一、考點突破方案設計型問題在中考試卷中頻頻出現，充分說明此類問題已成為中考的熱點題型之一。方案設計型問題就是給出符合要求的解決問題的方法，這種類型的問題，有時會給出設計要求，也可能讓學生自己設計方案。有時需要學生通過閱讀、觀察、歸納、探索和比較等手段尋找解決實際問題的方法，得到最佳答案。方案設計題往往帶有濃郁的生活氣息，能讓學生充分體驗知識的應用的價值，改變重結果輕過程的學習模式。重視動手操作和實踐，把知識的產生過程放在突出的位置，是近幾年中考命題的熱點。常以解答題的形式出現，所占分值較大。二、重難點提示解決方案設計問題，首先要熟練掌握方程、不等式、函數、概率、統計等基礎知識，并且要具備利用這些知識解決實際問題的能力，還要有觀察圖形、分析圖形的能力，具有較強的發散思維的能力。一、知識脈絡圖二、知識點撥1.設計圖形型幾何圖形的分割與設計在中考中經常出現，有時是根據面積相等來分割，有時是根據線段間的關系來分割，有時根據其它條件來分割，做此類題一般用尺規作圖。2.設計測量方案型該題型已滲透到幾何各章節之中，例如：測量底部不能直接到達的小山的高，測量池塘的寬度，測量圓的直徑等，此類題解法的不唯一。3.設計最佳方案型此類題往往要求所設計的問題中出現路程最短、運費最少、效率最高等詞語，解題時常與函數、幾何聯系在一起。能力提升類例1如圖所示，在7×6的正方形網格中，選取14個格點，以其中三個格點為頂點畫出△ABC。請你以選取的格點為頂點再畫出一個三角形，且分別滿足下列條件：（1）圖①中所畫的三角形與△ABC組成的圖形是軸對稱圖形。（2）圖②中所畫的三角形與△ABC組成的圖形是中心對稱圖形。（3）圖③中所畫的三角形與△ABC的面積相等，但不全等。一點通：對于（1）和（2），按照要求畫出△ABC的軸對稱圖形和中心對稱圖形即可;對于（3），設相鄰兩個格點之間的距離為1，則△ABC的面積為3，則圖⑥、⑦、⑧的情形均滿足題意。另外，圖⑨的情形不合題意，注意要舍去。解：（1）如圖④（2）如圖⑤（3）答案不唯一，如圖⑥、⑦、⑧所示的三角形面積均與△ABC的面積相等，且不與△ABC全等。評析：格點問題是在假定了問題背景的前提下而設置的問題。對于格點問題，常要結合格點特征，合理使用單位正方形，適當的時候，還要進行相應的計算。例2義潔中學計劃從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板，經洽談，購買一塊A型小黑板比購買一塊B型小黑板多用20元，且購買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元。（1）求購買一塊A型小黑板、一塊B型小黑板各需要多少元？（2）根據義潔中學的實際情況，需從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板共60塊，要求購買A、B兩種型號小黑板的總費用不超過5240元，并且購買A型小黑板的數量應大于購買A、B兩種型號小黑板總數量的。請你通過計算，求出義潔中學從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板有哪幾種方案？一點通：（1）設購買一塊A型小黑板需要x元，一塊B型需（x－20）元，根據購買一塊A型小黑板比購買一塊B型小黑板多用20元，且購買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元可列方程求解。（2）設購買A型小黑板m塊，則購買B型小黑板（60－m）塊，根據需從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板共60塊，要求購買A、B兩種型號小黑板的總費用不超過5240元。并且購買A型小黑板的數量應大于購買A、B種型號小黑板總數量的QUOTE13，可列不等式組求解。解：（1）設購買一塊A型小黑板需要x元，5x+4（x－20）=820，x=100，x－20=80，所以購買A型小黑板需100元，B型小黑板需80元。（2）設購買A型小黑板m塊，QUOTE&100m+80（60﹣m）≤5240&m＞60×∵m為整數，∴m為21或22，∴當m=21時，60－m=39；當m=22時，60－m=38，∴有兩種購買方案方案一：購買A型小黑板21塊，購買B型小黑板39塊；方案二：購買A型小黑板22塊，購買B型小黑板38塊。評析：處理不等問題的關鍵是找出不等關系，找不等關系時要關注題目中的關鍵詞，如“不超過，不少于”等。綜合運用類例3在一次數學探究型學習活動中，某學習小組要制作一個圓錐體模型，操作規則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓恰好是該圓錐的底面。它們首先設計了如圖所示的方案一，發現這種方案不可行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了如圖所示的方案二。（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切）（1）請說明方案一不可行的理由；（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由。一點通：能否制成圓錐，關鍵是看能否剪出一個圓的周長等于扇形的弧長，這是問題（1）的出發點，需通過計算來判斷；問題（2）的答題關鍵是利用“圓錐底面周長等于側面展開圖弧長”與“的長恰好等于正方形的對角線的長”構造方程組求解。解：（1）理由如下：∵扇形的弧長＝16×＝8π，圓錐底面周長＝2πr，∴圓的半徑為4cm。由于所給正方形紙片的對角線長為16cm，而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為16＋4＋4＝（20＋4）cm，20＋4＞16，∴方案一不可行。（2）方案二可行。求解過程如下：設圓錐底面圓的半徑為rcm，圓錐的母線長為Rcm，則由①②可得，r＝。故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm。評析：本題從閱讀（學習）能力、探究能力、邏輯推理能力等方面對學生進行了全面的考查，試題突出了數學本質，強化了對數學通性通法的考查。例4隨著人們生活水平的提高，轎車已進入平常百姓家，我市家庭轎車的擁有量也逐年增加，某汽車經銷商計劃用不低于228萬元且不高于240萬元的資金訂購30輛甲、乙兩種新款轎車，兩種轎車的進價和售價如下表：（1）請你幫助經銷商算一算共有哪幾種進貨方案？（2）如果按表中售價全部賣出，哪種進貨方案獲利最多？并求出最大利潤。（注：其它費用不計，利潤=售價－進價）。一點通：根據“經銷商計劃用不低于228萬元且不高于240萬元的資金訂購30輛甲、乙兩種新款轎車”，建立不等式組，而采購車輛數為整數，變無限解為有限解，方案也就出來了。解：（1）設訂購甲種車為輛，則訂購乙種車為輛，由題意，得，解得，∵為整數，∴取11，12，13，30－取19，18，17。答：該經銷商訂購甲、乙種車共有3種方案：方案一：甲車11輛，乙車19輛；方案二：甲車12輛，乙車18輛；方案三：甲車13輛，乙車17輛。（2）設經銷商全部售出甲、乙兩種車后獲利萬元，由題意，得：，∵，∴隨的增大而減小。∴當=11時，（萬元）。∴當售出甲種車11輛，乙種車19輛時，該經銷商獲得的最大利潤為22.9萬元。評析：解答綜合題，需要由淺入深，認真讀題，理解題意，合理設未知數，分步解答。思維拓展類例5在一平直河岸同側有兩個村莊，到的距離分別是3km和2km，。現計劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個村莊供水。【方案設計】某班的數學興趣小組設計了兩種鋪設管道的方案：圖（1）是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中于點）；圖（2）是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中點與點關于對稱，與交于點）。【觀察計算】（1）在方案一中，km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，組長小宇為了計算的長，作了如圖（3）所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，km（用含的式子表示）。【探索歸納】（1）①當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；②當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）請你參考下邊方框中的方法指導，就（當時）的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二？一點通：題中設計了兩種管道鋪設方案，方案一中長度可直接求得，方案二中長度可利用勾股定理來求。比較兩種方案管道長度時要認真閱讀題中的方法指導，同時要注意分類討論思想的應用。解：【觀察計算】（1）；（2）。【探索歸納】（1）①；②；（2）。①當，即時，，。；②當，即時，，。；③當，即時，，。。綜上可知：當時，選方案二；當時，選方案一或方案二；當時，選方案一。例6某中學租用兩輛小汽車（設速度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學生到縣城參加數學競賽，每輛限坐4人（不包括司機）。其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現故障，此時離截止進考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）。（1）若小汽車送4人到達考場，然后再回到出故障處接其他人，請你通過計算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場；（2）假如你是帶隊的老師，請你設計一種運送方案，使他們能在截止進考場的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性。一點通：（1）由于小汽車在距離考場15千米的地方出現故障，所以另一輛小汽車把自己車上的人送到市區后再回來送這一批人所走的路程應該為15×3，如果根據已知條件計算即可判斷是否進考場的時刻前到達考場；（2）方案1：設這車送4人到達后返回，再經過x小時后碰到另外步行的4人，那么車和步行的人是相遇問題，由此即可路程方程解決問題；方案2：用車送4人，另4人同時步行，車送到某一地點時讓車上4人下車步行，車返回去接先期步行的4人，當8人同時到達考場時。解：（1）（分鐘），，不能在限定時間內到達考場。（2）方案1：先將4人用車送到考場，另外4人同時步行前往考場，汽車到考場后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場。先將4人用車送到考場所需時間為（分鐘）。0.25小時內另外4人步行了1.25km，此時他們與考場間的距離為（km）設汽車返回與步行的4人相遇，，解得。汽車由相遇點再去考場所需時間也是。所以用這一方案送這8人到考場共需。所以這8個人能在截止進考場的時刻前到達考場。方案2：8人同時出發，4人步行，先將4人用車送到離出發點的處，然后這4個人步行前往考場，車回去接應后面的4人，使他們跟前面4人同時到達考場。由處步行前往考場需，汽車從出發點到處需，先步行的4人走了，設汽車返回（h）后與先步行的4人相遇，則有，解得，所以相遇點與考場間的距離為。由相遇點坐車到考場需。所以先步行的4人到考場的總時間為，先坐車的4人到考場的總時間為，他們同時到達，則有，解得。將代入上式，可得他們趕到考場所需時間為（分鐘）。。∴他們能在截止進考場的時刻前到達考場。評析：此題比較難，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解。方案設計型問題是指應用數學基礎知識建模的方法，來按題目所呈現的要求進行計算，論證，選擇，判斷，設計的一種數學試題。有利用不等式（組）進行方案設計，利用概率與統計進行方案設計，利用函數知識進行方案設計，利用幾何知識進行方案設計。其中以利用函數與不等式解決的方案設計問題為最多。利用函數與不等式解決的方案設計問題的基本方法是：（1）根據題意建立函數關系式；（2）根據實際意義建立關于自變量的不等式組，求函數自變量的取值范圍；（3）根據函數自變量的取值范圍，確定符合條件的設計方案；（4）利用函數的性質求最大值或最小值，確定最優化方案。問題：某學校舉行演講比賽，選出了10名同學擔任評委，并事先擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最后得分（滿分為10分）：方案1所有評委所給分的平均數。方案2在所有評委所給分中，去掉一個最高分和一個最低分，然后再計算其余給分的平均數。方案3所有評委所給分的中位數。方案4所有評委所給分的眾數。為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演講成績進行了統計實驗。下面是這個同學的得分統計圖：（1）分別按上述4個方案計算這個同學演講的最后得分；（2）根據（1）中的結果，請用統計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演講的最后得分。一點通：本題關鍵是理解每種方案的計算方法：（1）方案1：平均數=總分÷10。方案2：平均數=去掉一個最高分和一個最低分的總分÷8。方案3：10個數據，中位數應是第5個和第6個數據的平均數。方案4：求出評委給分中出現次數最多的分數。（2）考慮時應涉及不受極值的影響，不能有兩個得分等原因，從而進行排除。解：（1）方案1的最后得分：；方案2的最后得分：；方案3的最后得分：；方案4的最后得分：或。（2）因為方案1中的平均數受極端數值的影響，不能反映這組數據的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案。因為方案4中的眾數有兩個，眾數失去了實際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案。評析：本題用到的知識點：給定一組數據，出現次數最多的那個數，稱為這組數據的眾數。中位數的定義：將一組數據從小到大依次排列，把中間的數據（或中間兩個數據的平均數）叫做中位數。平均數=總數÷個數。學會選用適當的統計量分析問題。（答題時間：60分鐘）1.認真觀察圖①的4個圖中陰影部分構成的圖案，回答下列問題：（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征。特征1：_________________________________________________；特征2：_________________________________________________。（2）請在圖②中設計出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征2.為創建綠色校園，學校決定在一塊正方形的空地上種植花草，現向學生征集設計圖案。圖案要求只能用圓弧在正方形內加以設計，使正方形和所畫的圓弧構成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。種植花草部分用陰影表示。請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不同的設計圖案。提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖①、圖②只能算一種。3.某公司為了擴大經營，決定購進6臺機器用于生產某種活塞。現有甲、乙兩種機器供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產活塞的數量如下表所示。經過預算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元。甲乙價格（萬元/臺）75每臺日產量（個）10060（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？（2）若該公司購進的6臺機器的日生產能力不能低于380個，那么為了節約資金應選擇哪種方案？4.某校九年級270名師生計劃集體外出一日游，乘車往返，經與客運公司聯系，他們有座位數不同的中巴車和大客車兩種車型可供選擇，每輛大客車比中巴車多15個座位，學校根據中巴車和大客車的座位數計算后得知，如果租用中巴車若干輛，師生剛好坐滿全部座位；如果租用大客車，不僅少用一輛，而且師生坐完后還多30個座位。（1）求中巴車和大客車各有多少個座位？（2）客運公司為學校這次活動提供的報價是：租用中巴車每輛往返費用350元，租用大客車每輛往返費用400元，學校在研究租車方案時發現，同時租用兩種車，其中大客車比中巴車多租一輛，所需租車費比單獨租用一種車型都要便宜，按這種方案需要中巴車和大客車各多少輛？租車費比單獨租用中巴車或大客車各少多少元？5.甲、乙兩地工廠分別生產17臺，15臺同一種型號的檢測設備，全部運往A,B兩個場館。A館需要18臺，B館需要14臺。（1）設甲地運往A館的設備有x臺，請填寫表2，并求出總運費y（元）與x（臺）的函數關系式。（2）要是總運費不高于20230元。請你幫助該公司設計調配方案，并寫出有哪幾種方案。（3）x為多少時，總費用最小，最小值是多少？表1出發地目的地甲地乙地A館800元/臺700元/臺B館500元/臺600元/臺表2出發地目的地甲地乙地A館（臺）（臺）B館（臺）（臺）6.為執行中央“節能減排，美化環境，建設美麗新農村”的國策，我市某村計劃建造A、B兩種型號的沼氣池共20個，以解決該村所有農戶的燃料問題。兩種型號沼氣池的占地面積、使用農戶數及造價見下表：型號占地面積（單位：m2/個）使用農戶數（單位：戶/個）造價（單位：萬元/個）A15182B20303已知可供建造沼氣池的占地面積不超過365m2（1）滿足條件的方案共有幾種?寫出解答過程。（2）通過計算判斷，哪種建造方案最省錢。7.2011年我國云南盈江發生地震，某地民政局迅速組織了30噸飲用水和13噸糧食的救災物資，準備租用甲、乙兩種型號的貨車將它們快速運往災區。已知甲型貨車每輛可裝飲用水5噸和糧食1噸，乙型貨車每輛可裝飲用水3噸和糧食2噸。已知可租用的甲型貨車不超過4輛。（1）若一共租用了9輛貨車，且使救災物資一次性地運往災區，共有哪幾種運貨方案？（2）若甲、乙兩種貨車的租車費用每輛分別為4000元、3500元,在（1）的方案中，哪種方案費用最低？最低是多少？（3）若甲、乙兩種貨車的租車費用不變,在保證救災物資一次性運往災區的情況下，還有沒有費用更低的方案？若有，請直接寫出該方案和最低費用，若沒有，說明理由。（租車數量不限）8.某商場將進價40元一個的某種商品按50元一個售出時，每月能賣出500個。商場想了兩個方案來增加利潤：方案一：提高價格，但這種商品每個售價漲價1元，銷售量就減少10個；方案二：售價不變，但發資料做廣告。已知這種商品每月的廣告費用m（千元）與銷售量倍數p的關系為p=；試通過計算，判斷商場為賺得更大的利潤應選擇哪種方案？請說明你判斷的理由！9.研究所對某種新型產品的產銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產并銷售該產品提供了如下成果：第一年的年產量為（噸）時，所需的全部費用（萬元）與滿足關系式，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價，（萬元）均與滿足一次函數關系。（注：年利潤＝年銷售額－全部費用）（1）成果表明，在甲地生產并銷售噸時，，請你用含的代數式表示甲地當年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與之間的函數關系式；（2）成果表明，在乙地生產并銷售噸時，（為常數），且在乙地當年的最大年利潤為35萬元。試確定的值；（3）受資金、生產能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產并銷售該產品18噸，根據（1），（2）中的結果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產銷才能獲得較大的年利潤？

1.解：（1）特征1：都是軸對稱圖形；特征2：都是中心對稱圖形；特征3：這些圖形的面積都等于4個單位面積……（2）滿足條件的圖形有很多，只要畫出正確的一個即可。2.解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一。3.解：（1）設購買甲種機器x臺，則購買乙種機器（6－x）臺。由題意，得，解這個不等式，得，即x可以取0、1、2三個值，所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：方案一：不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；方案二：購買甲種機器1臺，購買乙種機器5臺；方案三：購買甲種機器2臺，購買乙種機器4臺。（2）按方案一購買機器，所耗資金為30萬元，新購買機器的日生產量為360個；按方案二購買機器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬元，新購買機器的日生產量為1×100＋5×60＝400個；按方案三購買機器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬元，新購買機器的日生產量為2×100＋4×60＝440個。因此，選擇方案二既能達到生產能力不低于380個的要求，又比方案三節約了2萬元資金，故應選擇方案二。4.解：（1）設每輛中巴車有座位x個，每輛大客車有座位（x＋15）個，依題意有解之得：x1＝45，x2＝－90（不合題意，舍去）答：每輛中巴車有座位45個，每輛大客車有座位60個。（2）①若單獨租用中巴車，租車費用為×350＝2100（元）②若單獨租用大客車，租車費用為（6－1）×400＝2000（元）③設租用中巴車y輛，大客車（y＋1）輛，則有45y＋60（y＋1）≥270解得y≥2，當y＝2時，y＋1＝3，運送人數為45×2＋60×3＝270符合要求這時租車費用為350×2＋400×3＝1900（元）故租用中巴車2輛和大客車3輛，比單獨租用中巴車的租車費少200元，比單獨租用大客車的租車費少100元。5.解：（1）如表出發地目的地甲地乙地A館（18－）（臺）B館（17－）（臺）（－3）（臺）（2）依題意解之得，因為為正整數，、4，故有兩種方案。方案1：從甲地運往A館