矩陣的特征值第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一定義4.2設A為n階矩陣，含有未知量λ的矩陣λI-A稱為A的特征矩陣，其行列式|λI-A|為λ的n次多項式，稱為A的特征多項式，|λI-A|＝0稱為的特征方程。

說明：1）如λ是A的一個特征值,則必有|λI-A|＝0成立，故λ又稱為特征根。當然，可以是單根，也可以是重根。第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一2）如λ是|λI-A|＝0的ni重根，則(λI-A)x＝0必有非零解，習慣稱λ為A的ni重特征值（根）。3)(λI-A)x＝0的每一個非零解向量均為λ的特征向量。第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一求特征值和特征向量的步驟：1）計算A的特征多項式|λI-A|。2）求出特征方程|λI-A|＝0的全部特征值。對每個特征值λ

0，求出相應的齊次線性方程組（λ0I-A）x=0的一個基礎階系η1,…,ηt，則A的λ0關于的特征向量為：

c1η1+…+ctηt。第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一命題2：矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的任一特征值不為零。第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一（二）特征值與特征向量的性質：

定理4.1n階矩陣A與它的轉置矩陣AT有相同的特征值.

第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一總結：（1）任一n階方陣A必有n個特征值（包括重根）。

（2）設x是A的關于特征值λ的特征向量，則對于任意常數，cX也是A的關于λ特征值的特征向量。

（3）若X1,X2是A的關于λ的特征向量，則

k1X1+k2X2也是A的關于λ的特征向量,k1,k2

為常數。

第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一由（2）、（3）推廣為：對應于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征值的特征向量；但對應于不同特征值的特征向量的和不再是特征向量。

（4）一個特征值對應的特征向量有無窮多個；但是一個特征向量只能對應一個特征值，而不能屬于不同的特征值。第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一（5）對應于不同特征值的特征向量線性無關；但對應于同一特征值的特征向量不一定線性相關（定理4.3）。

推廣：若n階方陣A有n個不同的特征值，則A

有n個線性無關的特征向量。

（6）A與它的轉置矩陣AT有相同的特征值；但特征向量不一定相同（定理4.1）。

第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一補充性質：若λ是矩陣A的特征值，x是關于λ的特征向量，則：

a)kλ是kA的特征值。

b)λm是Am的特征值,m是自然數。

c)A可逆時，λ-1是A-1的特征值。那么：

λ1，λ2是同一矩陣A的兩個特征值，則λ1＋λ2是A+B的特征值，對嗎？

λ1λ2是AB的特征值，對嗎？第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一補充例題：1）設n階方陣A的n個特征值為λ1,…,λn，證明|A|=λ1…λn

。2)設A,B均為n階矩陣，證明AB,BA有相同的特征值。3)設方陣A滿足:2A2-3A-5I=0，證明2A+I