算術平均數與幾何平均數（一）[復習目標]知識與技能：1．理解兩個實數的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋.2．理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數定理的證明及其幾何解釋.過程與方法：培養對數學知識的理解能力、應用能力及論證能力.[幾點說明]兩個正數的算術平均數與幾何平均數的定理在解決數學問題和實際問題中應用廣泛，如證明不等式、求非二次的函數的最大值和最小值等.1．重要不等式（1）如果a,b∈R，那么(當且僅當a=b時取“=”號).幾何解釋：如下圖是邊長為a的正方形，且a＞b＞0,當a=b時，顯然有，當a≠b時，有.（2）如果a,b是正數，那么，當且僅當a=b時取“=”號.幾何解釋：如下圖，以a+b為直徑作圓，在直徑AB上取點C，使AC=a,CB=b.過點C作垂直于直徑AB的弦

，連結AD、DB，易得Rt△ACD∽Rt△DCB，那么.這個圓的半徑為

，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即a=b時，等號成立.2．算術平均數與幾何平均數：我們稱為正數,a,b的算術平均數，稱為正數a,b的幾何平均數.3．嚴格不等式與非嚴格不等式概念：我們把a＞b或a＜b叫做嚴格不等式；把a≥b或a≤b叫做非嚴格不等式.[例題]例1已知x,y都是正數，求證：（1）如果積xy是定值P，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值S，那么當且僅當x=y時，積xy有最大值.證明：因為x,y都是正數.所以.（1）積xy為定值P時，有，∴，當且僅當x=y時取“=”號，因此，當且僅當x=y時，和x+y有最小值.（2）和x+y為定值S時，有，∴，當且僅當x=y時取“=”號，因此，當且僅當x=y時，積xy有最大值.例2已知a，b，c，d都是正數，求證：.證明：由a，b，c，d都是正數，得，∴，即.例3設a，b，c都是正數，求證：.證明：∵a＞0,b＞0,∴三式相加得即.例4已知函數，若x1，x2是正實數，判斷的大小，并加以證明.（1994年全國高考題）證明：，∵“=”號）.∴當a＞1,即（當且僅當x1=x2時，取“=”號）.當0＜a＜1時，即（當且僅當x1=x2時，取“=”號）.評注：本題考查對數函數的性質，不等式定理及推理論證的能力.練習（一）基礎鞏固1．若0＜a＜b,且a+b=1，則下列四個數中最大的是（）A．B．C．2abD．a2．a,b是正數，則三個數的大小順序是（）A．B．C．D．3．若x＞0,y＞0,且x+y≤4,則下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．4．設x,y都是正數，且，則下列命題中正確的是（）A．當且僅當x=y時，S有最小值B．當且僅當x=y時，P有最大值C．當且僅當P為定值時，S有最小值D．若S為定值，當且僅當x=y時，P有最大值5．設a＞2,b＞2,且a≠b，令則P、Q、R之間的大小關系是（）A．R＜Q＜PB．Q＜R＜PC．P＜Q＜RD．Q＜P＜R1．B2．C3．B4．D5．A練習（二）能力提高6．設a＞b＞0,則與3的大小關系是________.7．設x,y都是正數，且的最小值是_________.8．設a＞b＞c,求證：，并指出“=”成立的條件.9．已知f(x)是上的增函數，a,b∈R.（1）證明：若（2）判斷（1）的逆命題是否成立，并證明你的結論.10．設a,b,c都是正數，求證：.6．≥7．8．提示：改證：，即證，等號成立的條件是a－b=b－c,即a,b,c成等差數列.9．（1）∵a+b≥0,∴a≥－b,b