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分離變量法例題例：兩塊半無限大接地平行于xz平面的導體板，一塊位于y=0,另一塊位于y=d平行板的有限端x=0處被與之絕緣并保持常電勢％的導體板封閉，如圖所示。求導體板間的電勢。兩半無限大接地平行導體板解：對于本問題，求解區域是x>0的兩平行板之間，區域內無電荷分布，因此電勢滿足拉普拉斯方程。區域的邊界在y=0、y=d、x=0、及x-處。本問題實際是一個二維問題，即靜電勢與z無關。因此，本定解問題：V2p=0(x>0，0<y<d)(1)9 =0(2)xfg9 =0(x>0)(3)y=09 =0(x>0)(4)y=d9 =9(0<y<d)(5)x二0 0(2)的條件是我們通常的選擇。實際上(2)、(3)、(4)、(5)為邊界條件。因本問題為二維問題，9=9(x,y)。(1)在直角坐標系中可寫成：d29d29+=0

dx2dy2分離變量法的核心是將多維函數分解為多個一維函數的乘積。令9(x,y)=X(x)Y(y)將其帶入上式得：Yd2X+xd2Y=0dx2 dy2將x變量項和y變量項整理為：1d2X 1d2YXdx2 Ydy2上式坐標僅是x的函數，而右邊僅是y的函數。這樣，我們就將變量分離了。在上面的方程中,對任意x和y成立，方程兩邊必等于常數。即:(3-3-3)1d2X , 1d2Y(3-3-3)=k2=-Xdx2 Ydy2式中k為實數常數，稱為分離常數。為什么我們將常數寫為k2而不是-k2,后面我們將清楚這一點。上式可分為兩個微分方程:1d2X ,=k2Xdx21d2Y ,=-k2Ydy2我們知道上面的微分方程k為非零時的解為:X=Aekx+Be-kY=Csin(ky)+Dcos(ky)若k=0,根據邊界條件只能得出零解，因此，k為非零值。式中A、B、C、D為積分常數，由邊界條件確定。這樣，我們得到:申=[Aekx+Be-k][Csin(ky)+Dcos(ky)]由邊界條件⑵，我們得到A=0及k>0。這就是為什么我們將常數寫為k2而不是-k2的原因。它可使電勢笊x方向單調地增加或單調地減少而不是振蕩。由邊界條件(3),我們得到D=0。而邊界條件(4)給出:sin(kd)=0由此式及條件k>0,我們得到：k= ,n=1,2,3,…d我們不取n=0的原因是因為它給出的是零解。因此，我們得到對應n值的電勢解:9(x,y)=Be-dxsin( y),n=1,2,3,…n n d其中C已并入B。因拉普拉斯方程是線性方程，任何解的線性疊加也是方程的解。因此，我們n將所有n值的解疊加起來得到了更為一般的解：9(x,y)=為Be-sin(匹y)ndn=1式中Bn為常數。此解滿足邊界條件(2)、(3)、(4)。由邊界條件(5)，我們有9=為Bsin(y)0 ndn=1上式是一在[0,d]區間展開的正弦傅里葉級數，其系數Bn為：

2rd.n冗y,B=Jd9sin dynd00d29= 0[1-cos（n冗）]n冗翌0 n為奇數=<

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