頁/共315頁２．冪級數(shù)展開式(1)定義(2)充要條件(3)唯一性(４)展開方法a.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:第167頁/共315頁

根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.b.間接法(５)常見函數(shù)展開式(６)應(yīng)用歐拉公式第168頁/共315頁的展開式，并且要十分熟悉幾何級數(shù)及函數(shù)間的微分關(guān)系２．求函數(shù)的冪級數(shù)展開式，必須相應(yīng)地寫出展開式成立的范圍，３．對于不同類型的函數(shù)注意采用不同的展開方法和步驟有理分式－－化部分分式，利用幾何級數(shù)展開反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)－－先展開其導(dǎo)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，但此時必須注意積分的下限注１．幾個基本初等函數(shù)須直接展開，其它函數(shù)應(yīng)盡量采用間接展開，但間接展開法必須牢記

第169頁/共315頁二、典型例題例１求收斂域解收斂半徑收斂半徑若則原級數(shù)成為第170頁/共315頁由于收斂原級數(shù)成為發(fā)散故收斂域?yàn)槿魟t收斂收斂發(fā)散收斂第171頁/共315頁原級數(shù)成為絕對收斂收斂絕對收斂原級數(shù)收斂原級數(shù)成為第172頁/共315頁收斂原級數(shù)收斂故收斂域?yàn)榻馐諗坑蚶睬蠛秃瘮?shù)

第173頁/共315頁令積分求導(dǎo)第174頁/共315頁令求導(dǎo)積分故注意先微后積，收斂域可能擴(kuò)張先積后微，收斂域可能收縮第175頁/共315頁例３求級數(shù)和解考慮冪級數(shù)由乘以

x

求導(dǎo)再乘以

x再求導(dǎo)第176頁/共315頁例４解兩邊逐項(xiàng)積分第177頁/共315頁例５解第178頁/共315頁第179頁/共315頁或第180頁/共315頁積分例６解第181頁/共315頁第182頁/共315頁求的冪級數(shù)展開式及其收斂半徑并求解由于收斂半徑為且例7設(shè)第183頁/共315頁例8設(shè)求解一由Leibniz公式令得由得第184頁/共315頁解二故第185頁/共315頁Fourier

級數(shù)

前面兩節(jié)我們討論了一般項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)次冪的冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)------冪級數(shù)，給出了冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，討論了函數(shù)展開為冪級數(shù)的條件及函數(shù)展開為冪級數(shù)的直接展開法、間接展開法。

從本節(jié)開始我們來討論一般項(xiàng)是三角函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)------三角級數(shù)，重點(diǎn)討論如何把函數(shù)展開為三角級數(shù)的問題，它的重要應(yīng)用之一是對周期信號進(jìn)行頻譜分析，是學(xué)習(xí)積分變換的基礎(chǔ)，也可利用三角級數(shù)展開式求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和第186頁/共315頁一、問題的提出

在自然科學(xué)與工程技術(shù)問題中，常會遇到周期現(xiàn)象具有周期現(xiàn)象的量，每經(jīng)過時間

T

后所取的值就重復(fù)出現(xiàn)，這樣的量在數(shù)學(xué)上可表示成時間

t

的周期函數(shù)

f(t+T)=f(t)

正弦函數(shù)是一類比較簡單的周期函數(shù)，而且是應(yīng)用十分廣泛的一類周期函數(shù)。如在簡諧振動和正弦電路電流分析中常遇到正弦型函數(shù)

但是在實(shí)際問題中，除了正弦函數(shù)外，還會遇到非正弦周期函數(shù)，它們反映了較復(fù)雜的周期運(yùn)動第187頁/共315頁非正弦型周期函數(shù)：巨形波

如何深入地研究非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我們也想將周期函數(shù)展開成簡單的周期函數(shù)如正弦函數(shù)組成的級數(shù)不同頻率的正弦波逐個疊加第188頁/共315頁第189頁/共315頁第190頁/共315頁第191頁/共315頁

以電路計算為例，往往將以T

為周期的函數(shù)化成一系列不同頻率的正弦量之和。

將周期函數(shù)按上述方式展開，其物理意義是很明確的，這就是把一個比較復(fù)雜的周期運(yùn)動看成一系列不同頻率的簡諧振動的疊加第192頁/共315頁二、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.三角級數(shù)諧波分析三角級數(shù)2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系第193頁/共315頁第194頁/共315頁三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:1.若能展開,是什么?2.展開的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)第195頁/共315頁第196頁/共315頁傅里葉系數(shù)第197頁/共315頁傅里葉級數(shù)問題:第198頁/共315頁

以上我們是在f(x)可以展開成三角級數(shù)并可以逐項(xiàng)積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個前提只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)并可唯一地寫出f(x)的F-----級數(shù)

至于這個級數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)的問題，有以下定理第199頁/共315頁2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)第200頁/共315頁注意:函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.第201頁/共315頁和函數(shù)圖象為第202頁/共315頁所求函數(shù)的傅氏展開式為第203頁/共315頁展開步驟①驗(yàn)證

f(x)滿足Dirichlet

條件，并確定f(x)的所有間斷點(diǎn)，可作圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷②根據(jù)公式計算Fourier系數(shù)③寫出Fourier級數(shù)展開式，并注明展開式的成立范圍注求Fourier系數(shù)一般要用分部積分法，有時甚至要多次分部積分，較麻煩且容易出錯，此外，某些an,bn

需要單獨(dú)計算，容易忽略而導(dǎo)致錯誤第204頁/共315頁

求函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式，主要的工作是計算Fourier系數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可簡化Fourier系數(shù)計算，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時

此時其Fourier級數(shù)展開式是只含有正弦項(xiàng)而沒有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的正弦級數(shù)第205頁/共315頁當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時

此時其Fourier級數(shù)展開式是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)而沒有正弦項(xiàng)的余弦級數(shù)第206頁/共315頁例2f(x)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為解f(x)如右圖所示滿足收斂定理的條件第207頁/共315頁例3試求其Fourier級數(shù)的和函數(shù)解第208頁/共315頁f(x)在整個數(shù)軸上連續(xù)，其Fourier級數(shù)處處收斂于f(x)本身第209頁/共315頁四、小結(jié)1.基本概念；2.傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分條件；4.非周期函數(shù)的傅氏展開式；5.傅氏級數(shù)的意義——整體逼近第210頁/共315頁思考題第211頁/共315頁思考題解答第212頁/共315頁第213頁/共315頁

傅氏級數(shù)的意義——整體逼近第214頁/共315頁第215頁/共315頁第216頁/共315頁第217頁/共315頁第218頁/共315頁第219頁/共315頁第220頁/共315頁第221頁/共315頁第222頁/共315頁第223頁/共315頁第224頁/共315頁第225頁/共315頁第226頁/共315頁第227頁/共315頁Fourier級數(shù)習(xí)題課第228頁/共315頁常數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一般項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)傅氏展開式傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)滿足狄氏條件在收斂級數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化一、主要內(nèi)容第229頁/共315頁一、主要內(nèi)容1。Fourier級數(shù)Fourier

系數(shù)第230頁/共315頁2。收斂定理（Dirichlet充分條件）f(x)在一個周期內(nèi)①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)②只有有限個極值點(diǎn)則Fourier

級數(shù)收斂，且第231頁/共315頁3。周期為2L

的函數(shù)展開為

Fourier級數(shù)第232頁/共315頁若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則有簡化的計算公式偶函數(shù)奇函數(shù)4。非周期函數(shù)的展開上有定義的函數(shù)f(

x)第233頁/共315頁

先在整個數(shù)軸上作周期延拓，將延拓后的函數(shù)展開成Fourier

級數(shù)，最后限制自變量的取值范圍，即得f(

x)的

Fourier

級數(shù)展開式上有定義的函數(shù)f(

x)奇延拓——-展開成正弦級數(shù)（收斂域一般不包含端點(diǎn)）偶延拓——展開成余弦級數(shù)（收斂域一定包含端點(diǎn)）第234頁/共315頁5。強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)

這部分內(nèi)容所涉及到的問題，類型不多，有求函數(shù)的Fourier

級數(shù)展開式，討論其和函數(shù)，證明三角等式，求某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。解法也比較固定首先是求出Fourier

系數(shù)，寫出Fourier

級數(shù)，然后根據(jù)Dirichlet充分條件討論其和函數(shù)⑴記住Fourier

系數(shù)公式。Fourier

系數(shù)的計算須不止一次地使用分部積分公式，要小心⑵掌握Dirichlet收斂定理的內(nèi)容第235頁/共315頁⑶求函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式，必須注明展開式的成立范圍——即連續(xù)區(qū)間，也即只要去掉間斷點(diǎn)⑷注意函數(shù)的奇偶性、周期性⑸注意函數(shù)的定義域，是否需要延拓

無論是奇延拓還是偶延拓，在計算展開式的系數(shù)時只用到

f(

x)在[0,l]上的值，所以在解題過程中并不需要具體作出延拓函數(shù)F(x)，而只須指明采用哪一種延拓方式即可第236頁/共315頁Fourier

級數(shù)

收斂定理Fourier系數(shù)其它展開正弦、余弦級數(shù)求和函數(shù)的表達(dá)式、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和第237頁/共315頁二、典型例題例1解第238頁/共315頁同理第239頁/共315頁解關(guān)鍵是寫出

f(x)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式易見f(x)是奇函數(shù)第240頁/共315頁第241頁/共315頁解此題是定義在的函數(shù)展開成正弦級數(shù)為此首先對f(x)作奇延拓在作正弦展開依收斂定理當(dāng)

x

是連續(xù)點(diǎn)時s(x)=f(x)當(dāng)

x

是間斷點(diǎn)時第242頁/共315頁只須注意端點(diǎn)處的情況第243頁/共315頁例4已知

f(x)在[-1,1]上的Fourier級數(shù)為該級數(shù)的和函數(shù)為s(x)則As(1)=1s(2)=4Bs(1)=0.5s(2)=4Cs(1)=0.5s(2)=0Ds(1)=1s(2)=0第244頁/共315頁解對

f(x)進(jìn)行偶延拓第245頁/共315頁令

x=0得第246頁/共315頁第247頁/共315頁證明本例實(shí)則是將函數(shù)f(

x)展開成Fourier級數(shù)先展開成余弦級數(shù)，須進(jìn)行偶延拓第248頁/共315頁第249頁/共315頁再展開成余弦級數(shù)，須進(jìn)行奇延拓第250頁/共315頁第251頁/共315頁其它展開一、周期為2L

的周期函數(shù)展開成

Fourier

級數(shù)前面我們所討論的都是以展開成Fourier

級數(shù)，但在科技應(yīng)用中所遇到的周期函數(shù)大都是以T為周期，因此我們需要討論如何把周期為T=2l

的函數(shù)展開為Fourier

級數(shù)

若f(t)是以T=2l為周期的函數(shù)，在[-l,l)

上滿足Dirichlet條件第252頁/共315頁代入傅氏級數(shù)中定理在連續(xù)點(diǎn)處級數(shù)收斂于f(x)本身在間斷點(diǎn)處級數(shù)收斂于第253頁/共315頁則有第254頁/共315頁則有證明第255頁/共315頁第256頁/共315頁解第257頁/共315頁第258頁/共315頁二、非周期函數(shù)的展開

前面我們研究了周期為T=2l的函數(shù)展開成Fourier

級數(shù)，其中所涉及到的函數(shù)都是定義在無限區(qū)間上，但在實(shí)際應(yīng)用中卻需要對非周期函數(shù)，或定義在有限區(qū)間上的函數(shù)展開成Fourier

級數(shù)，下面我們就來討論這種情況，分兩種情形討論1。周期延拓的情形

設(shè)函數(shù)f(t)在[-l,l)上滿足Dirichlet條件為了將其展開為Fourier

級數(shù)，需要將f(t)在[-l,l)以外進(jìn)行周期性延拓，也就是作一個周期第259頁/共315頁為l

的函數(shù)

F(t)使得F(t)在[-l,l)上與f(t)恒等，將F(t)展開成Fourier

級數(shù)而在[-l,l)的連續(xù)點(diǎn)處，有

若

t0

是[-l,l)內(nèi)的間斷點(diǎn)，則在該點(diǎn)處，級數(shù)收斂于第260頁/共315頁需要注意的是區(qū)間的兩個端點(diǎn)，

雖然對f(t)來說，在左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)，但延拓成F(t)以后，在就不一定連續(xù)，由收斂定理，級數(shù)收斂于

因此若f(t)在[-l,l)上左端點(diǎn)的右極限等于右端點(diǎn)的左極限，即第261頁/共315頁展開式在

此時Fourier

級數(shù)的收斂域包括區(qū)間的端點(diǎn)，否則Fourier

級數(shù)的收斂域不包括區(qū)間的端點(diǎn)

應(yīng)該指出，這里所要展開的是f(t)要得到的是第二個級數(shù)，在實(shí)際計算中并不需要得到第一個級數(shù)，雖然兩個展開式形式上完全相同，但它們的收斂域不同，F(xiàn)(t)是延拓到整個數(shù)軸上的情形，而

f(t)的展開式只局限于[-l,l]，因此在討論f(t)的展開式的收斂域時，不要擴(kuò)展到f(t)的定義域之外第262頁/共315頁解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.

拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在收斂于.第263頁/共315頁第264頁/共315頁所求函數(shù)的傅氏展開式為第265頁/共315頁利用傅氏展開式求級數(shù)的和第266頁/共315頁第267頁/共315頁解第268頁/共315頁第269頁/共315頁另解第270頁/共315頁2。正弦級數(shù)和余弦級數(shù)定義非周期函數(shù)的周期性開拓

如果函數(shù)f(t)只是定義在[0,l]上，且在[0,l]上滿足Dirichlet條件，需要展開成Fourier

級數(shù)，就要先在[-l,0）上補(bǔ)充第271頁/共315頁

定義，或者說構(gòu)造一個新函數(shù)F(t)使得在區(qū)間

[0,l]上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法將F(t)展開成Fourier級數(shù)，當(dāng)限制自變量在

[0,l]上時，就得到f(t)的Fourier展開式

從理論上講，構(gòu)造函數(shù)F(t)時，所補(bǔ)充的在[-l,0）上有定義的函數(shù)可以任意給出，只要它滿足Dirichlet條件，但往往由于所給函數(shù)的不同會使得計算變得煩瑣，因此在實(shí)際應(yīng)用中常采用偶延拓和奇延拓的方法第272頁/共315頁則有如下兩種情況奇延拓:第273頁/共315頁偶延拓:第274頁/共315頁解(1)求正弦級數(shù).第275頁/共315頁第276頁/共315頁(2)求余弦級數(shù).第277頁/共315頁第278頁/共315頁一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點(diǎn)偶延拓的收斂域包括端點(diǎn)三、小結(jié)1以2L為周期的傅氏系數(shù);2利用變量代換求傅氏展開式;3求傅氏展開式的步驟;（1）.畫圖形驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);（2）.求出傅氏系數(shù);（3）.寫出傅氏級數(shù),并注明它在何