結構的穩定計算第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-1兩類穩定問題概述強度驗算剛度驗算穩定驗算結構設計必不可少。——某些時候是必須的薄壁結構高強材料結構（如鋼結構）主要受壓的結構等而穩定驗算是在結構產生大變形后的幾何形狀和位置上進行計算的，其方法已經屬于幾何非線性范疇，疊加原理不再適用。強度驗算與剛度驗算是在結構靜力平衡的狀態下、采用未變形的結構的計算簡圖來分析的；第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二PPPcrPcrqPPcrqcr§14-1兩類穩定問題概述第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二一、結構平衡狀態的分類§14-1兩類穩定問題概述不穩定平衡穩定平衡微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球可恢復到原來的平衡位置隨遇平衡狀態第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二結構平衡狀態的分類——根據結構受任意微小外界干擾后，能否恢復到原始平衡狀態，將平衡狀態分為如下三類：穩定平衡狀態——若外界干擾消除后結構能完全恢復到原始平衡位置，則原始平衡狀態是穩定的。不穩定平衡狀態——若外界干擾消除后結構不能恢復到原始平衡位置，則原始平衡狀態是不穩定的。隨遇平衡狀態——經抽象簡化，可能出現結構受干擾后在任何位置保持平衡的現象，此現象稱為“隨遇平衡狀態”。§14-1兩類穩定問題概述第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-1兩類穩定問題概述定義：完善體系——受壓桿件均為理想受壓桿的結構體系；

P

P非完善體系——如結構中受壓桿有初曲率，或荷載有初偏心，則這類結構體系稱非完善體系。

Pe第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二二、失穩的概念及分類§14-1兩類穩定問題概述失穩：結構在荷載作用下其原始平衡狀態可能由穩定平衡狀態過渡到不穩定平衡狀態，稱原始平衡狀態喪失穩定性、簡稱“失穩”。結構失穩的分類：根據結構失穩前后變形性質是否改變，可將失穩問題分為：?分支點失穩——失穩前后平衡狀態所對應的變形性質發生改變。在分支點處，既可在初始位置處平衡，亦可在偏離后新的位置平衡，即平衡具有二重性。?極值點失穩——失穩前后變形性質沒有發生變化，力－位移關系曲線存在極值點，達到極值點的荷載使變形迅速增長，導致結構壓潰。第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二P＜Pcr1.分支點失穩§14-1兩類穩定問題概述柱單純受壓、無彎曲變形——失穩前后平衡狀態的變形性質發生變化P＞PcrP=Pcr

柱可在偏離原始平衡位置附近的任一位置上保持平衡。柱的壓彎變形繼續增大直至破壞。第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-1兩類穩定問題概述穩定平衡不穩定平衡

小撓度理論

PΔPcr

大撓度理論分支點分支點失穩的P-Δ曲線

以分支點為界，原始平衡狀態可分為穩定平衡狀態和不穩定平衡狀態。分支點上存在平衡形式的兩重性第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二2.極值點失穩§14-1兩類穩定問題概述

PP<PcrP=Pcrcr——失穩前后變形性質沒有發生變化P>PcrcrPcr第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-1兩類穩定問題概述PcrPΔOB(極值點)穩定平衡不穩定平衡

小撓度理論

大撓度理論極值點失穩的P-Δ曲線

以極值點為界，原始平衡狀態可分為穩定平衡狀態和不穩定平衡狀態。極值點上不存在平衡形式的兩重性一般而言，非完善體系的失穩形式是極值點失穩。第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二三、穩定自由度P1個自由度2個自由度無限自由度§14-1兩類穩定問題概述穩定自由度——體系產生彈性變形時，確定其變形狀態所需的獨立幾何參數的數目。PPEIy1y2第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法完善體系分支點失穩分析有靜力法和能量法。靜力法是從分支點上具有平衡的二重性出發，對新的平衡狀態建立靜力平衡條件，從而求得臨界荷載。能量法是對新的平衡狀態建立以能量形式表示的平衡條件，依據臨界點系統總勢能為駐值，進而求得臨界荷載。穩定計算的中心問題是確定臨界荷載。第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二一、靜力法§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法例14.1求失穩時的臨界荷載。1抗轉彈簧(剛度系數k)APlB小撓度、小位移情況下：---穩定方程(特征方程)---臨界荷載解：P第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二

大撓度理論C

小撓度理論Pθk/lP-θ曲線

ABO§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法討論：1.小撓度理論計算結果：2.大撓度理論計算：臨界荷載與θ是一一對應的第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法例14.2求失穩時的臨界荷載。CPBAll解：P研究體系整體：研究A’B’

：PA’B’HB’VB’整理得

：為使y1、y2

不同時為零，令：----穩定方程第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二---臨界荷載---失穩形式§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法11.618CPBA失穩形式第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二例14.3求失穩時的臨界荷載。已知：k1=k,k2=3k。PP取B’C’為隔離體，解：由整體平衡MA=0，得：y1、y2不能全為零，故：穩定方程失穩形態§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法靜力法求臨界荷載分析步驟：1、設定一種滿足約束條件的可能的失穩變形狀態（新的平衡狀態）；2、由分支點上平衡的兩重性出發，對新的平衡狀態建立靜力平衡方程，由位移為非零解得“特征方程”，也稱“穩定方程”；3、解特征方程，從而求得臨界荷載。第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二二、能量法§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法剛性小球的穩定能量準則能量取極大值不穩定平衡狀態隨遇平衡狀態能量取駐值穩定平衡狀態能量取極小值第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法與材料力學壓桿穩定問題一樣，結構分支點失穩問題臨界狀態的能量特征為：體系總勢能EP取駐值。定義：體系應變能U加外力勢能UP稱為“體系總勢能”，記作EP

。彈性結構的穩定能量準則定義：從變形位置退回無變形位置過程中，外荷載所做的功，稱為“外力勢能”，記作UP

。第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二解：體系應變能：§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法例14.4能量法求結構失穩時的臨界荷載。lkP外力勢能：yPθ體系總勢能：由勢能駐值原理：故臨界荷載：能量形式的平衡方程第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法CPBAll例14.5能量法求例14.2的臨界荷載。解：體系應變能：Pθ1θ2外力勢能：體系總勢能：第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法由勢能駐值原理：能量形式的平衡方程為使y1、y2

不同時為零，令：----穩定方程---臨界荷載第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法1.設定一種滿足約束條件的可能的失穩變形狀態（新的平衡狀態）；2.計算體系本身的應變能U、荷載勢能UP，從而獲得體系的總勢能EP=U+UP；3.由總勢能的駐值條件建立以能量形式表示的平衡方程；4.由位移為非零解得“特征方程”，也稱“穩定方程”；5.解特征方程，從而求得臨界荷載。能量法求臨界荷載分析步驟：第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二三、結構失穩問題轉化為具有彈性支座壓桿的失穩問題§14-2有限自由度體系的穩定

——靜力法和能量法例14.6求體系的臨界荷載Pcr。

PlaaEI=EIEIABCPyθABCθABθAC解：PyθP隔離體受力圖APPyθ第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法HA例14.7求體系的臨界荷載Pcr。xy

Plyx解：y

PHA規定：M正向與桿件纖維凸起方向一致。撓曲線近似微分方程：曲率的正號規定：若曲率中心位于所設定的y軸正向的一側，則為正；反之為負。撓曲線近似微分方程中的“

”規定：若所設定的彎矩正向引起正值的曲率，則公式中取“+”；反之取“－”。第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法HAxy

Plyxy

PHA通解為：由邊界條件：得：穩定方程為使B、HA不全為零(即y(x)不恒為零)：第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法穩定方程經試算：第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法例14.8求體系的臨界荷載Pcr。解：轉化為有彈性支座的單根壓桿。l

PlH

PAθθ抗轉彈簧剛度系數：在新的平衡狀態，抗轉彈簧的約束反力矩：第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二撓曲線近似微分方程：§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法

Pyxyyx

PAθθ通解為：邊界條件：得：穩定方程第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法穩定方程將代回方程，由試算法可得，再由，可得臨界荷載。

PA討論

P

P第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二PcrPcr如何轉換成彈性支承中心受壓柱？

k1=？簡單結構中心受壓桿Pcr的分析方法邊界條件是什么？根據形常數EI，lPEI§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法P第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二PcrPcrEI，lEI，lEA=∞如何轉換成彈性支承中心受壓柱？

k=？邊界條件是什么？§14-3無限自由度體系的穩定——靜力法第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期二對稱體系的失穩問題例14.9求圖示剛架的臨界荷載。

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P解：正對稱失穩反對稱失穩正對稱失