第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學年江蘇省南京市秦淮區高一（下）期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.復數z=(a2?1A.3 B.?2 C.?1 2.如圖，在△ABC中，AD=23AC，B

A.1112 B.34 C.893.在△ABC，其內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形4.已知|a|=3,|b|=5，設aA.56a B.536a5.函數f(x)=A. B.

C. D.6.如圖是函數f(x)=cosA.?32 B.?227.中華人民共和國國歌有84個字，37小節，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為102米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在同一個水平面上．要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應為(米/A.3323 B.53238.岡珀茨模型(y=kabt)是由岡珀茨(Gompertz)提出，可作為動物種群數量變化的模型，并用于描述種群的消亡規律.已知某珍稀物種t年后的種群數量A.2031 B.2020 C.2029 D.2028二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知復數z=3+i(i為虛數單位)，z?A.z0在復平面內對應的點位于第四象限 B.|z0|=1

C.z010.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.A.a=5，b=7，c=8，有唯一解

B.b=18，c=20，B=60°11.折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，OAA.OA?CD=?2

B.若OE=uOC+12.如圖，已知圓內接四邊形ABCD中，AB=2，BCA.四邊形ABCD的面積為83

B.該外接圓的直徑為2213

C.BO?CD=

三、填空題（本大題共4小題，共18.0分）13.i表示虛數單位，則1+i+i14.求值：sin50°15.已知α∈(0,π),16.已知函數f(x)=x?4,x≥4?x+4,x<4四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12.0分)

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(3,1)，B(?2,2)，C(?1,4)．

(1)以線段18.(本小題12.0分)

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m=(a,c?2b)，n=(cosC,co19.(本小題12.0分)

已知tan(α?π4)=13,0<α<π2．

(120.(本小題12.0分)

在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2bcosC=2a+c．

(1)求角B的大小；

(2)若b=23，D為21.(本小題12.0分)

如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段AB，AC和以BC為直徑的半圓弧BC組成，其中AC為2百米，AC⊥BC，∠A為π3.若在半圓弧BC，線段AC，線段AB上各建一個觀賞亭D，E，F，再修兩條棧道DE，DF，使DE22.(本小題12.0分)

已知函數g(x)=log22xx+2．

(1)證明：g(x?2)+g(?x)=2；

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了純虛數的定義，屬于基礎題．

實部為0而虛部不為0的虛數被稱為純虛數，由此定義建立關系式，即可求得答案．

【解答】

解：∵z=(a2?1)+(a+12.【答案】A

【解析】解：∵BP=13PD，

∴BP=14BD

又∵AP=AB+BP，

∴AP=3.【答案】A

【解析】解：∵a=acosB+bcosA，

∴由余弦定理可得：a=a×a2+4.【答案】C

【解析】解：|a|=3,|b|=5，a,b的夾角為120°，

則b在5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查根據函數解析式確定函數圖象，考查數形結合思想，屬于中檔題．

由f(?x)=【解答】解：函數的定義域為R，f(?x)=sin(?x)ln[(?x)2+2]=?s

6.【答案】A

【解析】解：由圖像可知函數的周期為T=2×(2π3?π6)=π，

∴ω=2ππ=2，

∵函數f(x)過點(π6,0)，

∴cos(2×π6+7.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了解三角形的實際應用．此類問題的解決關鍵是建立數學模型，把實際問題轉化成數學問題，利用所學知識解決問題．

畫出示意圖，根據題意求得角，利用正弦定理求得邊，再根據直角三角形邊角關系求出旗桿的高度即可求得答案．

【解答】

解：如圖所示，

依題意知∠AEC=45°，∠ACE=180°?60°?15°=105°，

∴∠EAC=180°?45°?105°=30°，

8.【答案】D

【解析】解：因為y=k0?e1.4e?0.125t，

當t=0時，y=k0?e1.4，

所以當t=m時，y=k0?e1.4e1.4e?0.125m，

又因為m(m∈N)年后，該物種的種群數量將不足2022年初種群數量的一半，

所以k0?e1.4e9.【答案】AB【解析】解：∵z=3+i，

∴z0=z?z=3?i3+i=(3?i)2(3+i)(3?10.【答案】AD【解析】解：A中，三邊確定，三角形唯一確定，所以A正確；

B中，因為csinB=20×32=103<b<c，所以有兩個解，所以B不正確；

C中，因為b>a，由正弦定理可得：asinA=bsinB，即sinA=abs11.【答案】BC【解析】【分析】本題考查向量的加法、減法、數乘運算，向量的數量積運算，考查運算能力，屬于中檔題．

A選項先利用OA?CD=OA?(CO【解答】解：OA?CD=OA?(CO+OD)=OA?CO+OA?OD=3×1×(?1)+3×1×(?12)=?92，A錯誤；

由OE=u

12.【答案】AC【解析】解：對于A，連接AC，在△ACD中，cosD=16+16?AC232，cosB=4+36?AC224，

∵B+D=π，∴cosB+cosD=32?AC232+40?AC224=0，解得AC2=2567，

∴cosD=?17，cosB=17，∴sinB=sinD=1?149=437，

∴S△ABC=12×AB×BC×sinB=12×2×6×437=2437，

S△ADC=12×AD×D13.【答案】i

【解析】解：1+i+i2+…+i2022=1?i14.【答案】1

【解析】解：原式=sin50°?co15.【答案】?4【解析】解：∵α∈(0,π)，∴α?π6∈(?π6,5π6)，且sin(α?16.【答案】(8【解析】【分析】分離參數可得k=xf(x)，作出y=【解答】解：由f(x)=kx可得k=xf(x)=x2?4x,x≥4?x2+4x,x<4且x≠0，

令g(x)=x2?4x,x≥4?x2+4x,x<4且x≠0

17.【答案】解：(1)由向量加法的平行四邊形法則知：

AD=AB+AC=(?5,1)+(?4,3)=(?9,4【解析】(1)利用向量加法的平行四邊形法及其模的計算公式即可得出．

(2)18.【答案】解：(1)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m=(a,c?2b)，n=(cosC,cosA)，

且m⊥n．

所以acosC+(c?2b)cosA=0，

利用正弦定理整理得：s【解析】(1)直接利用平面向量的數量積的應用和正弦定理的應用求出A的值．

(2)19.【答案】解：(1)由tan(α?π4)=tanα?11+tanα=13，

得3tanα?3【解析】(1)由兩角和差的正切公式進行求解即可．

(2)根據條件可得sinα=2cosαsin2α+20.【答案】解：(1)由正弦定理知，2sinBcosC=2sinA+sinC，

∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，代入上式得2cosBsinC+sinC=0，

∵C∈(0,π)，

∴sinC>0，

∴cosB=?12，【解析】(1)由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式結合sinC>0，可求cosB的值，結合范圍B∈(0,π)，可求B的值．

(2)若選①：利用角平分線的性質可得S△ABC=S21.【答案】解：(1)連結DC．

在△ABC中，AC為2百米，AC⊥BC，∠A為π3，

所以∠CBA=π6，AB=4，BC=23.

因為BC為直徑，所以∠BDC=π2，

所以BD=BC

cosθ=23cosθ.

(2)在△BDF中，∠DB【解析】(1)連結DC.求出∠A為π3，BC為直徑，∠BDC=π2，然后求解BD=BC

cos22.【答案】解：(1)g(x?2)+g(?