“雙減”政策下的解析幾何教學(xué)——以阿基米德三角形教學(xué)為例 阜陽(yáng)市紅旗中學(xué)

王茂快

摘要：本論文旨在探究阿基米德三角形在解析幾何中的典型應(yīng)用．開篇首先概述了研究本部分內(nèi)容的背景．其次，介紹了阿基米德三角形相關(guān)的結(jié)論及其證明．最后，探討了從不同的角度出發(fā)得出解析幾何的教學(xué)建議，這樣使問(wèn)題分析得更透徹，思維也更開闊，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造美． 關(guān)鍵詞：雙減；阿基米德三角形；數(shù)學(xué)教學(xué)

一.背景

介紹數(shù)學(xué)家阿基米德的生平事跡，涉及到數(shù)學(xué)文化及其對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)特見解，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，閱讀名家名人，當(dāng)前“雙減”政策下，讓學(xué)生從題海中出來(lái)，避免出現(xiàn)提到數(shù)學(xué)，學(xué)生就以為是刷題，而應(yīng)該是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想等；人教版選擇性必修第一冊(cè)104面介紹了圓錐曲線的概念，即用一個(gè)不垂直圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓，拋物線和雙曲線，統(tǒng)稱為圓錐曲線，圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究開始于古希臘，17世紀(jì)，笛卡爾發(fā)現(xiàn)了坐標(biāo)系，人們開始借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究圓錐曲線，其中極點(diǎn)，極線是其重點(diǎn)研究對(duì)象.二.定義圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫作阿基米德三角形，由于橢圓，雙曲線在求切線斜率時(shí)，涉及到隱函數(shù)求導(dǎo)，拋物線開口方向向上時(shí)，求導(dǎo)較為簡(jiǎn)單，因此，以拋物線x22py(p0)為例在課前組織學(xué)生用GGB畫出其圖象，以體驗(yàn)理論與實(shí)踐相統(tǒng)一，代數(shù)與幾何的相輔相成，同時(shí)，學(xué)生也進(jìn)一步熟悉GGB軟件，體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與經(jīng)典數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，以增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí).三.阿基米德三角形結(jié)論及其證明結(jié)論1若阿基米德三角形PAB底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)一定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線.證明設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y),C(a,b)，則PA:yy1x1(xx1)，2pPB:yy2x2(xx2)，由點(diǎn)P在直線PA,PB上，得y0y1x1(x0x1)ppy0yy2x2(x0x2)同構(gòu)方程得直線AB:y0yx(x0x)即xx02p y0pp21又C在直線AB上，所以ax2p by0，即定直線yb02.此性質(zhì)具有一般性，給學(xué)生10分鐘時(shí)間，分組討論，初步形成其證明方法，并通過(guò)希沃白板在黑板展示，使抽象的問(wèn)題具體化，并且探究特殊點(diǎn)C的不同位置，同時(shí)，再一次復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中文字語(yǔ)言命題的證明方法，即寫出已知求證證明等幾個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)同構(gòu)方程這種構(gòu)造也有深入的理解，通過(guò)體驗(yàn)式教學(xué)，學(xué)生動(dòng)手操作能力，運(yùn)算能力得到進(jìn)一步提升.結(jié)論2（1）若定點(diǎn)C為焦點(diǎn)F，則P必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）若過(guò)拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，則切點(diǎn)弦一定過(guò)焦點(diǎn).證明（1）由PA:yy1x1(xx1)，PB:yyx2(xx)且y1x12,x22p2p22p22p得由PA:yx12x1(xx1)①，PB:yx22x2(x2)②解得2pp2ppy0，F(xiàn)(,0p)滿足xx1x2,yx1x2p2p（2）切點(diǎn)弦AB:xx02p y22p2p222此問(wèn)題作為學(xué)生課下思考題，體會(huì)數(shù)學(xué)中由一般到特殊的思想，并且形成理論，為了便于記憶，總結(jié)出口訣“一個(gè)拆倆，倆個(gè)換一個(gè)”.結(jié)論3阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.證明設(shè)AB中點(diǎn)為M，即證PM//y軸，則PA:xx1p(yy1),PB:xx2p(yy2)由點(diǎn)P在直線PA,PB上，得x0x1p(y0y1),x0x2p(y0y2)同構(gòu)方程AB:x0xp(y0y)且x22py所以x22x0x2py00，x1x2x0通過(guò)本結(jié)論的學(xué)習(xí)探究，學(xué)生從知識(shí)方面加深了證明線線平行的方法，幾何問(wèn)題代數(shù)化的特征人教版選擇性必修第一冊(cè)139面拓廣探索13，證明反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸與結(jié)論3比較教學(xué).結(jié)論4阿基米德焦點(diǎn)三角形（即弦過(guò)焦點(diǎn)）PAB為直角三角形，且P900.證明由性質(zhì)2得x12x1x2P(x1x2,x1x2)k2p2px1，kx222pPAx1x2xpPBp21kPAkPB1由一般地阿基米德三角形過(guò)渡到特殊化阿基米德三角形，即該弦過(guò)焦點(diǎn)，同時(shí)，在上課時(shí)，讓學(xué)生總結(jié)證明垂直的方法，學(xué)生甲：利用向量數(shù)量積為0證明；學(xué)生乙：利用斜率乘積為-1證明；學(xué)生丙：利用幾何關(guān)系，如：勾股定地定理，三角形中線等等.人教版選擇性必修第一冊(cè)146面拓廣探索16，即過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，以AB為直徑畫圓，觀察它與拋2物線的準(zhǔn)線的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？相應(yīng)于橢圓、雙曲線如何？你能證明你的結(jié)論l嗎？與結(jié)論4比較教學(xué)研究結(jié)論5在阿基米德焦點(diǎn)三角形PAB中，PFAB.yy1)(x2x1,x22x12)證明由P(x1x2,x1x2)，F(xiàn)(,0p)，ABx2x1,22p222p2p得PF(x1x2,x1x2p)，所以ABPFx22x12x1x3x2x13px22px12222p224p24p24p4px22x12x1x2(x2x12)044p22本結(jié)論的教學(xué)，學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的運(yùn)算，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功，通過(guò)草稿紙的厚度來(lái)衡量其運(yùn)算能力.結(jié)論6在阿基米德焦點(diǎn)三角形PAB中，(SPAB)minp2.證明設(shè)AB:ypkx,x22py則x22pkxp20所以x1x22pk,xx2p221P(pk,p)SABF1ABd1(AFBF)d1(y1y2p)d22221(x12x222p2)pk2p11k2x1x2)22x1x22p222p1k2411k2(4p2k24p2)p21(k2)3p2.24例（2022聯(lián)考）已知拋物線C:x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(,40y)在拋物線C上，且MF4p.（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線lC交于A,B兩點(diǎn)，2分別過(guò)點(diǎn)A,B作拋物線C的切線，記兩切線的交點(diǎn)為P，求PAB面積的最小值.解（1）MFyp4py4，422py0p2（2）設(shè)0220A(x1,y1),B(x2,y2)3l:ykx1，則x2kx40，PA:yy1x1(xx1)，PB:yy2x2(xx)222解得xx1x22k,yx1x21，所以P(2k,)124SPAB1ABdpAB11k2x1x2dpAB41(k21k241(k2)34)222例（2021全國(guó)乙）已知拋物線C:x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:x2y4)21上的點(diǎn)距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求PAB面積的最大值.解（1）FM1,4F)1,0p2（2）x24y，AB:xx04yy0即2x22x0x4y00，x1x22x0,x1x24y012y015，令ty212y015，pABSPAB1y20y212y015ABd20202則23t5，SPABt32052四.解析幾何在雙減背景下的教學(xué)建議

當(dāng)前全國(guó)在實(shí)行新課程教學(xué)，在雙減背景下，解析幾何的教學(xué)改革和創(chuàng)新十分迫切，并且這種趨勢(shì)是難以阻擋的，尤其在當(dāng)前高考和新教材中體現(xiàn)的非常明顯，因此在中學(xué)教學(xué)時(shí)，要充分挖掘中學(xué)數(shù)學(xué)教材，研究數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系，研究中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接關(guān)系，創(chuàng)設(shè)新的情境．中學(xué)教材編寫以現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際例子為背景，關(guān)注了學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)，注重問(wèn)題的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，所涉及到的概念、公式以及定理，都力求通過(guò)學(xué)生了解的事物，并由學(xué)生通過(guò)觀察、討論、分析、概括得