平面向量的線性運(yùn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一：向量加法的三角形法則與平行四邊形已知向量ab在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A

ABaBCbACAC叫做a與b記作ab，即abABBCAC．如已知兩個(gè)不共線向量ab

ABCDACabaa00aa．n個(gè)向量的和向量．這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．AA1AnA1A2A2A3An1A1A2A2A1A2A2A3An1AnAnA1abba(abcab當(dāng)ab|ab||a||b|；當(dāng)ababa,b同向，則|ab||a||b|；要點(diǎn)四：向量的減如果bxaxa與babaaa加上ba與babab．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向要點(diǎn)詮釋aa0ab互為相反向量，則abab0ab．作OAaOBbACb，則OCa(b)，如圖．由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．要點(diǎn)五：數(shù)乘向?qū)崝?shù)與向量的積：實(shí)數(shù)a(1)|a||||a|；(2)①當(dāng)0aa②當(dāng)0aa③當(dāng)0時(shí)，a0向量數(shù)乘的幾何意aa可以由a||1a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的||倍得到a；當(dāng)0||1a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上縮短為原來(lái)的||a；當(dāng)1時(shí)，aa；當(dāng)1時(shí)，aaa互為相反向量；當(dāng)0時(shí)，a0的積得幾何意義也是求作向量a設(shè)、為實(shí)數(shù)結(jié)合律(a)()a 分配律()aaa(aba要點(diǎn)六：向量共線的條當(dāng)向量a0a與任一向量ba0時(shí)，對(duì)于向量b．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使baba反之，已知向量ba（a0）共線且向量ba的長(zhǎng)度的倍，即|b||a|baba；當(dāng)babaa是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba，則向量ba若向量ba共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．a(chǎn)均為非零向量，即兩定理均不包括0與0a0a0b0時(shí)，雖然ba共線但不存在使ba有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba（4）abab(b0【典型例題類型一：向量的加法運(yùn)1．如圖所示，已知三個(gè)向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量a+b+c【解析】abc，如圖1所示，作OAa，以AODaABbBBCc，則OCOBBCOAABBCabc．a(chǎn)bc2OAa，OBb，OCcOA、ODa為鄰邊作平行四邊形OADB，則

，再

為鄰邊作平行四邊形ODEC，則OOabc1ABCD，EAD的中點(diǎn)，F(xiàn)BC的中點(diǎn)，求證：EFEFABDCCDEFEFFCCDDE0，EFFCCDDECFDCED．在四邊形ABFE中，EFFBBAAE0，所以EFBFABEA． EFEFCFDCEDBFABEA(CFBF)(EDEA)(ABDC)E、FAD、BCEDEA0，CFBF0EFEFABDC類型二：向量的減法運(yùn)2（1）（2）a、babba（1）①當(dāng)a、ba、bAABaBCbACaba、bABaBCbACababa、b不共線時(shí)，如下圖（左O，作OAaOBbBABOOAOA(OB)OAOBab（2）作OAaOBbBAabABba，如圖（右舉一反三【變式1】O為正六邊形ABCDEF的中心，設(shè)OAa,OBb，則DE等于 （Ａ）a【答案】

（Ｂ）a

（Ｃ）b

（Ｄ）a【課堂：向量的線性運(yùn)算395568例22】化簡(jiǎn)ACDBAB【解析】原式ACABDBDCBCCB0．3（1）AD|4 設(shè)ABa，BCb，BDAD|4試求|abc|（2）（1）∵|abc|≤|a|+|b|+|c∴|abc|DACBCE∵DE∥AC，AD∥BEADEC∴DEAC，CEAD于是bcABBCBD ADAD2AD∴∴|abc|2|AD|83．舉一反三1ab滿足|a

71，|b

71，且|ab|=4，求|ab|OAaOBbBA|ab|7OAOBOACB，則|OC||ab|77由于7

1)2

1)242故|OA|2|OB|2|BA|2所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以O(shè)ACB是矩形．根據(jù)矩形的對(duì)角線相等有|OC||BA|4，即|ab|=4．類型四：向量的數(shù)乘運(yùn)4（1）4(a+b)―3(a―b（2）3(a―2b+c)―(2a+b―3c （3）(ab) (2a4b) (2a13b) （1）原式=4a―3a+4b+3ba+7b（2）原式=3a―6b+3c―2ab+3ca―7b+6c2a2a2b2a4b4a26 224a2426b0a0b000 15 15 ＜0aa=0a=0；故aa一定共線．應(yīng)用實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律舉一反三（1）6(3a―2b)+9(―2a+b（2）1(3a2b)2ab71a3b7a2

6 7 （3）6(a―b+c)―4(a―2b+c)―2(―2a+c【解析 （1）原式=18a―12b―18a+9b=―3b（2）1(3a2b)2ab71a3b7a2

6 7 13a2a2bb71a1a3b2 6 7 17ab7a3b2

6 7 7a1b7a1b0 （3）原式=6a―6b+6c―4a+8b―4c+4a―2=(6a―4a+4a)+(8b―6b)+(6c―4c―2c=6a+2b5.（2015）1的正△ABCBC2BDAC3EC，ADBE相交F．ADBEAFFD，求實(shí)數(shù)（1）AD⊥BCABaACbAE2AC3BF2BF（2）通過(guò)計(jì)算可得BFBAAF AB AC， 2(1

BF(ABAE)AB3

AC（1）由題意，DBC的中點(diǎn)，而△ABC為正三角形，∴AD⊥BC，ACADBE1(ABAC)ACADBE1(ABAC)(AE則21(ab)(

ba)

1b21b21a21a1（2）BFBAAFAB

1AB (ABAC)2(1 AC AC BFBEBF(ABAEAB2AC32

2(1 2(1 舉一反三【課堂：向量的線性運(yùn)算395568例61】如圖，已知ABCD、E、FADBECF0ADBECF=3(AGBGCG) =32=2OADB是以向量OAaOBb

CN1CDa、bBM1BM1

，ON，MN【解析 ∵BM

BC (OAOB)

(ab) ∴OMOBBMb a b a b∵CN

1CD

OD

∴ONOCCN OD OD (OAOB)

(ab) MNONOM2(ab)1a5b1a1b 類型五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)6.設(shè)兩非零向量e1

(1)ABe1e2BC2e18e2,CD3(e1e2ABD(2)kke1e2和e1ke2e1ABe1e2,BDBCCD2e18e23(e1e2)5(e1e1ABe1e2,BDBCCD2e18e23(e1e2)5(e1e2)ABBDBABD(2) ∵ke1

和e1

∴存在ke1e2(e1ke2則(k)e1k1)e2k

不共線只能有k1

ka,b共線存在使ba【變式1】（2015秋滁州月考（1）設(shè)兩個(gè)非零向量e1

不共線，如 BC6e1BC6e1（2）設(shè)e1，e2AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2A，B，Dk的值．（2）－8（1）BDBCCD10e115e25(2e13e25ABBDAB共線，又它們有公共點(diǎn)∴A、B、D（2）BDCDCB(2e1e2)(e13e2)e14e2∵A、B、DABBDABBD，即2e1ke2(e14e22所以k4類型六：向量的綜合應(yīng)7A、B、C是不共線的三點(diǎn)，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若OAOBOC0O是△ABCO是△ABCO是△ABCOAOBOC0OA(OBOC，即OBOC是與OA方向相反且長(zhǎng)度相等的向量．OB、OC為相鄰兩邊作OBDC，則ODOBOC，∴ODOA在OBDCBCODEBEECOEED∴AE是△ABCBC邊上的中線，且|OA|2|OE|．O是△ABCABCDABCDABCDABCDA、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．1ABCD中，E、FAD、BCEF

1(ABDC)2A1∵EADAE∵FBCAF

AD21(ABAC)2ACADACADAF1(ABAD∴

1(ABDC)

AD ∴EFAFAE (ABDC) AD (ABDC) 例8．2009年8月份，南方遭遇暴雨，在某小鎮(zhèn)的一次營(yíng)救中，小汽艇在靜水中的速度是12kmh6km/h．如果小汽艇向著垂直河岸的方向行駛，則小汽艇在河水中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度5汽艇在實(shí)際速度為ACABAD在Rt△ADC中，|AD|6，|