《平行四邊形的性質》典例精析【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點C的直線CE⊥AB，垂足為E，若∠EAD=53°，則∠BCE的度數為（）A．53°B．37°C．47°D．127°【解析】根據平行四邊形的性質得AD//BC，由兩直線平行同位角相等得∠B=∠EAD=53°，根據直角三角形的兩銳角互余得∠BCE=90°-∠B=37°．【答案】B．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質：平邊四邊形的對邊平行；平行線的性質：兩直線平行同位角相等；直角三角形的性質：直角三角形的兩銳角互余，綜合運用這三個性質是解題的關鍵．【例2】如圖，將□ABCD的一邊BC延長至E，若∠A=110°，則∠1=________．【解析】根據平行四邊形的性質“平行四邊形的對角相等”，可知∠A=∠BCD=110°，因為∠BCD與∠1是鄰補角，所以∠1=180°-110°=70°．【答案】70°．【點評】平行四邊形的性質是經常性的考點，要結合圖形熟練掌握．【例3】如圖，在□ABCD中，點E在邊BC上，點F在BC的延長線上，且BE=CF．求證：∠BAE=∠CDF．【解析】要證明∠BAE=∠CDF，需要證含有這兩個角的三角形全等或利用平行線的性質，現有BE=CF一組邊對應相等，利用平行四邊形的性質可知AB=DC，AB∥DC．進而找到第三個條件∠B=∠DCF．所以應選擇含有這兩個角的三角形全等．【解答】證明：在□ABCD中，AB=DC，AB∥DC．∴∠B=∠DCF．在△ABE和△DCF中，∵AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF．∴∠BAE=∠CDF．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質和全等三角形的判定與性質，同時考查學生的邏輯思維能力．【例4】已知，如圖，在□ABCD中，點F在AB的延長線上，且BF=AB，連接FD交BC于點E．（1）說明△DCE≌△FBE的理由；（2）若EC=3，求AD的長．【解析】（1）分析圖形，在△DCE和△FBE中，隱含∠DEC=∠FEB,結合平行四邊形的性質，應用“AAS”可證得；（2）根據全等三角形的性質，可得EC=BE,即BC=6，結合平行四邊形的性質，可得AD=6．【解答】（1）在□ABCD中，AB=DC,AB∥DC,∴∠CDE=∠F,又∵BF=AB,∴DC=FB,∵∠DEC=∠FEB,∴△DCE≌△FBE;（2）∵△DCE≌△FBE,∴EB=EC,∵EC=3，∴BC=6，又□ABCD，∴AD=BC,∴AD=6．【點評】本題主要考察了全等三角形的判定和性質，以及平行四邊形的性質，解決問題的關鍵是從圖中挖掘隱含條件：對頂角，探求全等的判定方法．【例5】如圖，如圖，分別以□ABCD的鄰邊AB和AD為一邊，在□ABCD外作正三角形ABF和正三角形ADE，連接CE、EF、CF得△CEF，試判斷△CEF的形狀，并證明你的結論．【解析】要說明△CEF為等邊三角形，需要證CE＝EF＝CF，就是要證明邊所在的三角形全等．充分利用平行四邊形及等邊三角形的性質即可得到結論．【解答】在□ABCD中，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，AB＝CD．在正三角形ABF和正三角形ADE中，AD＝DE＝BC，AB＝BF＝CD，∠ADE＝∠ABF＝60°，∴∠CDE＝∠FBC．∴△CDE≌△FBC∴CE＝CF．而∠EAF＝360°－（∠BAD＋60°＋60°）＝240°－∠BAD＝240°－（180°－∠ADC）＝∠ADC＋60°．∴∠EAF＝∠CDE．則△CDE≌△FAE．∴CE＝EF＝CF．∴△CEF為等邊三角形．【點評】本題結合平行四邊形性質來判定三角形的形狀．充分發掘平行四邊形的性質是解答此題的關鍵．【例6】在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直于直線BC于點E，作AF垂直于直線CD于點F，若AB＝5，BC＝6，則CE＋CF的值為()．A．11＋EQ\F(11eq\r(3),2)B．11－EQ\F(11eq\r(3),2)C．11＋EQ\F(11eq\r(3),2)或11－EQ\F(11eq\r(3),2)D．11+EQ\F(11eq\r(3),2)或1＋EQ\F(eq\r(3),2)【解析】當∠A為銳角時，如圖，根據平行四邊形面積公式，S=15，AB＝5，BC＝6，有AE=15÷6=2．5，AF=15÷5=3，由勾股定理，BE==,DF==3；由于3＞5，故CF＝DF-CD=3-5，CE＝BC-BE＝6-CE＋CF＝6-+3-5=1＋EQ\F(eq\r(3),2)當∠A為鈍角時，同理有CE＋CF＝(BC+BE)+(DF+CD)=6++3+5=11+EQ\