材料力學彎曲變形第1頁/共109頁第六章彎曲變形

(DeflectionofBeams)

§6-1

基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems)

§6-4

用疊加法求彎曲變形

(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3

用積分法求彎曲變形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2

撓曲線的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5

靜不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6提高彎曲剛度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)第2頁/共109頁

§6-1

基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems）一、為何要研究彎曲變形僅保證構件不會發生破壞，但如果構件的變形太大也不能正常工作。1、構件的變形限制在允許的范圍內。第3頁/共109頁車削加工一等截面構件，如果構件的的變形過大，會加工成變截面；案例1：第4頁/共109頁如果鉆床的變形過大，受工件的反力作用；搖臂鉆床簡化為剛架，不能準確定位。案例2：第5頁/共109頁車間桁吊大梁的過大變形案例3：第6頁/共109頁會使梁上小車行走困難，造成爬坡現象；還會引起較嚴重的振動；第7頁/共109頁橋梁如果產生過大變形樓板、床、雙杠橫梁等都必須把它們的變形限制在允許的范圍內。屋頂第8頁/共109頁汽車板簧應有較大的彎曲變形,才能更好的起到緩和減振的作用；案例1：２、工程有時利用彎曲變形達到某種要求。第9頁/共109頁安裝在工程機械駕駛室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的過程中有較大的變形吸收落物或碰撞能量，保證駕駛員的人身安全案例2：第10頁/共109頁案例3：當今時代汽車工業飛速發展，道路越來越擁擠，一旦發生碰撞，你認為車身的變形是大好還是小好？第11頁/共109頁案例4：蹦床、跳板跳水要有大變形，才能積蓄能量，將人體彈射到一定高度。第12頁/共109頁3、研究彎曲變形還廣泛應用于超靜定問題分析、穩定性分析以及振動分析等方面。除了解決構件的剛度外，第13頁/共109頁1.撓度（Deflection）二、基本概念（Basicconcepts）w撓度AByx

橫截面形心C（即軸線上的點）在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用w表示.C'C第14頁/共109頁2.轉角

（Slope）轉角AC'CyB

xw撓度（

橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉角.用表示第15頁/共109頁3.撓曲線

（Deflectioncurve）梁變形后的軸線稱為撓曲線.

式中,x

為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,w

為該點的撓度.撓曲線yAB

x轉角w撓度（C'C

撓曲線方程（equationofdeflectioncurve）為第16頁/共109頁4.撓度與轉角的關系（Relationshipbetween

deflectionandslope）：yABx轉角w撓度C'C撓曲線第17頁/共109頁5.撓度和轉角符號的規定（Signconventionfordeflectionandslope）

yABx轉角w撓度C'C撓曲線撓度和轉角的符號是根據所選坐標系而定的撓度：與y軸正向一致為正，反之為負。轉角：撓曲線上某點處斜率為正時，轉角為正，反之為負。第18頁/共109頁§6-2

撓曲線的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推導公式（Derivationoftheformula)1.純彎曲時曲率與彎矩的關系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment）

橫力彎曲時,M

和都是x的函數.略去剪力對梁的位移的影響,則第19頁/共109頁2.由數學得到平面曲線的曲率（Thecurvaturefromthemathematics）與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為第20頁/共109頁

在規定的坐標系中,x軸水平向右為正,w軸豎直向上為正.

曲線向上凸時:OxwxOw

因此,與的正負號相同

曲線向下凸時:(6.5)第21頁/共109頁

此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）(6.5)

近似原因:（1）略去了剪力的影響;（3）（2）略去了

項;第22頁/共109頁

§6-3

用積分法求彎曲變形（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的積分

（Integratingthedifferentialequation)

若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量上式可改寫成第23頁/共109頁2.再積分一次,得撓度方程（Integratingagaingivestheequationforthedeflection）二、積分常數的確定（Evaluatingtheconstantsofintegration）1.邊界條件（Boundaryconditions）

2.連續條件（Continueconditions）

1.積分一次得轉角方程（Thefirstintegrationgivestheequationfortheslope）第24頁/共109頁AB

在簡支梁中,左右兩鉸支座處的撓度和都等于0.

在懸臂梁中,固定端處的撓度和轉角都應等于0.AB第25頁/共109頁ABxFw例題1圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用.試求梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其最大撓度和最大轉角第26頁/共109頁（1）彎矩方程為解：（2）撓曲線的近似微分方程為xwABxF

對撓曲線近似微分方程進行積分第27頁/共109頁

梁的轉角方程和撓曲線方程分別為

邊界條件

將邊界條件代入（3）（4）兩式中,可得第28頁/共109頁BxyAF（）都發生在自由端截面處和（）第29頁/共109頁例題2圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其和ABql第30頁/共109頁

解:由對稱性可知,梁的兩個支反力為ABqlFRAFRBx

此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為第31頁/共109頁

梁的轉角方程和撓曲線方程分別為

邊界條件x=0和x=l時,

xABqlFRAFRBAB

在x=0和x=l處轉角的絕對值相等且都是最大值，

最大轉角和最大撓度分別為wmax

在梁跨中點處有最大撓度值第32頁/共109頁例題3圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力F的作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并求其最大撓度和最大轉角.ABFDabl第33頁/共109頁解:梁的兩個支反力為FRAFRBABFDabl12xx

兩段梁的彎矩方程分別為第34頁/共109頁

兩段梁的撓曲線方程分別為

（a）（0x

a）近似微分方程

轉角方程

撓度方程

（b）（a

x

l

）第35頁/共109頁D點的連續條件

邊界條件

在x=a處

在x=0處,

在x=l處,

代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB第36頁/共109頁

（a）（0x

a）

（b）（a

x

l

）第37頁/共109頁

將x=0和x=l

分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角

當a>b

時,右支座處截面的轉角絕對值為最大第38頁/共109頁

簡支梁的最大撓度應在處

先研究第一段梁,令得

當a>b時,x1<a

最大撓度確實在第一段梁中第39頁/共109頁

梁中點C

處的撓度為

結論:在簡支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的.第40頁/共109頁

（a）對各段梁,都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的.所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程.只增加了(x-a)的項.

（b）對(x-a)的項作積分時,應該將(x-a)項作為積分變量.從而簡化了確定積分常數的工作.積分法的原則第41頁/共109頁連續性條件：ABLaCMxω特別強調在中間鉸兩側轉角不同，但撓度卻是唯一的。連續不光滑第42頁/共109頁例1：寫出梁的邊界條件、連續性條件：xωkCPABaL邊界條件光滑連續性條件第43頁/共109頁例2：寫出梁的邊界條件、連續性條件：hEACPABaL邊界條件光滑連續性條件第44頁/共109頁

§6–4

用疊加法求彎曲變形

（Beamdeflectionsbysuperposition

）

梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內工作時,梁在幾項荷載(可以是集中力,集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉角,就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加.當每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿w軸方向),其轉角是在同一平面內(如均在xy平面內)時,則疊加就是代數和.這就是疊加原理.一、疊加原理

（Superposition）

第45頁/共109頁1.載荷疊加（Superpositionofloads）多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數和.2.結構形式疊加（逐段剛化法）：梁的變形可以看作是組成梁的每一部分單獨變形的疊加。第46頁/共109頁

按疊加原理求A點轉角和C點撓度.解:（a）載荷分解如圖（b）由梁的簡單載荷變形表,查簡單載荷引起的變形.BqFACaaF=AB+ABq第47頁/共109頁

（c）疊加qFF=+AAABBBCaaq第48頁/共109頁例題4一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示.試按疊加原理求梁跨中點的撓度wC和支座處橫截面的轉角A

,B。ABCqMel第49頁/共109頁

解:將梁上荷載分為兩項簡單的荷載,如圖所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)BlCC()()()第50頁/共109頁例題5試利用疊加法,求圖所示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度wC

和兩端截面的轉角A

,B

.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2

解:可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加.第51頁/共109頁（1）正對稱荷載作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反對稱荷載作用下

在跨中C截面處,撓度wC等于零,但轉角不等于零且該截面的彎矩也等于零

可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為l

/2的簡支梁第52頁/共109頁CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2將相應的位移進行疊加,即得()()()第53頁/共109頁例2抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC

?L/2L/2qCBA第54頁/共109頁qL/2L/2qCBAqq疊加法之載荷疊加法第55頁/共109頁qq第56頁/共109頁w第57頁/共109頁（1）將AC段剛化。（2）將BC段剛化。解：（3）最后結果疊加法之逐段剛化法第58頁/共109頁例題6一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖所示,試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉角B以及A端和BC中點D的撓度wA

和wD.ABCDaa2a2qq第59頁/共109頁解:ABCDaa2a2qqABAD2qqBCD第60頁/共109頁qBCDBAD2qBAD2qCBAD2qCC2qaBADBAD2qC第61頁/共109頁由疊加原理得:D（1）求B

,wDBCqBCDBAD2qC第62頁/共109頁（2）求wA

因此,A端的總撓度應為qBCDBAD2qC2qaBAD第63頁/共109頁二、剛度條件（Stiffnesscondition）1.數學表達式（Mathematicalformula）2.剛度條件的應用（Applicationofstiffnesscondition）（1）校核剛度（

Checkthestiffnessofthebeam）（2）設計截面尺寸（Determinetheallowableloadonthebeam）（3）求許可載荷

（Determinetherequireddimensionsofthebeam）是構件的許可撓度和轉角.和第64頁/共109頁例7下圖為一空心圓桿,內外徑分別為:d=40mm,D=80mm,桿的E=210GPa,工程規定C點的[w]=0.00001,B點的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB第65頁/共109頁解:（1）結構變換,查表求簡單載荷變形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC圖2圖3+F2BCDAM=圖1F1=1kNDC第66頁/共109頁（2）疊加求復雜載荷下的變形F2=2kN=++圖1圖2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC圖3F2BDAMACCF2第67頁/共109頁（3）校核剛度:（rad）第68頁/共109頁例9用疊加法計算圖示階梯形梁的最大撓度。設慣性矩I2=2I1

所以：（1）剛化I1，則：解：（2）剛化I2，則：第69頁/共109頁請思考試用疊加法計算圖示階梯形梁的最大撓度。設慣性矩I2=2I1

第70頁/共109頁一、基本概念（Basicconcepts）

1.超靜定梁（staticallyindeterminatebeams）§6-5

靜不定梁的解法（Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams）

單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁,稱為超靜定梁FABABCFFRAFRBFRC第71頁/共109頁第72頁/共109頁第73頁/共109頁2.“多余”約束（Redundantconstraint）

在靜定梁基礎上附加的約束3.“多余”反力（Redundantreaction）“多余”約束處相應的約束反力FRBABCFFABFRAFRC4.超靜定次數（Degreeof

staticallyindeterminateproblem）

超靜定梁的“多余”約束的數目就等于其超靜定次數.n=未知力的個數-獨立平衡方程的數目第74頁/共109頁二、求解超靜定梁的步驟

(procedureforsolvingastaticallyindeterminate)1.畫靜定基建立相當系統：

將可動鉸鏈支座看作多余約束,解除多余約束代之以約束反力RB.得到原超靜定梁的基本靜定系.2.列幾何方程——變形協調方程

超靜定梁在多余約束處的約束條件,梁的變形協調條件ABqqABFRB

根據變形協調條件得變形幾何方程:第75頁/共109頁

3.列物理方程—變形與力的關系

查表得qAB將力與變形的關系代入變形幾何方程得補充方程4.建立補充方程BAFRBqABFRB第76頁/共109頁補充方程為由該式解得5.求解其它問題（反力,應力,變形等）qABFRBFRAMA求出該梁固定端的兩個支反力qABBAFRB第77頁/共109頁

代以與其相應的多余反力偶MA

得基本靜定系.

變形相容條件為

請同學們自行完成！方法二

取支座A

處阻止梁轉動的約束為多余約束.ABqlABqlMA第78頁/共109頁例題8

梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD內沒有內力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD內的拉力FN.a2aABCq2qDl第79頁/共109頁CADBq2qAFNFNA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于A點.即解:這是一次超靜定問題.將AD桿與梁AC之間的連結鉸看作多余約束.拉力FN為多余反力.基本靜定系如圖ADBCq2qFNFNA1第80頁/共109頁變形幾何方程為根據疊加法A端的撓度為BCq2qFNBCq2q在例題中已求得可算出:CFNB第81頁/共109頁拉桿AD

的伸長為:補充方程為:由此解得:ADBCq2qFNFN第82頁/共109頁例題9求圖示梁的支反力,并繪梁的剪力圖和彎矩圖.

已知EI=5103kN·m3.4m3m2mABDC30kN20kN/m第83頁/共109頁解:這是一次超靜定問題

取支座B

截面上的相對轉動約束為多余約束.

基本靜定系為在B

支座截面上安置鉸的靜定梁,如圖所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m

多余反力為分別作用于簡支梁AB和BC的B端處的一對彎矩MB.

變形相容條件為，簡支梁AB的B截面轉角和BC梁

B

截面的轉角相等.MB第84頁/共109頁由表中查得:4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB30kN20kN/mMBC第85頁/共109頁補充方程為:解得:

負號表示B截面彎矩與假設相反.4m3m2mABDC30kNDAB30kN20kN/m20kN/mMBC第86頁/共109頁

由基本靜定系的平衡方程可求得其余反力

在基本靜定系上繪出剪力圖和彎矩圖.4m3m2mABDC30kN20kN/m+-32.0547.9518.4011.6431.801.603m-+++-25.6823.28第87頁/共109頁§6-6提高梁剛度的措施一、改善結構、減少彎矩１、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４、

ω一般與跨度有關，５、增加約束：成正比，與故可減小跨度；第88頁/共109頁尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；較長的傳動軸采用三支撐；橋梁增加橋墩。增加約束：采用超靜定結構第89頁/共109頁采用超靜定結構第90頁/共109頁改變支座形式FF第91頁/共109頁改變載荷類型q=F/LF第92頁/共109頁二、選擇合理的截面形狀A幾乎不變，大部分分布在遠離中性軸處，工字形、槽鋼等；起重機大梁常采工字形或箱形截面；第93頁/共109頁起重機大梁常采工字形或箱形截面；第94頁/共109頁四、不宜采用高強度鋼;三、加強肋盒蓋、集裝箱；各種鋼材Ｅ大致相同。第95頁/共109頁1、y’’=M(x)/EI在

條件下成立？A：小變形；B：材料服從虎克定律；C：撓曲線在XOY面內；D：同時滿足A、B、C；2、等直梁在彎曲變形時，撓曲線曲率在最大

處一定最大。A：撓度