二次型學(xué)習(xí)指導(dǎo)PAGE52第六章二次型PAGE49線性代數(shù)輔導(dǎo)二次型【基本要求】1.掌握理解二次型及其矩陣表示。2.會用正交變換法及配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。3.了解掌握二次型的秩、慣性定律、二次型的正定性及其判別法。【主要內(nèi)容】<1>二次型的正、負(fù)定判斷：1．階實(shí)對稱矩陣A正定二次型是正定的它的正慣性指數(shù)=nA的所有特征值A(chǔ)的順序主子式全大于零A合同于E。2．階實(shí)對稱矩陣A負(fù)定二次型是負(fù)定的它的負(fù)慣性指數(shù)=nA的所有特征值n個(gè)順序主子行列式的值負(fù)正相間<2>合同矩陣：1.設(shè)均為階實(shí)對稱矩陣，如果有階實(shí)可逆矩陣存在，使得，則稱令，則。(2)分析：此題僅含有混合項(xiàng)，需先想辦法生成平方項(xiàng)。令，則令,則,即于是得(3)令，則注意：1.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，一定要保證所做的線性變換為可逆線性變換，特別是此例第三小題，最后只有一個(gè)平方項(xiàng)，其變換中的后兩個(gè)等式也不能少。2.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，所做的可逆線性變換要保證變量個(gè)數(shù)不變。例2用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。解：二次型的矩陣為，其特征方程為：則A的特征值是,對,解,得;對,解得;對,解,得。顯然是兩兩正交的特征向量，令，則P為正交矩陣，所以，令,則例3設(shè)正定,求的取值范圍。解：二次型的矩陣為,其順序主子式分別為由于正定，得,.例4設(shè)為階實(shí)對稱矩陣，證明當(dāng)充分大時(shí)，為正定矩陣。證明：設(shè)的特征值為，為對應(yīng)的特征向量,又，的特征值為。取，則的所有特征值均大于0，所以，當(dāng)充分大時(shí)，為正定矩陣。設(shè)、均為階正定矩陣，證明也是正定矩陣。證明：(用定義證明）∵A、均為階正定矩陣，則對任意維非零實(shí)列向量，均有，即為正定矩陣。【自我練習(xí)及解答】一、填空題(1)若二次型是正定的，則t的取值范圍是。(2)設(shè)，則正定矩陣;式子二次型；式子二次型（填“是”或者“不是”）.二、選擇題二次型的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)與符號差分別為。(A)2,0,2(B)2,0,0(C)2,1,1(D)1,1,0(2)是。（A）正定的（B）負(fù)定的（C）既不正定也不負(fù)定 （D）無法確定(3)如果A是正定矩陣，則。（A是A的伴隨矩陣）(A)A′和A－1也正定，但A不一定（B）A－1和A也正定，但A′不一定（C）A′、A－1、A也都是正定矩陣(D)無法確定(4)二次型的矩陣是(A),(B),(C)(D)三、設(shè)二次型（1）寫出其矩陣表達(dá)式；（2）用正交變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換.四、用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所做的實(shí)可逆線性變換：（1）（2）五、判斷下列二次型的正定性：（1）=（2）習(xí)題參考答案一、(1);(2)不是、不是、不是二、(1)A;(2)C;(3)C;(4)D三、(1)(2)則標(biāo)