由牛頓—萊布尼茲公式知:計(jì)算定積分因用湊微分法計(jì)算不定積分時(shí)自始至終沒(méi)有引入新變量,故用湊微分法計(jì)算定積分時(shí),也應(yīng)自始至終不改變積分限.下面舉例闡明.§6.4定積分計(jì)算辦法一.湊微分法第五章知求函數(shù)原函數(shù)(即不定積分)辦法有湊微分法、換元法和分部積分法.因而在一定條件下,也可用這幾種辦法來(lái)計(jì)算定積分.關(guān)鍵在于求出?(x)在[a,b]上一個(gè)原函數(shù)F(x);而由1第1頁(yè)第1頁(yè)例11計(jì)算2第2頁(yè)第2頁(yè)3第3頁(yè)第3頁(yè)(1)在[α,β]上單調(diào)連續(xù)且含有連續(xù)導(dǎo)數(shù);(2)

(α)=a,

(β)=

b,則二.換元積分法定理8若?(x)在[a,b]上連續(xù),

而x=(t)又滿足證設(shè)F(x)是?(x)一個(gè)原函數(shù),4第4頁(yè)第4頁(yè)——此式稱為定積分換元公式.(3)求出在應(yīng)用換元公式計(jì)算定積分時(shí),

應(yīng)注意下列幾種問(wèn)題:(1)所選擇代換式x=(t)必須滿足定理中兩個(gè)條件;(2)換元積分關(guān)鍵是換限.記住“上限對(duì)上限,下限對(duì)下限”;求不定積分那樣把(t)還原成x函數(shù),而只須直接將t上、下限代入相減即可.后,不必象5第5頁(yè)第5頁(yè)例12當(dāng)a>0時(shí),計(jì)算6第6頁(yè)第6頁(yè)注1由幾何意義知,此定積分即為圓7第7頁(yè)第7頁(yè)在第Ι象限面積.性質(zhì)1設(shè)?(x)在[?a,a]上連續(xù),則證

(1)若為?(x)偶函數(shù),則有?(x)=?(?x)令x=?t,則dx=?dt,且8第8頁(yè)第8頁(yè)從而(2)若為?(x)奇函數(shù),則有?(x)=??(?x)令x=?t,則dx=?dt,且從而9第9頁(yè)第9頁(yè)注2利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上定積分計(jì)算.例13計(jì)算解(1)被積函數(shù)為奇函數(shù).則原式=0.令x=tanu,則(2)被積函數(shù)為偶函數(shù),故10第10頁(yè)第10頁(yè)例14.設(shè)解設(shè)x=t+2,則t=x–2,dx=dt11第11頁(yè)第11頁(yè)性質(zhì)2設(shè)?(x)在[0,1]上連續(xù),則12第12頁(yè)第12頁(yè)三.分部積分法定理9若u=u(x)及v=v(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則13第13頁(yè)第13頁(yè)證因d(uv)=udv+vdu,兩邊積分得注3注4

用分部積分法計(jì)算定積分,因沒(méi)有引入新變量,故在計(jì)算過(guò)程中自始至終均不變限,u、v選擇與不定積分分部積分法相同.例15計(jì)算14第14頁(yè)第14頁(yè)15