第七節方向導數與梯度問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、方向導數定義與計算公式

實例一元函數右導數或左導數(只能從右側或左側)所以一元函數只有二元函數Oxy(可以從任意方向)所以二元函數有無窮多方向導數回憶1.方向導數的定義即定義如果極限存在,則將這個極限值稱為函數在點記為即的方向導數存在,存在,則的方向導數存在,方向導數與偏導數的關系同理的方向導數為的方向導數證2.關于方向導數的存在及計算公式定理8.7(充分條件)可微,則函數且(2)在定點的方向導數為方向導數存在可微說明(1)例考慮函數定點P0(3,1),P1(2,3).求函數在P0沿方向的方向導數.解解(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并問在怎樣的方向上此方向導數有例故方向導數達到最大值方向導數達到最小值方向導數等于和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?問在怎樣的方向上此方向導數有解練習推廣可得三元函數方向導數的定義在點的方向導數為是l的方向余弦.計算公式解令其方向余弦為例18問題?二、梯度概念與計算已知方向導數公式方向：模：

方向一致時,方向導數取最大值f(x,y)

變化率最大的方向f(x,y)的最大變化率之值函數z=f(x,y)沿什么方向的方向導數為最大(gradient)一個二元函數在給定的點處沿不同方向的方向導數是不一樣的.19定義記作讀作nable.即為函數z=f(x,y)在點P(x,y)處的稱向量梯度稱為或算子,或向量微分算子.引入算符哈米爾頓算子,設函數z=f(x,y)在點P(x,y)可偏導,利用梯度的概念,可將方向導數計算公式寫成(gradient),20結論函數在某點的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向導數的方向一致,而它的模為方向導數的最大值(最大的變化率).梯度的模為沿梯度方向,函數的增長最快!21梯度的基本運算公式:稱為函數z=f(x,y)在點P(x,y)處的負梯度.函數沿負梯度的方向減少最快.(1)(2)(3)(4)(5)等高線為等高線上的一個法向量梯度的幾何意義其參數形式：所以任意點處的切向量為：表示一條平面曲線,所以梯度為曲線上點

處的法向量.梯度的幾何意義梯度與等高線的關系：梯度的概念推廣到三元函數三元函數在點⑴梯度為可微,則在點⑵函數沿梯度方向的方向導數最大，⑶最大方向導數為增長最快方向導數公式27類似地,設曲面

f(x,y,z)=c為函數此函數在點P(x,y,z)的

的梯度的方向就是等值面f(x,y,z)=c在這點的法線方向值較高的等值面,法線方向的方向導數且從數值較低的等值面指向數而梯度的模就是函數沿這個u=f(x,y,z)的等值面,梯度的幾何意義28求曲面解例在點P(1,2,4)處的切平面方程和法線方程.設由梯度與等值面梯度的方向是等值面f(x,y,z)=9在點P(1,2,4)因此,切平面方程為即法線方程為的關系可知:處的法向量.解故例并問在哪些點處梯度為零?=0=0=0處的梯度,例設函數求沿什么方向具有最大的增長率,最大增長率為多少?解增長率,最大的增長